精品解析：江西省抚州市多校2026-2027学年高二上学期11月期中学习质量检测数学试题

江西省抚州市多校2026-2027学年高二上学期11月期中学习质量检测数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若两直线平行，则，解得或， 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行； 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行 所以“”是“”的充分不必要条件. 2. 若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 3. 已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由实轴长为2，得，所以． 双曲线的渐近线方程为． 两条渐近线的锐角夹角为， 所以渐近线方程为的倾斜角为， 所以，所以． 由双曲线关系，得，从而． 双曲线的焦距为． 4. 已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点， 则，解得. 因为在圆外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 5. 已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定圆的圆心与半径，写出焦点在轴的双曲线的渐近线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径建立等式，求出的关系，再结合双曲线求解离心率． 【详解】圆的标准方程为，可得圆心坐标为，半径． 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 整理为一般式为．直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径， 由点到直线距离公式，圆心到渐近线的距离： ，由相切条件，得． 因为，等式两边同时除以，得， 两边平方：，整理得到，即． 由双曲线关系式，把代入：， 故，离心率． 6. 光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求入射点关于反射直线的对称点，推导反射光线所在直线方程，代入选项横坐标验证纵坐标是否匹配即可. 【详解】根据光线反射的性质，入射点关于反射直线的对称点在反射光线所在直线上. 设点关于直线的对称点为， 两点连线与直线垂直，直线斜率为，故两点连线斜率为，即； 两点中点在直线上，故. 联立解得，即反射光线过点. 已知反射光线还过点，计算得反射光线斜率， 由点斜式得反射光线方程为. 验证各选项： 当时，，A、B均不符合； 当时，，C不符合，D符合. 7. 函数与的图象在第一象限的公共点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个函数分别是双曲线和椭圆的上半部分，结合双曲线和椭圆的定义可得. 【详解】由函数，得，函数是双曲线的上半部分， 双曲线的焦点为，实半轴长为. 由函数，得，函数是椭圆的上半部分， 椭圆的焦点为，长半轴为. 因为公共点在第一象限， 由双曲线的定义得，由椭圆的定义得， 联立两式解得，所以. 因此. 8. 已知圆，直线，若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为圆心到直线的距离问题，再由点到直线的距离公式可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 即，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则曲线是圆，其半径为 C. 若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则曲线是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，可判定A正确；根据圆的标准方程，可判定B错误；根据双曲线的标准方程和双曲线的几何性质，可判定C正确；利用直线的方程，可判定D正确. 【详解】对于A，方程可化为， 因为，可得，所以焦点就在轴上，所以A正确； 对于B，由，方程，即为，即， 则曲线表示圆心在原点，半径为的圆，所以B错误； 对于C，因为，所以或， 当时，方程可化为， 可得曲线表示焦点在轴的双曲线，其渐近线方程为； 当时，方程可化为， 则曲线是焦点在轴的双曲线，其渐近线方程为； 综上可知，，则曲线是双曲线，其渐近线方程为，所以C正确； 对于D，当时，可得化为， 曲线表示两条平行于轴的直线，所以D正确． 10. 已知圆：，，，下列说法正确的有（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线：的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 圆上存在点，满足 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，即，令，即直线过定点， 又，点在圆内，所以直线与圆相交，必有两个交点，正确； 对于B，圆心到直线的距离为，圆的半径为2，为圆心到直线距离的两倍，所以圆上最多有三个点到直线的距离为1，错误； 对于C，圆的圆心为，半径为， 两圆心距离为5，当两圆有三条公切线时，两圆外切时满足，解得，正确； 对于D，设，若，则，结合化简可得，正确. 11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的蒙日圆的方程为， B. 对直线上任意一点，， C. 记点到直线的距离为，则的最小值为， D. 若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据蒙日圆定义代入所过点的坐标即可判断A正确，取点可知，因此B错误，利用点共线特征可知当时，取得最小值再由点到直线的距离公式计算可得C正确，结合矩形与椭圆位置关系写出面积表达式并利用基本不等式计算可知D正确. 【详解】对于A，过点可作椭圆的两条互相垂直的切线：， 所以点在椭圆的蒙日圆上，因此蒙日圆方程为， 由，可得， 所以椭圆的蒙日圆的方程为，即A正确； 对于B，由直线的方程可知点在直线上， 又点满足蒙日圆方程，所以点在圆上， 当，恰为过点所作椭圆两条互相垂直的切线的两个切点时，，即B错误； 对于C，因为在椭圆上，当时，取得最小值，最小值为到直线的距离， 又到直线的距离为，，即C正确. 对于D，当矩形的四条边均与椭圆相切时，蒙日圆为矩形的外接圆， 所以矩形的对角线即为蒙日圆的直径， 设矩形的长和宽分别为，则, 所以矩形的面积， 当且仅当时，等号成立， 即矩形面积的最大值为，所以D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线C：经过点，则C的准线方程是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】把点代入抛物线得，解得， 故抛物线方程为，标准形式为，故，解得， 故抛物线的准线为． 13. 已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】如图， 对椭圆，，，所以. 设为椭圆的右焦点，则， 因为，， 所以，即. 14. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线. （1）若直线不经过第三象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线所过定点，再结合图形求出的范围. （2）根据给定条件，确定点到直线的距离取最大值的条件，再利用直线点斜式方程求解. 【小问1详解】 直线的方程为，因此直线恒过定点， 由直线不经过第三象限，得，所以的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，取得最大值， 直线的斜率，此时直线的斜率， 直线的方程为，即， 所以当最大时直线的一般式方程为. 16. 已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. （1）求的方程； （2）设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【小问1详解】 依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 17. 已知：圆与圆． （1）当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． （2）当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】（1）两圆相交，理由为： 由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． （2）①，②4. 【解析】 【分析】（1）根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，计算出圆心距，比较圆心距与半径之和，半径之差的绝对值的大小，进而判断两圆位置关系；相交时，将两圆的方程相减，即得公共弦所在直线的方程； （2）①利用两圆外切的条件得出关于参数的方程，即可求出的值，②利用外公切线的计算公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）（ⅰ）设，，联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）结合韦达定理，由即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； 【小问2详解】 （ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的取值范围是 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用离心率得到，再将已知点代入双曲线方程求出参数，得到标准方程. （2）设出过定点的直线方程，和双曲线联立，转化为一元二次方程，结合二次项系数不为、判别式大于求解斜率范围. （3）先由倾斜角写出直线方程，联立双曲线求出弦长，设，求出点到直线的距离，利用三角形面积公式列方程求解. 【小问1详解】 由离心率，得. 又，代入得，所以. 双曲线方程化为，将点代入， ，解得，. 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立， 消去，整理得. 因为直线与双曲线交于两个点，所以 由，得. 由， 得. 综上所得，的范围是. 【小问3详解】 直线倾斜角为，斜率， 直线：，整理为. 联立， 代入化简得，即. 设，， ，. 所以 . 设，点到直线：的距离 . ， 得，. 解得或. 所以坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省抚州市多校2026-2027学年高二上学期11月期中学习质量检测数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（ ） A. B. C. D. 7. 函数与的图象在第一象限的公共点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线，若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则曲线是圆，其半径为 C. 若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则曲线是两条直线 10. 已知圆：，，，下列说法正确的有（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线：的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 圆上存在点，满足 11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的蒙日圆的方程为， B. 对直线上任意一点，， C. 记点到直线的距离为，则的最小值为， D. 若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线C：经过点，则C的准线方程是_______________． 13. 已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 14. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线. （1）若直线不经过第三象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 16. 已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. （1）求的方程； （2）设直线与交于两点，若，求的值. 17. 已知：圆与圆． （1）当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． （2）当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $