精品解析：江西师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

江西师大附中高一年级期中考试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在数学中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 6. 已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的奇函数，且当时．若存在实数，同时满足和，则所有满足条件的实数构成一个闭区间，该区间的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 命题，的否定为“，” B. 若，则的最小值为3 C. 若，，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知a，b为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为14 D. 的最小值为 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为________. 13. 设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为______． 14. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求：①；②；③. 16. 已知幂函数在上单调递减． （1）若命题：，为真命题，求实数的最小值； （2）求不等式的解集． 17. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 18. 已知函数是定义域在R上的奇函数． （1）求实数a的值： （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 19. 对于定义域为的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值，，当时，总有，则称是的“函数”． （1）判断函数，是否存在“函数”，并说明理由； （2）若非常值函数，是奇函数．求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； （3）若函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西师大附中高一年级期中考试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】根据题意，，，所以，故D正确. 2. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】对于 A 选项，，定义域为；，定义域为. 两函数定义域不同，不是同一个函数. 对于 B 选项，的定义域需满足，解得；的定义域满足，解得. 两函数定义域相同，且当时，，对应法则也相同，是同一个函数. 对于 C 选项，，，当时，，对应法则不同，不是同一个函数. 对于 D 选项，的定义域需满足，解得；的定义域满足，解得或. 两函数定义域不同，不是同一个函数. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 故. 4. 在数学中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域排除B，取特殊值排除C，根据函数的奇偶性排除D，得到答案. 【详解】函数的定义域为R，不符合函数图像，排除B； 当时，，不符合函数图像，排除C； ，故函数为偶函数，不符合函数图像，排除D. 故选：A. 5. 设函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得， 用替换得：， 故函数的周期为4， ，故， 由，令得， 当时，，故，， 故． 6. 已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为满足对任意都有，可知在R上单调递减， 则，解得，即 7. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，和三种情况分类讨论，结合整数解个数，得到不等式，求出答案 【详解】当时，解得，不等式有无数个整数解，不满足要求； 故，由关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为或，不等式有无数个整数解，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为 ， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得， 故实数的取值范围为. 8. 设是定义在上的奇函数，且当时．若存在实数，同时满足和，则所有满足条件的实数构成一个闭区间，该区间的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合，将转化为，求得所有满足条件的实数构成的闭区间，并求得其长度. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 且当时，，且单调递增， 所以当时，，，且单调递增. 所以函数是上的增函数. 由，得，所以. 当时，； 当时，. 所以， 所以，即， 所以，. 所以. 所以所有满足条件的实数构成的区间的长度为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 命题，的否定为“，” B. 若，则的最小值为3 C. 若，，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据特称命题否定的定义判断 A；利用换元法配合函数单调性求最值判断 B；利用待定系数法寻找式子间的线性关系判断 C；根据函数定义域的复合关系求解判断 D. 【详解】对于 A，特称命题的否定是全称命题，否定时需更换量词并否定结论，但不改变自变量的取值范围. 故命题的否定为 “”，A 错误. 对于 B，设，由知. 原式可化为 ，且在上是增函数， 故当时取最小值. 故 B 错误. 对于 C，设， 则有，解得. 所以. 由得，由得. 两式相加得，即. 故 C 正确. 对于 D，函数的定义域为，即. 令，则，即. 这说明作用的范围是，故的定义域为. 故 D 正确. 10. 已知a，b为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为14 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，A错误； 对于B，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由， 当且仅当时，即，，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，可得， 当且仅当即，时等号成立，所以的最小值为，D错误． 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令判断；B令结合在上的不恒为零判断；C令得，再由已知求；D若，由题设得，令结合单调性定义及已知判断单调性. 【详解】A：令，可得，对； B：令，则， 由在上的不恒为零，故不恒成立，错； C：令，则，则， 令，则，对； D：若，则，即， 取，则，显然，即， 所以，即，故在单调递减，对. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的单调性即可求得其值域. 【详解】因为函数， 又因为，所以； 故答案为： 13. 设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由题意在上单调递增， 又，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 当时，由，可得，即， ， 当时，由，可得，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】首先设，为常数，再根据，求的值，将不等式转化为，结合函数的单调性，求的最大值，即可求解. 【详解】因为，且在上单调， 所以，为常数，所以， 所以，所以 所以，在上单调递增， 因为对，使得成立， 所以， 又当时，， 当时，， 即， 所以，得， 又，所以的最小值为7. 故答案为：7. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 因为，故即， 故即， . 16. 已知幂函数在上单调递减． （1）若命题：，为真命题，求实数的最小值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，再采用参变分离法将存在性命题转化为，再根据函数在上的单调性求出最小值. （2）代入解析式后通过移项通分结合穿针引线法求解分式不等式即可. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以，代入得， ，，即，使得成立，则， 设，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 即，则实数的最小值为. 【小问2详解】 ， ， 其三个零点分别为，且的系数为正， 所以解得或. 17. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）， （2）当时，取得最大值，且最大值为115万元 【解析】 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. 【小问2详解】 由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 18. 已知函数是定义域在R上的奇函数． （1）求实数a的值： （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上是增函数， 设任意， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，再检验是否为奇函数； （2）由单调性的定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再上单调性化简，用分离参数法转化为求函数的最值． 【小问1详解】 函数 是定义域在R上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为R关于原点对称，所以为奇函数，故符合． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在R上的奇函数，所以对于恒成立， 又在R上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数 ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为． 19. 对于定义域为的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值，，当时，总有，则称是的“函数”． （1）判断函数，是否存在“函数”，并说明理由； （2）若非常值函数，是奇函数．求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； （3）若函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在“函数”； ， 当时，；当时，； 故，该函数不存在“函数” ． （2）充分性：若，则， 对于任意，总有，故存在“函数”； 必要性：因为是奇函数，则，任取， 因为存在“函数”，故，则， 当时，，故， 则，综上可得，即是常数，设为， 则，得证． （3） 【解析】 【分析】（1）构造，用特殊值法结合定义得出结论； （2）充分性直接代入正比例函数验证为常函数满足条件，必要性结合奇函数推出是偶函数，再由单调不减推得只能是常数，得到； （3）两函数各自满足函数定义，则它们的和也满足，且和为奇函数，借助第（2）问结论对比系数直接得到，再验证成立． 【小问1详解】 该函数不存在“函数” ．理由略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记，，已知定义域都是，且均存在“函数”， 则， 则存在“函数”，又此函数定义域为， 关于原点对称，且， 故是奇函数，由（2）知存在使得恒成立， 故， 又时，，均为“函数”，符合题意， 综上可得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $