精品解析：浙江省宁波市三锋联盟2026-2027学年高二上学期11月期中学科练习数学试题

高二数学学科练习 考生须知： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的方向向量为，则它的倾斜角是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线l的方向向量为，所以直线l的斜率， 设直线倾斜角为，，所以，即. 2. 椭圆的焦点坐标是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】将椭圆方程，化为标准方程得. 因为，所以该椭圆的焦点在轴上，且，. 由，解得. 所以该椭圆的焦点坐标为，. 3. “”是“关于x，y的方程：表示圆”（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据“当时，方程表示圆”作出判断. 【详解】方程表示圆等价于即， 解得或，“”是“或”的充分不必要条件. 4. 在四面体中，，，且，，，可用，，表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，由，可知， 所以. 故. 5. 已知，，且，则x的值是（ ）． A. B. 10 C. 16 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的充要条件计算. 【详解】，解得. 6. 椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为点为点关于直线的对称点，所以 点坐标为 . 又因为 在椭圆 上，所以 ，即， 又因为，解得 ，因此椭圆的离心率是. 7. 已知直线与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆上有且只有一个点P，使得，则r为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解. 【详解】令得，令得，，， 的中点为，又，在的垂直平分线上， 故垂直平分线的斜率， 又的中点为，故垂直平分线方程为，即， 圆心到直线的距离. 8. 在四面体中，平面，，，，M是中点，当二面角的大小为，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系，求出各点坐标，设，利用三角函数，用表示出点和点的坐标，进而用表示出平面和平面的法向量的坐标，利用二面角的大小，转化为向量夹角的大小，即可列出方程求解. 【详解】因为平面，， 所以以为原点，以为轴，平面为平面，建立空间直角坐标系， 则，，， 设， 在直角中，，所以，， 所以，， ，， 所以设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以， ，， 所以设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以， 因为二面角的大小为， 所以， 化简得， 所以，，所以的大小为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ）． A. 若直线的方向向量，平面的法向量，则或 B. 若平面、的法向量分别为，，则 C. 若点、，点是关于平面的对称点，则点与的距离为 D. 在空间直角坐标系中，已知，，则直线与坐标平面的交点坐标是 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A：若直线的方向向量，平面的法向量， 因为，则，所以或，故A正确； 对于选项B：若平面、的法向量分别为，， 因为，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为点关于平面的对称点是， 且，所以，故C错误； 对于选项D：因为、，则， 设直线与坐标平面的交点坐标是，则， 又因为，则，解得，， 所以直线与坐标平面的交点坐标是，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 若直线经过点，且在、轴上的截距相等，则直线的方程为 B. 过点，且与直线垂直的直线方程为 C. “直线与直线平行”是“”的必要不充分条件 D. 若直线和以、为端点的线段相交，则实数的范围为或 【答案】BD 【解析】 【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，并求出直线的方程判断A；由垂直关系并利用待定系数法求出方程判断B；由平行关系求出判断C；求出直线所过定点，再利用斜率坐标公式并求出范围判断D. 【详解】对于A，当直线过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得， 此时直线的方程为， 当直线不过原点时，根据题意设直线的方程为， 代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或，故A错误； 对于B，设与直线垂直的直线方程为，由该直线过点，得， 因此所求直线方程为，故B正确； 对于C，由直线与直线平行，得，解得， 因此“直线与直线平行”是“”的充要条件，故C错误； 对于D，直线恒过定点且斜率为， 直线、的斜率分别为，， 由直线和以、为端点的线段相交，得或，故D正确. 11. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，过任作一条弦（不与长轴重合），连接，，，，，，则（ ）． A. B. 面积的最大值为 C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，设出点的坐标，利用向量的坐标运算及椭圆的范围即可判断；对于B选项，利用三角形面积公式及椭圆的几何性质即可判断；对于C选项，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率公式化简即可判断；对于D选项，利用C选项的结论及椭圆的第三定义求出与的关系，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】设，，，，，. 对于A选项，. 因为点在椭圆上，所以， 代入得. 令.因为二次项系数，所以二次函数开口向上，且对称轴为. 所以，当时，单调递减；当时，单调递增. 因为（不与长轴端点重合），所以当时取得最小值； 当时，趋近于最大值. 即取值范围为，故A错误； 对于B选项，的面积. 因为，所以，当为短轴端点时等号成立，故B正确； 对于C选项，设直线的方程为，代入椭圆方程化简得. 由韦达定理得，. 则，. 根据斜率公式，可得： ，， 所以. 计算分母得. 所以，故C正确； 对于D选项， . 所以. 则. 将C选项结论代入，得. 所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公切线有__________条． 【答案】3 【解析】 【详解】两圆的圆心分别为，半径分别为， 所以， 所以两圆外切，所以公切线有条. 13. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，则直线与所成的角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可知：，，， 因为， 则 ， 可得， 且， 可得， 所以直线与所成的角的余弦值为. 14. 对于椭圆的标准方程：，其左、右焦点分别是，．若点是椭圆上的任意一点，则左焦半径：；右焦半径：；e是椭圆的离心率．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一个动点，I是的内心，则I的轨迹方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用面积法和焦半径公式建立内心和动点的坐标的关系即可求出. 【详解】由题意得，，故左、右焦点分别是，，， 设的内心，内切圆半径为，点， ，又， 又， ，即， 又，， ，即， 将，代入得，即， 又当时内心不存在，故， 故I的轨迹方程是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写成文字说明，证明过程或验算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，，求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边上的高所在直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，然后根据两点坐标结合直线方程的求解即得； （2）根据斜率公式，直线垂直的斜率关系及直线的点斜式方程即得. 【小问1详解】 的中点坐标为， 又，所以的中线方程为：． 【小问2详解】 ，边上的高所在直线， 所以的高线方程为 16. 已知直线与圆相交于两点． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1）证明：直线， 整理得， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据方程的性质进行证明即可； （2）利用点到直线的距离公式及弦长公式即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以， 解得或， 所以，所求直线方程为或， 即或． 17. 已知在棱长为的正方体中，点在棱上，且，是的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求四面体的体积． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）利用向量法求解线面夹角； （2）利用向量法求出点到平面的距离，再根据棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值． 【小问2详解】 点到平面的距离为， ，，， 所以为等腰三角形，， 所以． 所以四面体的体积为12． 18. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，且． （1）当时，求证：平面； （2）若平面平面，当为何值时，平面与平面所成的角的余弦值为？ （3）设二面角的大小为，当在变化时，求的重心G在空间中的运动轨迹的长度． 【答案】（1）当时，点E为的中点，取的中点F，连接，， 在中，，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得； （2）取的中点为O，由面面垂直的性质定理证得平面，建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法列出相应的方程，求解可得的值； （3）利用向量分析得重心满足的条件，从而得其轨迹，并求得长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为O，取的中点为M，连接，． 在等腰中，， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面． 由题意可知，四边形为等腰梯形，O，M分别为，的中点， 所以． 以O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系． ，，，，， ，， 设平面的法向量， ，取，则， ，， 设平面的法向量， ， 取，则， ， 所以，当时，平面与平面所成的角的余弦值为． 【小问3详解】 ， 设，则． 由于，平面绕着轴旋转了半圈，点P转半圈，点G也转半圈， 因此点G的轨迹长度为． 19. 已知点和点是椭圆上的两点，B是椭圆的下顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点P的直线l交椭圆的另一个点Q，且的面积为3，求直线l的方程； （3）若点T为椭圆第二象限内的任意一点，交y轴于点M，交x轴于点N，求证：四边形的面积为定值． 【答案】（1） （2）或 （3）证明：由（1）知，设，则直线， 当时，点的纵坐标，直线， 当时，点的横坐标，而， 则 ， 所以四边形的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）设出直线方程并与椭圆方程联立求出点的横坐标，利用弦长公式及点到直线距离公式，结合三角形面积列式求解. （3）设，求出点的坐标，再求出四边形面积化简即得. 【小问1详解】 由点和点在椭圆上， 得，解得，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，则，此时， 当直线l的斜率存在时，设直线，， 由消去并整理，得， 由，得，， 点到直线的距离，因此， 解得或，所求直线的方程为：，或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科练习 考生须知： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的方向向量为，则它的倾斜角是（ ）． A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“关于x，y的方程：表示圆”（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在四面体中，，，且，，，可用，，表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知，，且，则x的值是（ ）． A. B. 10 C. 16 D. 26 6. 椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知直线与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆上有且只有一个点P，使得，则r为（ ）． A. B. C. D. 8. 在四面体中，平面，，，，M是中点，当二面角的大小为，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ）． A. 若直线的方向向量，平面的法向量，则或 B. 若平面、的法向量分别为，，则 C. 若点、，点是关于平面的对称点，则点与的距离为 D. 在空间直角坐标系中，已知，，则直线与坐标平面的交点坐标是 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 若直线经过点，且在、轴上的截距相等，则直线的方程为 B. 过点，且与直线垂直的直线方程为 C. “直线与直线平行”是“”的必要不充分条件 D. 若直线和以、为端点的线段相交，则实数的范围为或 11. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，过任作一条弦（不与长轴重合），连接，，，，，，则（ ）． A. B. 面积的最大值为 C. D. 的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公切线有__________条． 13. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，则直线与所成的角的余弦值为__________． 14. 对于椭圆的标准方程：，其左、右焦点分别是，．若点是椭圆上的任意一点，则左焦半径：；右焦半径：；e是椭圆的离心率．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一个动点，I是的内心，则I的轨迹方程是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写成文字说明，证明过程或验算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，，求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边上的高所在直线方程． 16. 已知直线与圆相交于两点． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线的方程． 17. 已知在棱长为的正方体中，点在棱上，且，是的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求四面体的体积． 18. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，且． （1）当时，求证：平面； （2）若平面平面，当为何值时，平面与平面所成的角的余弦值为？ （3）设二面角的大小为，当在变化时，求的重心G在空间中的运动轨迹的长度． 19. 已知点和点是椭圆上的两点，B是椭圆的下顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点P的直线l交椭圆的另一个点Q，且的面积为3，求直线l的方程； （3）若点T为椭圆第二象限内的任意一点，交y轴于点M，交x轴于点N，求证：四边形的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $