精品解析：广西壮族自治区南宁市第十四中学2026-2027学年度秋季学期九年级期中学科素养检测数学试卷

2026-2027学年度秋季学期九年级期中学科素养检测 数学 （考试形式：闭卷考试时间：120分钟分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列交通标志牌中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．熟练掌握根据中心对称图形的定义进行判断是解题的关键． 根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的定义，熟练掌握二次函数的定义（形如的函数）是解题的关键． 根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合二次函数的形式． 【详解】解：A.是一次函数，不符合； B.是二次函数，符合； C.是一次函数，不符合； D.是反比例函数，不符合． 故选：B． 3. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数  的性质，由  的正负确定图象所在的象限 【详解】解：反比例函数  中   该函数图象位于第一、三象限 观察选项， 只有A选项图象位于第一、三象限. 4. 如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴． 又∵， ∴． 5. 用配方法解一元二次方程时，下列步骤正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：移项得， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得． 6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形．若正六边形的半径为1，则这个正六边形的边长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，连接，得出是等边三角形，可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵六边形是的内接正六边形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ 故选：A 7. 广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用广西六堡茶2024年的总产量=广西六堡茶2022年的总产量广西六堡茶总产量的年平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 8. 如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， 设半径为，则， ，，， ， ，， ， ． 的内切圆的半径为2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 9. 已知二次函数（，a、b、c为常数），其中y与x的部分对应值如下表： x … 0.75 0.8 0.85 0.9 … … 0.19 0.44 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由表格数据可知，当时，； 当时，． 故抛物线与x轴的一个交点横坐标在0.8与0.85之间， 即． 10. 直线与抛物线的图象如图所示，若一次函数的值大于二次函数的值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的值大于二次函数的值，即一次函数的函数图像在二次函数的图像上方时的自变量取值范围，由此结合图像求解即可． 【详解】解：∵一次函数的值大于二次函数的值，即一次函数的函数图像在二次函数的图像上方时的自变量取值范围， ∴0<x<1时一次函数的值大于二次函数的值， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数图像的综合，解题的关键在于能够根据题意得到一次函数的函数图像在二次函数的图像上方时自变量的取值范围即为所求． 11. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 12. 如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，然后由对称性得到，求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，， ∴ ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称 ∴图中阴影部分的面积等于正方形的面积 ∴ ∴ 将代入得， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 的半径为3，点M为外一点，则的长可能是________． 【答案】4（答案不唯一，大于3的实数均可） 【解析】 【详解】解：∵点M在半径为3的外， ∴点M到圆心O的距离，即， 故的长可能是4． 15. 公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况需要急刹车时，由于惯性汽车会滑行一段距离才能停下来．若某辆汽车从开始急刹车时滑行的距离（米）与滑行的时间（秒）的函数关系式为，则该辆汽车急刹车时需要滑行________米才能停下． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数的最值是解题的关键． 由题意得，此题实际是求从开始急刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：该函数关系式化成顶点式为， 当时，汽车停下来，滑行了米， 故该辆汽车急刹车时需要滑行米才能停下． 故答案为：． 16. 如图，将对边互相平行且宽度为的纸条（足够长）放置在半径为的圆形纸片上，得到圆内接四边形．已知点O到的距离为，，则四边形的面积为________． 【答案】196 【解析】 【分析】过点O作于点F，连接，可知E、O、F三点共线，且为纸条宽度，根据垂径定理得到，，，根据勾股定理求出，，可知，，根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：过点O作于点F，连接， ∵，，， ∴E、O、F三点共线，且为纸条宽度，，， 已知， 则． 在中，，故； 在中，，故． ∵四边形为梯形， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，第17~23题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：因式分解，得， ∴或， 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）将向下平移5个单位长度得到，画出； （2）将绕点逆时针旋转后得到，画出； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求． ； （3）22 【解析】 【分析】本题主要考查作图旋转变换与平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义与性质及勾股定理． （1）将三个顶点分别向下平移5个单位长度得到对应点，再顺次连接即可得； （2）将点、绕点逆时针旋转得到对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）利用四边形的面积，计算得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，可知，， ∴四边形的面积为． 19. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式为． （1）根据y与x的关系式补全下表，________，________； 焦距 0.1 0.2 a … 度数度 1000 b 400 … （2）上述问题中，当x的值增大，y的值随之________（填“增大”“减小”或“不变”）； （3）小明原来佩戴400度近视眼镜，一段时间后不注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数上升了多少度？ 【答案】（1）0.25，500 （2）减小 （3）225度 【解析】 【分析】（1）先把代入求出函数解析式，再求a和b的值即可； （2）根据反比例函数的增减性解答即可； （3）把代入解析式求出度，再与原来的度数相减即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 故． 当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：∵在中， ∴在时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：当时，（度）， （度）． 答：小明的眼镜度数上升了225度． 20. 如图1，我们知道，如果点P是线段上一点（），且满足，那么这种分割就叫作黄金分割．其中，线段与的比值或线段与的比值叫作黄金分割数． 【实践操作】若线段，设的长为x，则． ∵，∴． （1）请将剩下的过程补充完整，并求出x的值．（结果保留根号） 【实践探索】二胡是我国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳． （2）如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据比例的性质化为一元二次方程求解即可； （2）根据黄金分割的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∴， ∴． 这里， ∴ ∴， 解得，（不合题意，舍去）． 故x的值为； 【小问2详解】 解：∵“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”下面一截琴弦比上面一截长， ∴“千斤”下面一截琴弦长为． 21. 如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （2）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式喷泉景观 【项目背景】学习完二次函数的相关知识后，某校九年级数学创新小组，开展项目式学习，深入探究喷泉设计与二次函数的密切关系． 【项目素材】某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流对应的抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，高度为米． 任务一：模型构建 （1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流距地面的竖直高度为y米，求在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 任务二：模型分析 （2）在（1）的条件下，张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； 任务三：问题解决 （3）为了美观，在离花形柱子米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求抛物线水流与光线之间的最小距离． 【答案】（1） （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）由题意可知，第一象限内抛物线的顶点坐标为，且经过点，根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）当时，，解得，，根据题意即可得到答案； （3）设M为第一象限内抛物线上一点，过点M作轴，交直线于点N，过点M作于点Q，先证明，然后设，则，所以，再根据二次函数的性质，即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，第一象限内抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， 张师傅身高1.76米且在喷泉景观内没有被水淋到（处于水流拱形下方安全区）， 当时不会被淋到， 故d的取值范围为； 【小问3详解】 解：设M为第一象限内抛物线上一点，过点M作轴，交直线于点N，过点M作于点Q， ，， ， 轴， ， ， ， 设，则， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 抛物线水流与光线之间的最小距离为米． 23. 在矩形中，连结，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． （1）如图1，当点恰好落在矩形的对角线上，点落在的延长线上时，求证：； （2）如图2，当点F落在的延长线上时，延长交线段于点G，请判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线与线段的交点记为点，与直线的交点记为点，当，时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连结， ∵四边形是矩形， ∴． 由旋转的性质，得， 则，，， ∴． 又∵， 在与中， ， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即； （3）线段的长度为或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而得到，再转化角度的关系求解即可； （2）先证明与全等，由此可得．再利用矩形的性质可得边的关系，由此可得数量关系； （3）设出未知数，分情况讨论，点H在线段上时，与点H在线段的延长线上时，两种情况，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或． 如图1，当点H在线段上时，连接，，如图， 由，可得， 设，则， ∵， ∴，， 在中，， 又∵，， 在中，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得； 如图2，当点H在线段的延长线上时， 设，则， 同理可得，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 综上，线段的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度秋季学期九年级期中学科素养检测 数学 （考试形式：闭卷考试时间：120分钟分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列交通标志牌中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，下列步骤正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形．若正六边形的半径为1，则这个正六边形的边长为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知二次函数（，a、b、c为常数），其中y与x的部分对应值如下表： x … 0.75 0.8 0.85 0.9 … … 0.19 0.44 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 直线与抛物线的图象如图所示，若一次函数的值大于二次函数的值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 11. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 14. 的半径为3，点M为外一点，则的长可能是________． 15. 公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况需要急刹车时，由于惯性汽车会滑行一段距离才能停下来．若某辆汽车从开始急刹车时滑行的距离（米）与滑行的时间（秒）的函数关系式为，则该辆汽车急刹车时需要滑行________米才能停下． 16. 如图，将对边互相平行且宽度为的纸条（足够长）放置在半径为的圆形纸片上，得到圆内接四边形．已知点O到的距离为，，则四边形的面积为________． 三、解答题（本大题共7小题，第17~23题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）将向下平移5个单位长度得到，画出； （2）将绕点逆时针旋转后得到，画出； （3）求四边形的面积． 19. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式为． （1）根据y与x的关系式补全下表，________，________； 焦距 0.1 0.2 a … 度数度 1000 b 400 … （2）上述问题中，当x的值增大，y的值随之________（填“增大”“减小”或“不变”）； （3）小明原来佩戴400度近视眼镜，一段时间后不注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数上升了多少度？ 20. 如图1，我们知道，如果点P是线段上一点（），且满足，那么这种分割就叫作黄金分割．其中，线段与的比值或线段与的比值叫作黄金分割数． 【实践操作】若线段，设的长为x，则． ∵，∴． （1）请将剩下的过程补充完整，并求出x的值．（结果保留根号） 【实践探索】二胡是我国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳． （2）如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长．（结果保留根号） 21. 如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 22. 【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式喷泉景观 【项目背景】学习完二次函数的相关知识后，某校九年级数学创新小组，开展项目式学习，深入探究喷泉设计与二次函数的密切关系． 【项目素材】某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流对应的抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，高度为米． 任务一：模型构建 （1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流距地面的竖直高度为y米，求在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 任务二：模型分析 （2）在（1）的条件下，张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； 任务三：问题解决 （3）为了美观，在离花形柱子米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求抛物线水流与光线之间的最小距离． 23. 在矩形中，连结，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． （1）如图1，当点恰好落在矩形的对角线上，点落在的延长线上时，求证：； （2）如图2，当点F落在的延长线上时，延长交线段于点G，请判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线与线段的交点记为点，与直线的交点记为点，当，时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $