精品解析：广东省揭阳市普宁市华侨中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷

普宁市华侨中学2024-2025学年度第一学期高三数学第一次月考 本试卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”； 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上； 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解函数定义域得集合A，解一元二次不等式得集合B，利用交集、并集运算的概念及集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数化简，从而可得其共轭复数，进而可得答案 【详解】解：因为， 所以， 所以对应的点位于第四象限， 故选：D 3. 某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】选取2道题捆绑作为一道题，变成3题后进行全排列分配给3人即可得． 【详解】由题意分配方案种数为． 故选：C． 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，，则的值约为（ ） A. 1.322 B. 1.410 C. 1.507 D. 1.669 【答案】A 【解析】 【分析】由可得,进而将条件代入求解即可. 【详解】,, 故选:A 【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题. 5. 已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为4，其母线与底面所成的角为45°，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，求出上、下底面半径和高，从而求出圆台的体积 【详解】如图，由题意得：BD=4，AB=2CD，∠ABD=45°， 过点D作DE⊥AB于点E，则DE=BE， 因为圆台的上、下底面半径之比为1：2， 所以CD=AE=BE=， 则圆台上底面面积为，下底面面积为， 故圆台的体积为 故选：B 6. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到圆的圆心和半径，进而得到，利用双曲线的渐近线和圆相切，得到，整理得到，再结合，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径，所以， 又双曲线的两条渐近线为，即， 由题知，整理得到，又，得到， 所以，，得到双曲线的方程为. 故选：B. 7. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数的图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果. 【详解】 ， 由，可得，当时，， 故函数的图象关于点对称， 由等差中项的性质可得， 所以，数列的前项和为. 故选：D. 8. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 存在唯一的使得 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由向量模的坐标公式，根据同角三角函数的恒等式，可得答案； 对于B，由共线定理，可得答案； 对于C，由数量积的性质，可得关于的等式，由辅助角公式和三角函数的性质，可得答案； 对于D，根据数量积的性质和辅助角公式，可得三角函数，可得答案. 【详解】对于A，，故正确； 对于B，由，则，即，，故正确. 对于C，由，则， ，， ，，解得， 因为，所以，故正确. 对于D，， 由，则，即当时，，故错误. 故选：ABC. 10. 已知，且则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. ab有最大值4 D. 有最小值9 【答案】AC 【解析】 【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1”的代换计算，漏除了4. 【详解】A选项，，A正确； B选项，找反例，当时，，，，B不正确； C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确； D选项，，D不正确. 故选：AC. 11. 若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得关于与对称，再根据对称性满足的等式化简，逐个选项判断即可 【详解】对A，因为函数为偶函数，故，故关于对称.又为奇函数，关于原点对称，故关于对称.综上，关于与对称. 关于对称有，关于对称有，，故，即，所以为偶函数，故A正确； 对B，由A，因为，，故B错误； 对C，由A，，故C正确； 对D，当时，，故，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 在的展开式中，常数项为___________.(用数字作答) 【答案】40 【解析】 【分析】 先求出展开式的通项，令即得解. 【详解】设展开式的通项为， 令， 所以常数项为. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则 的面积为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据抛物线的标准方程求出交点，再利用焦半径公式求出点的纵坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】根据题意，抛物线：的焦点为， 设，则，，， . 故答案为：2 14. 在边长为的菱形中，，现将沿折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，即可求出外接圆的半径，从而求出外接球表面积. 【详解】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图， 取的中点为，连接，则. 设分别为，外接圆的圆心， 为三棱锥的外接球的球心， 则在上，在上，且, 且平面，平面. 平面平面，平面平面， 平面， 平面，，同理 四边形为平行四边形 平面，平面 ，即四边形为矩形. ， 所以外接球半径， 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）如图，点为边上一点，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，化简整理，可求得，的值，即可求得答案. （2）根据（1）可求得，进而可求得，根据余弦定理，可求得，进而可求得，代入面积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， 由正弦定理，可得， ∵， ∴，， ∵， ∴，则， ∴＝． 【小问2详解】 ， 又， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴sin＝＝， 又， ∴在中，由正弦定理，可得， ∴，， ∴＝ ＝＝． 16. 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． （1）若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； （2）若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【答案】（1） （2）期望为；方差为 【解析】 【分析】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，根据条件先求，再利用条件概率公式，即可求解； （2）由题知可能取值为，再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球， 因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且 ，，，所以， 又，所以． 【小问2详解】 设X为员工取得的红包数额，则可能取值为， 所以，， ，， 所以， ． 17. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 在中，由，，则， 由，为公共边，则， 所以，由图可知， 则，即，， 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得线线垂直，根据线面垂直的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由，则， 由，则，即两两垂直， 以以原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 在中，由，，则， 设，则，，，， 取，，，， 由，则，可得， 设平面的法向量，则； 令，则，，所以平面的一个法向量. 平面的一个法向量， 设平面与平面所成角的大小为， ，. 18. 已知函数，，． （1）讨论：当时，的极值点的个数； （2）当时，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 当时，的极值点个数为1， 当时，的极值点个数为0． （2）． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分别讨论当和导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而求出极值点的个数； （2）对求导，确定其最小值，从而将问题转化成不等式成立，进而构造函数，求导确定其单调性，即可求解. 【小问1详解】 ，， ①当时，为增函数， 因为时，；时，， 所以有唯一的零点，当时，，当时，， 所以有一个极小值点，无极大值点． ②当时，令，则， 令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，即，所以的极值点的个数为0． 综上所述，当时，的极值点个数为1， 当时，的极值点个数为0． 【小问2详解】 ， 由，得，由，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为当时，，使得， 所以只需成立，即不等式成立． 令，则， 则， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，所以， 故实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求出，从而转化为求出不等式成立． 19. 已知椭圆过点，且． （1）求椭圆ω的方程； （2）设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【答案】（1） （2） 当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）由题可得，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在时，可得，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线的方程，可表示出坐标，同理表示出的坐标，进而利用韦达定理可求出. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市华侨中学2024-2025学年度第一学期高三数学第一次月考 本试卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”； 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上； 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，，则的值约为（ ） A. 1.322 B. 1.410 C. 1.507 D. 1.669 5. 已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为4，其母线与底面所成的角为45°，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 存在唯一的使得 D. 的最大值为 10. 已知，且则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. ab有最大值4 D. 有最小值9 11. 若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 当时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 在的展开式中，常数项为___________.(用数字作答) 13. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则 的面积为___________. 14. 在边长为的菱形中，，现将沿折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）如图，点为边上一点，，求的面积． 16. 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． （1）若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； （2）若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 17. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 18. 已知函数，，． （1）讨论：当时，的极值点的个数； （2）当时，，使得，求实数a的取值范围． 19. 已知椭圆过点，且． （1）求椭圆ω的方程； （2）设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $