精品解析：上海市黄浦区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

九年级数学学科 （满分150分，时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 如果，且是和的比例中项，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例中项、代数式求值等知识点，掌握比例中项的定义是解题的关键． 由可得，再根据比例中项的定义和可知，即，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵是和的比例中项， ∴． ∴， ∴ ． 故选：C． 2. 已知是的重心，如果，，那么底边的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的重心．也考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．连接并延长交于点D，由等腰三角形的性质可得出，，由三角形重心的性质即可得出的长，再根据勾股定理求出的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示：连接并延长交于点D， ∵G是的重心，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3. 在中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切、余切的定义是解题的关键． 根据直角三角形三角函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，，的对边为a，邻边为b，斜边为c， ∴，，，，即D选项符合题意． 故选：D． 4. 已知、是非零向量，如果，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据题意和向量的线性计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 5. 已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，即可求解． 【详解】解：如图， 当时， 则， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，将两个宽度为的矩形纸条叠放在一起，得到四边形，如果四边形的面积为，那么直线、所夹锐角的正切值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用矩形对边平行的性质证明四边形ABCD是平行四边形，再结合矩形纸条宽度相等的条件证明其为菱形；接着根据菱形面积公式求出边长，最后在直角三角形中通过勾股定理和正切的定义求出的正切值． 【详解】解：过点作于，作于． ∵纸条是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形纸条宽度为， ∴． ∵平行四边形面积， ∴， ∴四边形是菱形． ∵菱形的面积为，， ∴，解得，即． 在中，由勾股定理得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积成为解题的关键． 依据可得，再代入代数式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 如果向量、和满足，那么____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质变形，得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 已知线段AB的长为2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段PB的长等于_____（结果保留根号）． 【答案】3﹣ 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念得到AP=AB，把AB=2代入计算求出AP，即可得出答案． 【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴AP＝AB＝×2＝﹣1， ∴PB＝AB﹣AP＝3﹣； 故答案为3﹣． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键． 10. 如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，那么另一个三角形中底角的度数为____________度． 【答案】50或65##65或50 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由于两个等腰三角形相似，对应角相等，已知一个三角形有一个内角为，在等腰三角形中，可能是顶角或底角，因此第一个三角形的底角可能为或，根据相似三角形的性质，另一个三角形的底角与第一个三角形的底角相等，据此求解． 【详解】解：设第一个等腰三角形的一个内角为， 若为顶角，则底角为； 若为底角，则另一个底角也为，顶角为； 因此，第一个三角形的底角为或， 由于两个三角形相似，对应角相等，故另一个三角形的底角也为或， 故答案为：或． 11. 如图，已知，它们与直线依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果，，那么线段的长是________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：15． 12. 在中，，，，则___________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：如图所示： 可知为的一个直角边， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 13. 已知三边长分别为2、3、4，的两条边长为6、9，当最长边为___________时，与相似． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．设最长边为，根据相似三角形的性质，对应边成比例列方程求出的值即可． 【详解】解：设最长边为，三边长分别为2、3、4，的两条边长为6、9，且与相似， 所以，， 解得，． 故答案为：12． 14. 已知在中，，是边上的高，如果，，那么面积与的面积的比值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 只要证明，由，根据面积比是相似比的平方作答即可． 【详解】解：如图, 是边上的高， ， ， ， ， ， ， ∴面积与的面积的比值是． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，，那么____________（用含有向量、的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的运算、平行四边形性质等知识点，掌握向量的运算法则是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，根据向量的定义可得、，再利用向量的和差即可解答． 【详解】解：∵平行四边形，点，分别是边、的中点， ∴、， ∵，， ∴、， ∴． 故答案为：． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 17. 如图，在平行四边形中，，过点作对角线的垂线，交边于点，如果是边的中点，那么的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，通过设未知数将线段关系量化是解题的关键． 通过设线段长度，利用平行四边形的性质得到边的关系，结合相似三角形的判定与性质求出相关线段长度，再借助勾股定理计算，最后结合平行四边形对边相等求出，进而得到两者的比值． 【详解】解：设． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，，． 又∵ 是的中点， ∴ ，即． ∵ ， ∴ ，， ∴ ，且相似比为． ∴ ，即， ∴ ． 又∵ ， ∴ ，故． ∵ ， ∴ 在中，由勾股定理得： ． 由，相似比为， ∴ ，即， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 18. 如图，已知Rt，，，，将绕着顶点旋转，点，的对应点为，，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，那么的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直角三角形中线性质得出角相等，通过作高结合三角函数求线段长度，再根据旋转性质得到线段和角的关系，证明三角形相似，最后利用相似性质求的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得． ∵是中线， ∴， ∴． 过作于， 在中，， ∴在中，． ∵，， ∴， ． 由旋转得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴ 解得． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案． 【详解】解： ． 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）设，，试用、的线性组合表示向量； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，向量的线性运算，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）根据三角形中位线的性质得出为的中位线，，结合平行四边形的判定和性质确定，，利用向量的线性运算结合图形即可求解； （2）根据角的正切值，得到，由三角形中位线定理得到，再由平行四边形的性质得到，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵是的中点，， ∴点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 在中，，， ， ∵E是的中点，， 是的中位线， ， 由（1）得四边形为平行四边形， ， ∴在中，由勾股定理得． 21. 如图，在中，，，点在边上，，过作，交延长线于点． （1）求的正弦值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） ． 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线 构造直角三角形，利用三角函数、勾股定理求出相关线段长度，再借助角的互余关系将 转化为可求的 ，进而利用正弦定义求解． （2）通过作 、、 等辅助线，结合三角形面积公式、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，推导 与 的比值． 【小问1详解】 解：过作于，设． ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，过点作于点． 设，由（1）知， ，，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ． ∴在中，， ∴ ． ∵ ，， ∴． ∴，即 ， 解得 ． 又∵ ，， ∴ ． ∴， 设 ，则 ，， ∴ ， 解得， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握这些知识点并灵活作辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 22. 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上，那么我们把这个正方形叫做三角形的内接正方形． 小明用如下的方法画出了锐角的内接正方形：如图，在的边取点，过点作，垂足为，以为边在的内部作正方形，连接并延长，交边于点．过点作，交边于点，分别过点、作边的垂线，垂足为、，得到的四边形为的一个内接正方形． （1）请按照上述画图过程在图中画出一个内接正方形．（保留画图痕迹） （2）请证明这种画法的正确性． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求， （2） 证明：，，， ∴， 四边形是矩形， 正方形， ，，， ∵，， ∴，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形，且在上，在上，、在上， 四边形是的内接正方形． 【解析】 【分析】（1）按照题目描述的步骤，依次进行取点、作垂线、作正方形、连线、作平行线和垂线等操作来画出内接正方形． （2）通过证明四边形的形状为正方形且顶点在三角形边上，结合相似三角形的性质来验证画法的正确性． 【小问1详解】 解：在上取点，作于；以为边作正方形；连接并延长交于；作交于；分别作于，于，得到四边形． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和正方形的判定是解题的关键． 23. 已知：如图，在Rt中，，平分，点在边上，与相交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴，即． （2） 解：过作于． 由（1）得， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵，， ∴，， ∴． ∴，即． ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为比例式，结合角平分线得到的角相等，证明三角形相似，再利用直角三角形内角和及相似三角形的性质证明． （2）作辅助线，先利用（1）中相似得到角相等，进而证明等腰三角形，得到线段关系，再证明另一组三角形相似，通过相似性质推导结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 24. 某校九年级数学兴趣小组在学习“图形的相似”后，开展了一次主题探究活动．他们从一个基本图形出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务． 如图，已知为等边三角形，点、分别在边、上，且，与相交于点． 任务：观察与发现——寻找相似三角形写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对写出证明过程； 任务：特殊情况探究——中点条件下的比例如图，如果，求的值； 任务：一般化推广——比例条件下的规律，如果，直接写出的值（用含的代数式表示） 【答案】 任务：，，，， 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，； 任务：； 任务： 【解析】 【分析】任务：先利用等边三角形的性质证明三角形全等，再根据全等得到角相等，进而找出相似三角形，最后选择一对通过角的关系证明相似． 任务：通过作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用全等得到线段相等，再结合相似三角形的性质建立比例关系求解． 任务：类比任务的思路，通过作平行线，结合相似三角形的性质和线段比例关系推导． 【详解】解：任务：略 任务：过点作交于． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴即， 设，，则，即， 解得（舍去负根）， ，即； 任务： 过点作交于， ， ， ， ， 又， ，即， ， ， ， 设，，则，， ∴， 整理得， 解得（舍去负根）， ，即． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 在中，，，，点在边或上（不与、重合），点在边上，点关于直线的对称点为，连接，交边于点，连接、． （1）如图1，当点在边上时，如果，，求的长； （2）当点在线段上时，如果与相似，，求的值； （3）如果是直角三角形，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】题目主要考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，综合运用这些知识点进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意得出，，，再由平行线的性质得出，设，利用三角函数求解得出，然后建立方程求解即可； （2）根据相似三角形的性质得出分两种情况：当时，当时，画出相应图形，然后结合图形求解即可； （3）根据题意得出为等腰直角三角形，分两种情况分析：当点在边上时，点E在的上方时，点E在的下方时；当点在边上时，点E在的上方时，点E在的下方时，分别画出相应的图形，然利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴， 设，在中， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵点在线段上时，与相似， ∴分两种情况： 当时，如图所示：此时点E与点G重合， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上可得：的值为或； 【小问3详解】 ∵点关于直线的对称点为， ∴为等腰直角三角形， ∵点在边或上（不与、重合）， ∴分两种情况分析： 当点在边上时，点E在的上方时，如图所示： 由（1）得， ∴设， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴不符合题意，舍去； 点E在的下方时，如图所示： 同理得：，， ∴， 解得：， ∴，符合题意； ∴， ∴的面积为：； 当点在边上时，点E在的上方时，如图所示： ∵， ∴设， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴， ∴的面积为：； 当点在边上时，点E在的下方时，不符合题意，舍去； 综上可得：的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科 （满分150分，时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 如果，且是和的比例中项，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是的重心，如果，，那么底边的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 在中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、是非零向量，如果，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将两个宽度为的矩形纸条叠放在一起，得到四边形，如果四边形的面积为，那么直线、所夹锐角的正切值是（） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么_______． 8. 如果向量、和满足，那么____． 9. 已知线段AB的长为2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段PB的长等于_____（结果保留根号）． 10. 如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，那么另一个三角形中底角的度数为____________度． 11. 如图，已知，它们与直线依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果，，那么线段的长是________． 12. 在中，，，，则___________． 13. 已知三边长分别为2、3、4，的两条边长为6、9，当最长边为___________时，与相似． 14. 已知在中，，是边上的高，如果，，那么面积与的面积的比值是____________． 15. 如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，，那么____________（用含有向量、的式子表示）． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 17. 如图，在平行四边形中，，过点作对角线的垂线，交边于点，如果是边的中点，那么的值是____________． 18. 如图，已知Rt，，，，将绕着顶点旋转，点，的对应点为，，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，那么的长为____________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）设，，试用、的线性组合表示向量； （2）如果，，，求的长． 21. 如图，在中，，，点在边上，，过作，交延长线于点． （1）求的正弦值； （2）求的值． 22. 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上，那么我们把这个正方形叫做三角形的内接正方形． 小明用如下的方法画出了锐角的内接正方形：如图，在的边取点，过点作，垂足为，以为边在的内部作正方形，连接并延长，交边于点．过点作，交边于点，分别过点、作边的垂线，垂足为、，得到的四边形为的一个内接正方形． （1）请按照上述画图过程在图中画出一个内接正方形．（保留画图痕迹） （2）请证明这种画法的正确性． 23. 已知：如图，在Rt中，，平分，点在边上，与相交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 24. 某校九年级数学兴趣小组在学习“图形的相似”后，开展了一次主题探究活动．他们从一个基本图形出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务． 如图，已知为等边三角形，点、分别在边、上，且，与相交于点． 任务：观察与发现——寻找相似三角形写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对写出证明过程； 任务：特殊情况探究——中点条件下的比例如图，如果，求的值； 任务：一般化推广——比例条件下的规律，如果，直接写出的值（用含的代数式表示） 25. 在中，，，，点在边或上（不与、重合），点在边上，点关于直线的对称点为，连接，交边于点，连接、． （1）如图1，当点在边上时，如果，，求的长； （2）当点在线段上时，如果与相似，，求的值； （3）如果是直角三角形，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $