精品解析：上海外国语大学附属大境初级中学2026-2027学年度第一学期九年级数学学科期中质量监测

2026 学年度第一学期九年级数学学科期中质量监测 （共 4 页　时间：100 分钟） 一、选择题（本大题共 6 小题，每个小题只有一个正确选项） 1. 关于抛物线，下列说法中，正确的是（ ） A. 经过坐标原点 B. 顶点是坐标原点 C. 有最高点 D. 对称轴是直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：， 二次项前面的系数大于0，抛物线开口向上，有最低点， 当x=0时，y=0，抛物线经过坐标原点， ， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 综上所述，B、C、D选项均不正确，只有A选项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本性质，学会化顶点式判断是解决本题的关键． 2. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移的规律计算． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 3. 下列选项中，一定是相似图形的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个周长相等的等腰三角形 D. 两个含角的直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】从对应角是否相等、对应边是否成比例两方面，逐一验证各选项中的图形是否为相似图形． 【详解】解：A、两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似； B、两个菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，不一定相似； C、两个周长相等的等腰三角形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不一定相似； D、两个含角的直角三角形，三个内角对应相等，一定相似． 4. 广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 5米 D. 6米 【答案】B 【解析】 【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值． 【详解】解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6， ∴当x=2时，y有最大值， ∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 5. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是x cm，则 ， 解得：， ∴我认为选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 6. 如图，在直角梯形中，，，对角线的交点为点O．如果梯形的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ） A. 点O到边的距离 B. 点O到边的距离 C. 点O到边的距离 D. 点O到边的距离 【答案】D 【解析】 【分析】变化后的梯形为，对角线的交点为，连接，利用平行证出△ABO∽△CDO，△∽列出比例式即可证出，从而证出∥，然后根据平行线之间的距离处处相等即可证出结论． 【详解】解：如下图所示，变化后的梯形为，对角线的交点为，连接 由题意易知：CD= ∵AB∥CD，AB∥ ∴△ABO∽△CDO，△∽ ∴， ∴ ∴∥ 根据平行线之间的距离处处相等，可得点O和点到DA的距离相等，点O和点到AB、BC、CD的距离不一定相等 ∴不变量是点O到边的距离 故选D． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线之间的距离，找出相似三角形并证出∥是解题关键． 二、填空题（本大题共 10 小题） 7. 已知，那么代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知，可通过设公共比例系数的方式，将、表示为含同一非零参数的式子，代入目标代数式化简后约去参数即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）， 将，代入代数式， 得． 8. 如果函数y＝(m﹣1)x2+x(m是常数)是二次函数，那么m的取值范围是_____． 【答案】m≠1 【解析】 【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可． 【详解】∵函数y=（m-1）x2+x（m为常数）是二次函数， ∴m-1≠0，解得：m≠1， 故答案为m≠1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键． 9. 对于二次函数，当 时，函数值 ________． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数解析式，将给定的自变量取值代入解析式，按有理数运算法则计算即可得到对应函数值． 【详解】解：将代入函数解析式， ∴． 10. 已知在中，点D、E分别在边、上，，，那么的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求得，然后利用比例的性质求得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴. 11. 已知抛物线（是常数）与轴有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴有交点等价于对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式建立关于的不等式求解． 【详解】解：∵抛物线（是常数）与轴有交点， ∴一元二次方程有实数根， ∴该方程根的判别式， 化简得， 解得． 12. 已知抛物线 经过点，则 ______（用“”、“”或“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】将两点横坐标代入抛物线解析式，得到含参数的函数值表达式，作差比较即可得到大小关系． 【详解】解：将代入抛物线，得； 将代入抛物线，得， 计算两式的差：， ∴ ． 13. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形周长比与相似比的关系，结合对应高的比等于相似比的性质求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， ∴这两个三角形对应边上的高之比为． 14. 如图，为等边三角形，点D、E分别在边、上，．如果，，那么的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，证明，利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 15. 当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】将原抛物线解析式化为顶点式得到原顶点坐标，根据轴对称性质求出对称后的顶点坐标，结合抛物线对称后形状不变的特点写出新抛物线的表达式． 【详解】解：将的解析式配方为顶点式，， ∴的顶点坐标为， ∵关于直线对称的两点纵坐标相同，且两点横坐标的中点在对称轴上， 设对称后的顶点横坐标为， 则， 解得， ∴对称后的顶点坐标为， ∵轴对称变换不改变抛物线的开口方向与大小，即二次项系数保持不变， ∴的二次项系数为1，对应的顶点式为． 16. 如图，已知矩形纸片，点E在边上，且，将沿直线翻折，使点B落在对角线上的点F处，联结．如果点D、F、E在同一直线上，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据折叠的性质和矩形的性质得到，证明，利用对应边成比例列式求出的长． 【详解】解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 三、解答题（本大题共 7 小题） 17. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以坐标原点 O 为位似中心，将 扩大到原来的 2 倍得到． （1）请在平面直角坐标系中画出和； （2）的面积是________； （3）如果以坐标原点 O 为位似中心，再将扩大到原来的3倍，得到，请问的面积为________． 【答案】（1）如图：、即为所求． （2） （3）54 【解析】 【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标分别乘以或得到的坐标，然后描点、连线即可； （2）利用割补法求出的面积即可； （3）根据位似图形的面积比等于位似比的平方求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 解：∵将 扩大到原来的2倍得到， ∴与的位似比是2， ∴的面积是的面积的4倍，即； ∵将扩大到原来的3倍得到， ∴与的位似比是3， ∴的面积是的面积的9倍，即． 18. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，且，． （1）求的值； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再转化求； （2）过作平行线，或者用梯形的平行线分线段模型，构造相似求解． 【小问1详解】 解：， ， 设，， 则， ． 【小问2详解】 解：过点作交于，交于， 又， ∴四边形和均是平行四边形， ∴，， ， ， ∴，， ． 19. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为，联结，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵，且， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形两组对边分别平行得到，，结合已知由等角的补角相等得，用两角对应相等证； （2）先用相似三角形对应边比例求出，再结合，在中用勾股定理算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴，即是直角三角形， 在中，． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形边长均为1，点、、、、均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，=________； （2）如图②，在线段上找一点，使得； （3）如图③，在线段上找一点，连接，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易知，即可求解； （2）根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图； （3）根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图． 【小问1详解】 解：由图可知：， ， ． 【小问2详解】 解：由图可知：， ， ， 即． 【小问3详解】 解：由图可知：， ， ， ， 即． 21. 已知：如图，在四边形中，，、相交于点， （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】 （1）证明： ∵两个三角形有一公共角∠BAC ∴． （2）证明： 为等腰三角形为等腰三角形 ． 【解析】 【分析】（1）找到两对相同角即可证明相似 （2）证明出后可推出． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题， 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A． （1）求点A的坐标； （2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式； （3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式． 【答案】（1）点A的坐标为（4，﹣1）． （2）y＝x2﹣4x﹣1 （3） 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案； （2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案； （3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案． 【小问1详解】 ∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A， ∴， 解得：； ∴点A的坐标为（4，﹣1）． 【小问2详解】 ∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1）， ∴16a+4b﹣1＝﹣1， 即b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣1， ∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1， 抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2）， ∴﹣2＝a﹣4a+1， 解得：a＝1， ∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1． 【小问3详解】 如图， ∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1， ∴P（2，﹣4a﹣1）， ∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称， ∴P'（2，4a+1）， ∵a'＜0， ∴a＞0， ∴P'P＝8a+2， 又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'， ∴， 解得：a＝， ∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1． 【点睛】本题考查了两直线交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线平移问题，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 23. 如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． （1）求证：； （2）设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，，即可得出结论； （2）先证明，求出，根据，得到，求出的长，进而求出的长，即可得出解析式，根据，，求出定义域即可； （3）先证明，得到也为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵点D为斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 由（1）得：， ∴， 即， 解得：， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形时，也为等腰三角形， ①若，过Q作于G，如图所示： 则， ∵， ∴， 解得：， 即； ②若，则， 解得：， 即； ③若，则， ∵，此种情况舍去； 综上：线段AP的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求函数解析式，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 学年度第一学期九年级数学学科期中质量监测 （共 4 页　时间：100 分钟） 一、选择题（本大题共 6 小题，每个小题只有一个正确选项） 1. 关于抛物线，下列说法中，正确的是（ ） A. 经过坐标原点 B. 顶点是坐标原点 C. 有最高点 D. 对称轴是直线 2. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列选项中，一定是相似图形的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个周长相等的等腰三角形 D. 两个含角的直角三角形 4. 广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 5米 D. 6米 5. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 6. 如图，在直角梯形中，，，对角线的交点为点O．如果梯形的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ） A. 点O到边的距离 B. 点O到边的距离 C. 点O到边的距离 D. 点O到边的距离 二、填空题（本大题共 10 小题） 7. 已知，那么代数式的值为________． 8. 如果函数y＝(m﹣1)x2+x(m是常数)是二次函数，那么m的取值范围是_____． 9. 对于二次函数，当 时，函数值 ________． 10. 已知在中，点D、E分别在边、上，，，那么的值等于_____． 11. 已知抛物线（是常数）与轴有交点，则的取值范围是________． 12. 已知抛物线 经过点，则 ______（用“”、“”或“”连接）． 13. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为________． 14. 如图，为等边三角形，点D、E分别在边、上，．如果，，那么的长等于________． 15. 当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为________． 16. 如图，已知矩形纸片，点E在边上，且，将沿直线翻折，使点B落在对角线上的点F处，联结．如果点D、F、E在同一直线上，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共 7 小题） 17. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以坐标原点 O 为位似中心，将 扩大到原来的 2 倍得到． （1）请在平面直角坐标系中画出和； （2）的面积是________； （3）如果以坐标原点 O 为位似中心，再将扩大到原来的3倍，得到，请问的面积为________． 18. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，且，． （1）求的值； （2）当，时，求的长． 19. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为，联结，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形边长均为1，点、、、、均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，=________； （2）如图②，在线段上找一点，使得； （3）如图③，在线段上找一点，连接，使． 21. 已知：如图，在四边形中，，、相交于点， （1）求证：； （2）如果，求证：． 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A． （1）求点A的坐标； （2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式； （3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式． 23. 如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． （1）求证：； （2）设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $