精品解析：浙江省浙里特色联盟2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题

2026学年第一学期浙里特色联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须答在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 过两点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. “”是“方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知经过原点的直线与圆相交于两点，若，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，点M是斜边的中点．将沿折起，使得平面平面，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 圆为圆的一条弦，且，过两点分别作圆的切线，两条切线交于点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左，右焦点分别为，，线段的垂直平分线与在第一象限交于点，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选､错选得0分. 9. 设复数，则（ ） A. 的实部为-7 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点 11. 如图，在正三棱柱中，M，N，D，Q分别为棱的中点，，则以下结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 点Q到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球表面积为 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每个空5分，共15分. 12. 过点且与圆相切的直线方程__________． 13. 已知是第二象限角，，则__________. 14. 已知椭圆的离心率为分别为左､右焦点，点是椭圆上位于第一象限的点，，记的平分线交椭圆于另一个点，则_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值，并求此时的值. 16. 在平面直角坐标系中，已知经过原点的直线与圆C：交于，两点. （1）若直线：与圆相切，求实数的值； （2）若弦长，求直线的方程； （3）若点在圆上，求的最大值与最小值. 17. 已知椭圆：的左焦点为，左顶点为，离心率为. （1）求的方程； （2）若过坐标原点且斜率为的直线与交于，两点，直线与的另一个交点为，的面积为. （i）求的面积； （ii）求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设. （1）证明：. （2）设二面角的平面角为，且，求的值. 19. 若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）． （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值． 参考公式：，的中点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期浙里特色联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须答在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用并集的运算法则即可求解. 【详解】已知集合， 则，即，故A正确. 2. 过两点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角的坐标运算公式即可求解. 【详解】因为过两点的直线的倾斜角为， 即，解得. 3. “”是“方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆定义及充分必要条件的概念可得. 【详解】若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆， 则，解得：. 设条件：，条件：. 所以是的必要不充分条件. 4. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A 5. 已知经过原点的直线与圆相交于两点，若，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 由题可得，圆心为，半径为， 因为直线经过原点，与圆相交有弦长时，斜率存在， 设直线的斜率为，所以直线的方程为， 圆心到直线的距离， 解得，， 所以的斜率的取值范围是. 6. 在中，，，，点M是斜边的中点．将沿折起，使得平面平面，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折后的立体图形，过作，交的延长线于，再证明平面，从而根据三角函数的定义得到点到底面的距离，进而结合翻折后的不变量，及棱锥的体积公式即可求解． 【详解】在中，由，，，且点M是斜边的中点， 则，，则， 则将沿折起后，有，，， 则是等边三角形，即， 过作，交的延长线于， 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，即为点到底面的距离， 所以在中，， 所以三棱锥的体积为． 7. 圆为圆的一条弦，且，过两点分别作圆的切线，两条切线交于点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过几何分析，得到点 的轨迹是一个确定的圆，且 为定长，将问题转化为圆上一点到定点 的最短距离加上常数即可求解. 【详解】在圆中，半径，弦长，设圆心到弦的距离为， 根据垂径定理，， 设圆心到弦的垂足为，则且， 因为是圆的切线，所以， 由射影定理可知，，即， 因此，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其方程为， 由于在轨迹圆上，所以 是一个定值， 点到圆心的距离为， 点在半径为的圆上，所以的最小值为（当在连线之间时）， 所以的最小值为 ，故B正确. 8. 椭圆的左，右焦点分别为，，线段的垂直平分线与在第一象限交于点，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先依题意得，，再根据题意设点，从而得到直线的方程，即得到，再根据两点间的距离公式得到，从而将点代入椭圆方程化简得到，进而结合椭圆的离心率的定义即可求解． 【详解】依题意可得，， 则线段的垂直平分线为，则设点， 所以直线的方程为，则， 又，即，整理得，即， 又点在椭圆上，则，整理得， 又椭圆的离心率为，，即， 解得，或（舍去），所以． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选､错选得0分. 9. 设复数，则（ ） A. 的实部为-7 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，所以实部为，故 A正确. 对于B，，则其共轭复数为，故B正确. 对于C，而，故C错误. 对于D，，对应的点在第四象限，故D正确. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.将直线整理为，令，求出，从而得到直线恒过的定点；B. 求出圆心到直线的距离，直线将圆的圆弧分为优弧和劣弧，求出劣弧上的点到直线的最大距离，得到劣弧上不存在到直线的距离为的点，求出优弧上的点到直线的最大距离，得到优弧上存在到直线的距离为的点有个，从而得到结论；C. 由圆与圆恰有三条公切线，得到两圆外切，则圆心距，通过计算得解.D.设，由在直线上得到，由过点向圆引两条切线为切点，得到，则两点在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，把代入以为直径的圆的方程得到，则，通过计算得到直线恒过的定点. 【详解】A.直线：， 按整理得， 令，解得， 即直线恒过定点，不是，选项A错误； B.圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 直线将圆的圆弧分为优弧和劣弧， 劣弧上的点到直线的最大距离为， 则劣弧上不存在到直线的距离为的点， 优弧上的点到直线的最大距离为， 则优弧上存在到直线的距离为的点有个， 故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于， 选项B正确； C. ，圆心，， ，且， 圆心为，， 因为圆与圆恰有三条公切线， 所以两圆外切，则圆心距， 圆心距为， 则，选项C正确； D.设，因为在直线上，所以， 因为过点向圆引两条切线为切点， 所以， 则两点在以为直径的圆上， ，，则的中点为， 以为直径的圆的半径为， 则以为直径的圆的方程为， 整理得到， 把代入， 得到， 令，得，即直线恒过定点，选项D正确. 11. 如图，在正三棱柱中，M，N，D，Q分别为棱的中点，，则以下结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 点Q到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】应用线面平行判定定理判断A,应用勾股定理计算判断B,应用等体积求出点Q到平面的距离判断C,利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D. 【详解】由题，，所以平面,不在平面内，故平面，A正确； 由题可得，， 设，易得，， 因为，即，解得，故，B错误； 因为，所以， 所以平面,平面,得出平面， ， 所以， 又， 设点Q到平面的距离为d，则，得，C正确； 将三棱锥补成以为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 其球心O位于上下底面外心的中点，， 故的外接圆半径， 设外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球表面积，D错误． 故选：AC． 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每个空5分，共15分. 12. 过点且与圆相切的直线方程__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为点在圆上，则过圆上点的切线方程为 化为一般式即为 13. 已知是第二象限角，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件求出，再利用结合诱导公式和倍角公式即可求解. 【详解】由是第二象限角，，则也在第二象限， 因此可得， 又， 则. 故答案为：. 14. 已知椭圆的离心率为分别为左､右焦点，点是椭圆上位于第一象限的点，，记的平分线交椭圆于另一个点，则_________. 【答案】5 【解析】 【分析】先由离心率推导椭圆基本量的关系，然后利用椭圆的定义和余弦定理求出和，最后利用角平分线性质转化面积比即可. 【详解】 已知椭圆离心率 ​​，因此 ，结合椭圆关系 ，可得 . 对于椭圆上任意一点，则有 . 在 中，由余弦定理： ， 其中 ，​， 代入得： ， 解得 ，结合 ，且在第一象限， 故.​ 因为是的角平分线，故点到​、​的距离相等， 因此两个三角形的面积比等价于角两边的长度比： 即. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值，并求此时的值. 【答案】（1） （2）面积最大值， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，化简得到，结合三角形内角范围即可求出角； （2）由余弦定理列式，结合均值不等式求出的最大值，进而得到面积的最大值，等号成立时，即可求出. 【小问1详解】 由正弦定理，得. 代入已知条件，可得. 移项整理，得，在中，故. 又，因此. 【小问2详解】 由余弦定理， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立， 故面积，即面积最大值，此时. 16. 在平面直角坐标系中，已知经过原点的直线与圆C：交于，两点. （1）若直线：与圆相切，求实数的值； （2）若弦长，求直线的方程； （3）若点在圆上，求的最大值与最小值. 【答案】（1）. （2）或. （3）最大值为20，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式即可求出的值； （2）根据弦长，结合弦长公式求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求出直线斜率，从而得到直线方程； （3）利用几何意义转化，，即为圆上动点到原点的距离平方，即将，转化为，，再平方即可. 【小问1详解】 先将圆化为标准方程：， 可得圆心，半径. 直线：与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，即. 两边平方：，展开得， 整理得， 即，结合，故. 【小问2详解】 ①当直线斜率存在时，设：，即. 圆心到直线距离，由弦长公式，代入， ，，. 即，展开得，即， 解得或. ②当直线斜率不存在时，直线的方程为：，代入圆方程得或， 弦长，不符合题意，舍去. 综上，直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 ，几何意义为圆上动点到原点的距离平方. 圆心，，半径（原点在圆上）， 则 即，对应最大值为20； ，对应最小值为0. 故最大值为20，最小值为0. 17. 已知椭圆：的左焦点为，左顶点为，离心率为. （1）求的方程； （2）若过坐标原点且斜率为的直线与交于，两点，直线与的另一个交点为，的面积为. （i）求的面积； （ii）求直线的方程. 【答案】（1）. （2）（i）.（ii）或. 【解析】 【分析】（1）由左顶点为得，再根据离心率为，求出值，从而得到值，则求出椭圆的方程； （2）（i）通过图象易知； （ii）设直线方程为，联立椭圆方程得，设，，则得到韦达定理式，从而得到，则有，解出即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的左顶点为，所以， 又离心率，所以，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，左焦点的坐标为，当直线垂直于轴时，易知点的坐 标为，由椭圆的对称性知，点，关于原点对称，所以，与题意不符； 所以直线的斜率存在，由椭圆的对称性可得. （ii）设其方程为，由， 消去并整理得，设，， 则，， 所以， 因此，即， 即， 即， 即， 解得，即， 所以直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设. （1）证明：. （2）设二面角的平面角为，且，求的值. 【答案】（1）取的中点，连接. 因为，所以. 又，所以四边形是平行四边形，从而. 因为，所以，从而. 因为，所以，则. 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面，平面，从而. 又，平面， 所以平面，因为平面，所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质、勾股定理的逆定理，结合面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，可得. 设平面的法向量为， 由， 不妨令，则. 因为平面，所以可取平面的一个法向量为， 因为，所以， 解得或（舍去）. 19. 若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）． （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值． 参考公式：，的中点坐标为． 【答案】（1）-1或3. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义计算求解即可； （2）由方程的根个数得出判别式大于零，再应用二次函数恒大于零判别式小于零求解； （3）应用已知结合韦达定理，结合值域的求解方法求出最值. 【小问1详解】 当，时，,由,解得或,所以所求的不动点为-1或3. 【小问2详解】 令则①, 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以, 即恒成立，则，故 【小问3详解】 设,,又AB的中点在该直线上，所以, 而应是方程①的两个根，所以 即, , , 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $