广东省东莞市虎门外语学校2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试卷

机密★启用前 2026—2027学年第一学期期中考试 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生务必保持答题卡的整洁，卷面分5分。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．　音乐是流淌的几何，几何是静止的音乐。五线谱中跳跃的音符不仅奏响了动人的旋律，同时也蕴含着丰富的图形变换之美。下列音符中，可以看作中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2．　若关于 的方程 的一个根为 ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 3．　关于抛物线 ，下列说法错误的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 当 时， 有最小值为 C. 顶点坐标是 D. 当 时， 随 的增大而减小 4．　下列说法中，正确的是（　　） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 过圆心的线段是半径 5．　已知 （ 为常数）是二次函数，那么 的值是（　　） A. B. C. D. 或 6．　若关于 的一元二次方程 ，有两个相等的实数根，则 的值是（　　） A. B. C. D. 7．　已知反比例函数 的图象上有三点，，，，则 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8．　将二次函数 的图象先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的函数图象的解析式为（　　） A. B. C. D. 9．　如下左图，把 绕着点 顺时针旋转 得到 ，点 恰好落在 边上，则 （　　） A. B. C. D. 10．　如上右图， 是反比例函数 图象上一点，点 是反比例函数 图象上一点，连接 交 轴于点 ，若 ，，则 的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．　点 关于原点对称的点的坐标为__________； 12．　若二次函数 的对称轴为直线 ，则 __________； 13．　一个直角三角形的两条直角边的长相差 ，面积是 ，设较短的直角边的长为 ，根据题意，可列方程为________________； 14．　若直线 与双曲线 的交点为 ，，则 的值为__________； 15．　关于 的方程 有两个不相等的实根 ，，若 ，则 的最大值是__________。 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．　解方程：． 17．　如图， 三个顶点的坐标分别为 ，，． （1）画出 绕点 顺时针旋转 得到的图形 ，并写出 的坐标： （2）画出 关于原点对称的图形 ，并写出 的坐标． 18．　某项通信技术取得了突破，将“两两互通”的信息连接方式，改为借助一个中转点进行连接，从而节省了大量通道。例如有5个用户，两两连接需要建立10条通道，借助中转点连接，只需要5条通道。 （1）若只有6个用户，两两连接比中转连接多__________条通道； （2）某网络空间有若干个用户，采用中转点连接比两两连接少了135条通道。求该空间的用户数。 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19．　如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，连结 、． （1）求 、 的值和反比例函数的表达式． （2）求 的面积． （3）当 时，关于 的不等式 的解集为__________． 20．　已知 ，，，，将 绕点 旋转得到 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，连接 ． （1）如图，将 绕点 逆时针旋转 ，则 的长为__________； （2）当点 落在线段 上时，求 的长。 21．　定义：若一个函数存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图像的“反点”。 例如：求函数 图象的“反点”，可以看成是函数 图象与函数 图象的交点坐标，联立方程组 即可求解。 （1）若一次函数 的图象上“反点”坐标为 ，则 的值为__________； （2）设反比例函数 的图象上的“反点”分别为 ，，线段 的长度为 ，求 的值； （3）若二次函数 的图象上有且只有一个“反点”，求 的值。 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题12分，第23题13分，共25分） 22．　【综合与实践】某科技公司正在进行新型无人机集群的测试。如图1，中央控制无人机位于点 ，两架辅助无人机分别携带了正方形信号接收板 和正方形雷达探测板 。已知接收板的边长为 ，探测板的边长为 。初始状态下，两架无人机按图1所示悬停（ 与 在同一直线上， 与 在同一直线上）。此时地勤人员在地面监控屏幕上连接 、，发现两线段的长度和位置存在特殊的数学关系（易得 且 ，不需要说明理由）。 （1）如图2，在接收到“编队转向”指令后，两架辅助无人机携带接收板绕中心点 逆时针旋转，旋转角为 ① 此时系统提示：通信链路 与 之间的关系依然保持。请判断 与 之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ② 在旋转过程中，如图3，为了评估整体信号覆盖范围，监控中心连接了 ，，，，形成了一个四边形 的覆盖区。求这个信号覆盖区面积的最大值。 （2）如图4，为了增强信号，科技小组决定在 ，，， 四条连线的中点 ，，， 处各悬停一架微型中继无人机，连接 ，，，。请判断这四架中继无人机组成的四边形 的形状为__________（直接写出答案），并直接写出四边形 覆盖面积的最大值为__________。（直接写出答案） 图1 图2 图3 图4 23．　【情境描述】江南古镇正在申请世界文化遗产，工程师对镇上的古桥进行了数字化建模。桥拱的截面轮廓是一条抛物线 ，已知桥拱与水平面的两个交点为 、，桥的一处石柱位于 轴上的点 。桥梁一侧有一条斜向的观光玻璃栈道（直线 ），桥拱与栈道在视线中相交于点 和远处的观景台 。 （1）【古桥数字建档】 施工队需要依据原始数据修复桥面，请你求出这座石拱桥（抛物线）的解析式。 （2）【脚手架平移测试】 如图1，为了修缮桥拱上的石雕，工人师傅搭建了一段脚手架 。在施工过程中，需要将这段脚手架进行整体平移（平移后记为 ）。为了不阻挡游客视线，要求平移后脚手架的顶点 必须刚好落在桥拱（抛物线）上，同时底部 必须刚好搭在斜向的观光栈道（直线 ）上。请计算此时点 的坐标，以便工程队确定施工位置。 （3）【水乡夜景首秀】 如图2，晚上，古镇启动了“水乡幻境”灯光秀，工程队在斜向观光栈道（直线 ）上方安装了巨大的隐形反射玻璃（可视为沿直线 翻折的镜面）。当桥拱上方的景观灯 亮起时，会在玻璃上形成一个对称的倒影 ，连接 交栈道于点 。灯光师操控一束激光灯 在 上方的桥拱上缓缓移动，它在镜中的倒影 也随之移动。请问：在 点移动的过程中，线段 （景观灯与倒影之间的光影距离）的最大值是多少？ 图1 图2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中考试 九年级数学 参考答案与详解 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．【答案】 【解析】逐个判断：选项 A 是单个八分音符，选项 B 是两个带符尾的音符，选项 D 是高音谱号，它们绕任何一点旋转 后都不能与自身重合，都不是中心对称图形；选项 C 的图形绕中心旋转 后能与自身重合，是中心对称图形。故选 。 2．【答案】 【解析】因为 是方程 的一个根，代入得 ，所以 。故选 。 3．【答案】 【解析】 中 ，抛物线开口向下，A 正确；顶点坐标为 ，当 时 取得最大值 ，而不是最小值，B 错误；顶点坐标是 ，C 正确；抛物线开口向下，对称轴为 轴，当 时 随 的增大而减小， 时同样递减，D 正确。故选 。 4．【答案】 【解析】A 中弦不一定是直径，只有过圆心的弦才是直径；B 中半圆是弧（圆被一条直径分成的两部分各是一个半圆，半圆符合弧的定义）；C 中“等弧”要求在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的弧不一定重合；D 中过圆心的线段若两端不在圆上，就不是半径（过圆心的弦才是直径）。故选 。 5．【答案】 【解析】二次函数要求 的最高次数为 ，即 ，得 ，；同时二次项系数 ，即 。所以 。故选 。 6．【答案】 【解析】方程有两个相等的实数根，则 ，即 ，解得 。故选 。 7．【答案】 【解析】因为 ，所以反比例函数 的图象位于第一、三象限，且在每一象限内 随 的增大而减小。点 、 都在第三象限，且 ，所以 （例如取 ，则 ，）；点 在第一象限，。故 。故选 。 8．【答案】 【解析】将 的图象向右平移 个单位，得 ；再向下平移 个单位，得 。故选 。 9．【答案】 【解析】由旋转的性质得 ，。在等腰三角形 中，。因为点 在边 上，所以 、、 三点共线，。故选 。 10．【答案】 【解析】设 （），（）。因为 ，所以 是 的中点；又 在 轴上，其横坐标为 ，故 ，即 ，。 由 （因 ），解得 。故选 。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．【答案】 【解析】点 关于原点对称的点为 ，故 关于原点对称的点为 。 12．【答案】 【解析】抛物线 的对称轴为直线 ，由 得 。 13．【答案】（即 ） 【解析】较短直角边长为 ，则较长直角边长为 ，由三角形面积公式得 。 14．【答案】 【解析】直线 与双曲线 的两个交点关于原点对称，故 ，；又点 在双曲线上，。所以 。 15．【答案】 【解析】由根与系数的关系，，。由 得 ，即 ；又 ，得 。 则 ，当 时取得最大值 。此时 ，，符合“有两个不相等的实根”。故最大值是 。 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．【答案】， 【解析】，因式分解得 ，所以 或 ，即 ，。 17．【答案】（1）；（2） 【解析】（1）绕 顺时针旋转 时，点 的对应点为 。于是 的对应点为 ， 的对应点为 。以 为旋转中心，分别以 、 为边按顺时针方向作 的角，即可画出 。 （2）关于原点对称的点横、纵坐标都变为相反数，故 ，，，依次连接即得 。 18．【答案】（1）；（2） 【解析】（1） 个用户两两连接需要 （条）通道，借助中转点连接需要 条通道，故多 （条）。 （2）设有 个用户，则两两连接的通道数为 ，中转连接为 条。由题意得 ，整理得 ，即 ，解得 或 （不合题意，舍去）。故该空间有 个用户。 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19．【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】（1）点 在直线 上，得 ，即 ；点 在直线 上，得 ，，即 。把 代入 ，得 ，所以反比例函数的表达式为 。 （2）。 （3）当 时， 两边同乘 （不等号方向不变），得 ，即 ，，解得 或 ；结合 得解集为 。 20．【答案】（1）；（2） 【解析】在 中，，，，由勾股定理得 。 （1）绕点 旋转 后 ，且 ，所以 。 （2）点 落在线段 上时，，旋转角为 ，且 。在 中，，由余弦定理得 ，所以 。 21．【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）“反点” 在一次函数 的图象上，代入得 ，解得 。 （2）设“反点”为 ，代入 得 ，即 。因 ，故 ，两个“反点”为 、，则 。由 得 ，。 （3）由“反点”的定义， 与 的图象有且只有一个公共点，即方程 有两个相等的实根。整理得 ，，解得 。 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题12分，第23题13分，共25分） 22．【答案】（1）① ，；② ；（2）正方形， 【解析】（1）① 数量关系：；位置关系：。理由如下： 由旋转的性质得 ，，且 （都等于 ），所以 ，从而 。对应线段 与 的夹角等于旋转角 ，故 。 ② 连接 、，它们恰好是四边形 的两条对角线。由①知 且 ，所以 。设旋转角为 ，在 中，，，，由余弦定理得 。于是 ，当 （在 之内）时取得最大值 。注意：覆盖区面积随 变化（ 时为 ），不能按“旋转不改变面积”把最大值误作 。 （2）因为 、、、 分别是 、、、 的中点，由三角形中位线定理得 ，，且 ，。由 得 ；由 得 。所以 是正方形。又中点四边形的面积等于原四边形面积的一半，故 ，当 时取得最大值 。 23．【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）点 在抛物线上，得 ；点 在抛物线上，代入得 ，解得 。所以桥拱所在抛物线的解析式为 。 （2）由 、 得 。设 ，则 。因 在直线 上，所以 ，即 ，整理得 ，（对应原位置，舍去）或 。故 。 （3）设 。点 到直线 的距离为 ，由对称性 是该距离的 倍，即 。 而 ，当 时取等号（此时 在桥拱上且在栈道上方）。所以 的最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $