精品解析：广西壮族自治区南宁市第二中学2026-2027学年度秋季学期期中素养调研九年级数学试题

2026-2027 学年度秋季学期期中素养调研 九年级 数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设点表示的数为， 由数轴可知，， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A不是中心对称图形，不符合题意； B不是中心对称图形，不符合题意； C不是中心对称图形，不符合题意； D是中心对称图形，符合题意． 3. 我国自主研制的一款芯片，其晶体管栅极长度约为 ．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，当原数的绝对值时，n是负整数，n的绝对值与小数点向右移动的位数相同． 【详解】解：． 4. 甲、乙、丙、丁四名同学近期 5 次跳绳测试的平均成绩相同，方差如下表所示，学校要从四人中选派一名同学参加比赛，则应选派的是（ ） 同学 甲 乙 丙 丁 方差 1.2 0.8 2.1 1.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义判断即可． 【详解】解：四人跳绳测试平均成绩相同，方差越小成绩越稳定，乙的方差 0.8 最小，故应选派乙． 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，点在上，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故选：C． 7. 下列算式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，同底数幂的除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A 、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意． 8. 下表是二次函数 的自变量 x 与函数 y 的部分对应值，则其图象的对称轴为（ ） x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据当、时的函数值都是，结合二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：当和时函数值均为， 抛物线对称轴为直线． 9. 如图，满足三角形内心在上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心、基本尺规作图，根据三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点可得答案． 【详解】解：由题意，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，选项A中是该三角形的角平分线，符合题意， 故选：A． 10. 按组内离差平方和最小的分法，将数据 分为两组，正确的分法是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】设总组内离差平方和为，其中，分别为两组的离差平方和，离差平方和为组内每个数与本组平均数之差的平方和；分别计算各选项的，即可选出符合题意选项． 【详解】解：设总组内离差平方和为，其中，分别为两组的离差平方和， 选项A．第一组，，； 第二组，， ； ∴； 选项B．第一组，，； 第二组，， ； ∴； 选项C．第一组，，； 第二组，，； ∴； 选项D．第一组，， ； 第二组，，； ∴； ∵， ∴选项C的总组内离差平方和最小． 11. 如图，粮仓的顶部是圆锥形，其底面周长为32，母线长为7，为防雨需要在粮仓顶部铺上油毡，则需油毡的面积为（ ） A. 64 B. 112 C. 144 D. 224 【答案】B 【解析】 【分析】粮仓顶部为圆锥，展开图为扇形，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：粮仓顶部是圆锥形，侧面展开图是弧长为32，半径为7的扇形， 所以需油毡的面积为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后得到点绕点O逆时针旋转后得到点，以此类推，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到每旋转4次一个循环，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：将点绕点O逆时针旋转得到点， ∴点，依此类推，可得，，与重合，即， ∴每旋转4次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点的坐标与相同， ∴点的坐标是． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．） 13. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 14. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 15. 如图是小丽调查的班上同学某天课外阅读时间（单位：）的箱线图，则这组数据的第一四分位数是_______． 【答案】45 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的第一四分位数是． 16. 如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分．） 17. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解分式方程： ． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，有理数乘法，乘方，再计算加减法； （2）把分式方程化为整式方程，解方程，注意检验． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解得， 经检验，是原分式方程的解． （本题满分 10 分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到，请画出平移后的； （2）画出关于原点O对称的； （3）标出与的对称中心点P． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如答案图，即为所求． （3）如答案图，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）“向左平移4个单位”即横坐标减4，纵坐标不变，据此得到各点平移后的坐标，然后描点并顺次连接即可； （2）根据原点对称的点坐标特征（横纵坐标均为相反数）得到对称点、、,然后描点并顺次连接即可； （3）连接对应点、、，交点即为对称中心点 P． 【小问1详解】 解：平移后的各顶点坐标分别为，，． 【小问2详解】 解：关于原点O对称的各顶点坐标分别为、、． 【小问3详解】 略 19. 某商场经销一批小家电，每件小家电的成本为 40 元，据市场调研，每件销售单价定为 50 元时，一个月能售出 500 件，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 件．针对该销售情况，设销售单价为 x 元（），请回答以下问题： （1）每件销售利润 = 元，月减少销售量 = 件；（用含 x 的代数式表示） （2）要保证小家电月销售利润为 8000 元，且使顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1），； （2）60 元 【解析】 【分析】（1）每件销售利润是每件售价减去每件进价，根据销售单价每涨1元，月销售量就减少 10 件，列式即可； （2）将每件销售利润乘以销售量就是利润，列方程解答即可． 【小问1详解】 解：每件销售利润是元，月减少销售量件； 【小问2详解】 依题意，得 解得， 要使顾客得到实惠， ， 销售单价应定为 60 元． 20. 如图，的对角线，相交于点O，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒，连接并延长交于点Q． （1）求证：； （2）当四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴（两直线平行，内错角相等）． 在和中，， ∴． （2）3 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到平行线和相等线段，进而得到，结合对顶角，运用“角边角”定理（）即可证明全等； （2）根据（1）中的全等三角形得到，根据点P的运动状态表示出，进而得到的表达式，根据平行四边形的性质列出方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴当时，四边形是平行四边形，即， 解得． ∴当四边形是平行四边形时，t的值为3． 21. 为从数学角度理解乐音的音调与振动的频率间的关系，某兴趣小组查阅资料，了解音乐、物理相关知识，准备了相同规格的吸管、频谱分析仪等工具，开展了综合与实践活动． 【数据收集】取若干吸管剪成不同长度的吸管，吹奏并测出这些吸管的振动频率，吸管长度记为 l（单位：cm），振动频率记为 f（单位：Hz），数据如下表： l / cm … 30 24 20 18 16 15 … f / Hz … 240 300 360 400 450 480 … 【模型构建】 （1）为直观分析 f 与 l 的变化规律，根据表中数据，在平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点； （2）分析表中数据或所画图象，对 f 与 l 的函数关系作出合理判断，并求出 f 与 l 之间的函数解析式； 【模型应用】 （3）下表是唱名与振动频率的对照表，求制作乐器时，唱名 sol 对应的吸管长度．（结果保留整数）． 唱名 do re mi fa sol la si f / Hz 261.63 293.66 329.63 349.23 392.00 440.00 493.88 【答案】（1） （2）f 是 l 的反比例函数， f = （l > 0） （3）18 cm 【解析】 【分析】（1）描点，然后连线即可； （2）根据题意反比例函数特点判断，解答即可； （3）将唱名sol对应的振动频率代入求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 观察表中数据可知：，即 l 与 f 的乘积为定值 7200，故 f 是 l 的反比例函数，函数解析式为； 【小问3详解】 由表可知唱名对应的振动频率，代入，得， 制作乐器时，唱名 对应的吸管长度约为． 22. 如图，E，F 是以 为直径的 上两点，E 是 的中点，过 E 作 交 延长线于点 D，交 延长线于点 C， 平分 交 于点 M，交于点 N． （1）求证：是 的切线； （2）求证：； （3）若 = ， ，求 的长． 【答案】（1）证明：连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）是的直径， ， ， 在中，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据等弧对的圆周角相等得，等边对等角得，证，根据平行线的性质得，即可得答案； （2）先证，结合角平分线和外角，求出，即可得答案； （3）过点 N 作 于点 H， 于点 P，先求出，再根据直角三角形角的性质，求出，根据角平分线的性质，求出，根据三角函数求出，，即可得答案． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 如下图，过点 N 作 于点 H， 于点 P， ， 为直径，对应半圆的度数是， 每段弧对应的圆心角为， ， ， ， 在中，， 平分， ， 在中，，即， ， ， 在中，，即， ， ， ． 23. 若y是x的函数，且函数的图象上存在一点，则称点A为函数图象上的“美点”．例如：一次函数的图象上存在的“美点”是． （1）求二次函数的图象上存在的“美点”； （2）求证：二次函数的图象上必存在“美点”； （3）若二次函数的图象上存在两个不同的“美点”，且两“美点”间的距离，求k的取值范围． 【答案】（1）和 （2）证明：设点为二次函数图象上的“美点”， 代入得， 即． ∵恒成立， ∴方程必有实数根，即二次函数的图象上必存在“美点”． （3） 【解析】 【分析】（1）设出“美点”，代入函数解析式求解即可； （2）设出“美点”，代入函数解析式得到一元二次方程，计算判别式即可证明； （3）设出两个不同的“美点”，代入函数解析式得到一元二次方程，根据判别式列出不等式；由根与系数的关系得到和的值，根据坐标表示出两“美点”间的距离d，化简后得到包含和的式子，代入数值列出不等式，综合两个不等式求解的取值范围． 【小问1详解】 解：设二次函数图象上的“美点”为， 代入得， 整理得，即 解得，． ∴该函数图象上存在的“美点”为和． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据“美点”的特征，将代入，得 整理得． ∵存在两个不同的“美点”， ∴ ，解得． 设两个不同的“美点”为，． 由根与系数的关系得，． ∵， ∴ 两边平方得 综上，k 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度秋季学期期中素养调研 九年级 数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国自主研制的一款芯片，其晶体管栅极长度约为 ．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名同学近期 5 次跳绳测试的平均成绩相同，方差如下表所示，学校要从四人中选派一名同学参加比赛，则应选派的是（ ） 同学 甲 乙 丙 丁 方差 1.2 0.8 2.1 1.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在上，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列算式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下表是二次函数 的自变量 x 与函数 y 的部分对应值，则其图象的对称轴为（ ） x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 9. 如图，满足三角形内心在上的是（ ） A. B. C. D. 10. 按组内离差平方和最小的分法，将数据 分为两组，正确的分法是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 11. 如图，粮仓的顶部是圆锥形，其底面周长为32，母线长为7，为防雨需要在粮仓顶部铺上油毡，则需油毡的面积为（ ） A. 64 B. 112 C. 144 D. 224 12. 如图，在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后得到点绕点O逆时针旋转后得到点，以此类推，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．） 13. 计算______． 14. 因式分解：__________． 15. 如图是小丽调查的班上同学某天课外阅读时间（单位：）的箱线图，则这组数据的第一四分位数是_______． 16. 如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为________． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分．） 17. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解分式方程： ． （本题满分 10 分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到，请画出平移后的； （2）画出关于原点O对称的； （3）标出与的对称中心点P． 19. 某商场经销一批小家电，每件小家电的成本为 40 元，据市场调研，每件销售单价定为 50 元时，一个月能售出 500 件，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 件．针对该销售情况，设销售单价为 x 元（），请回答以下问题： （1）每件销售利润 = 元，月减少销售量 = 件；（用含 x 的代数式表示） （2）要保证小家电月销售利润为 8000 元，且使顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？ 20. 如图，的对角线，相交于点O，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒，连接并延长交于点Q． （1）求证：； （2）当四边形是平行四边形时，求t的值． 21. 为从数学角度理解乐音的音调与振动的频率间的关系，某兴趣小组查阅资料，了解音乐、物理相关知识，准备了相同规格的吸管、频谱分析仪等工具，开展了综合与实践活动． 【数据收集】取若干吸管剪成不同长度的吸管，吹奏并测出这些吸管的振动频率，吸管长度记为 l（单位：cm），振动频率记为 f（单位：Hz），数据如下表： l / cm … 30 24 20 18 16 15 … f / Hz … 240 300 360 400 450 480 … 【模型构建】 （1）为直观分析 f 与 l 的变化规律，根据表中数据，在平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点； （2）分析表中数据或所画图象，对 f 与 l 的函数关系作出合理判断，并求出 f 与 l 之间的函数解析式； 【模型应用】 （3）下表是唱名与振动频率的对照表，求制作乐器时，唱名 sol 对应的吸管长度．（结果保留整数）． 唱名 do re mi fa sol la si f / Hz 261.63 293.66 329.63 349.23 392.00 440.00 493.88 22. 如图，E，F 是以 为直径的 上两点，E 是 的中点，过 E 作 交 延长线于点 D，交 延长线于点 C， 平分 交 于点 M，交于点 N． （1）求证：是 的切线； （2）求证：； （3）若 = ， ，求 的长． 23. 若y是x的函数，且函数的图象上存在一点，则称点A为函数图象上的“美点”．例如：一次函数的图象上存在的“美点”是． （1）求二次函数的图象上存在的“美点”； （2）求证：二次函数的图象上必存在“美点”； （3）若二次函数的图象上存在两个不同的“美点”，且两“美点”间的距离，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $