精品解析：湖北武汉市梅苑学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四幅作品分别代表24节气中的四个节气：“芒种”、“夏至”、“白露”、“大雪”，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴是y轴 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. y的最大值为1 4. 下列说法错误的是（ ） A. 二次函数中，当时，y随x的增大而增大； B. 二次函数中，当时，y有最大值0； C. 二次函数中，a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大； D. 不论a是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点． 5. 如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 7. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为______． 13. 年春节，动画电影《哪吒之魔童闹海》火爆影院，吸引众多消费者前来观影．某影院正月初一的票房收入为万元，随着观影人数不断增多，正月初三的票房收入达到万元．设从正月初一到正月初三该影院票房收入每天的平均增长率相同为，则可列方程为_____． 14. 一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是______． 15. 如图，四边形中，，，若且，则对角线长的最大值为__________． 16. 已知二次函数（a为常数，且），下列五个结论： ①该函数图象经过点；②该函数图象与x轴有两个不同的公共点；③若，则当时，y随x的增大而增大； ④若a为整数，且关于x的方程有两个整数解，则或2；⑤若关于x的方程有三个实数根，则．其中正确的是_________．（填序号） 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2） 18. 如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数． （2）求的度数和的长． 19. 已知二次函数． （1）该二次函数化为顶点式为________； （2）该二次函数图象与轴的交点坐标为________，与轴的交点坐标为________； （3）在所给平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （4）结合函数图象，直接写出： 当时，的取值范围为________； 当时，的取值范围为________． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，如图，若． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，． （1）在图（1）中画出向下平移2个单位，向左平移3个单位后所得的图形； （2）在图（1）中画出绕着O点顺时针旋转后所得的图形； （3）借助网格，利用无刻度直尺在图（2）中作出的角平分线 （4）借助网格，利用无刻度直尺在图（2）中作出点B关于直线的对称点． 22. 如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． （1）求水线最高点与点之间的水平距离； （2）当喷水口在处时， ①求水线的最大高度； ②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 23. 【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）如图，在等边三角形中，点在其内部，且，，，求的长．经过观察、分析、思考，小明对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，寻找，，三者之间的数量关系 请你根据上述分析过程，完成该问题的解答过程． （2）【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：如图，在等边三角形中，，点在内，且，，求的面积； （3）如图，在中，，，点在内，且，，，求的长． 24. 如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 2. 下列四幅作品分别代表24节气中的四个节气：“芒种”、“夏至”、“白露”、“大雪”，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴是y轴 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. y的最大值为1 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式得出图像的基本性质，再逐一判断各选项正误． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，有最小值. 当时，，即图像与轴的交点坐标为，故A正确； 图像的对称轴是轴，故B正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，的值随值的增大而减小，故C正确； ∵抛物线开口向上，顶点为图像的最低点， ∴有最小值，无最大值，故D错误． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 二次函数中，当时，y随x的增大而增大； B. 二次函数中，当时，y有最大值0； C. 二次函数中，a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大； D. 不论a是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点． 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵二次函数中，对称轴为轴． ∴当时，随的增大而增大，A正确． ∵二次函数中，开口向下，顶点为原点． ∴当时，有最大值，B正确． ∵抛物线开口大小由决定，越大开口越小，越小开口越大． ∴当时，越大开口越大，与C中描述不符，C错误． ∵抛物线的顶点坐标为． ∴不论是正数还是负数，顶点都是坐标原点，D正确． 5. 如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作、的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，、的垂直平分线相交于点Q， 则旋转中心点Q． 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限． 7. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴， ∴平移后所得抛物线的表达式为， 故选：A 8. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质得出，，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，求出即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 10. 设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：根据题意把代入方程得：， 解得： 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征列方程，求出、的值后计算的乘积； 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数， ∴点关于原点的对称点为， ∵该对称点为， ∴，， 解得， 将代入，得， ∴． 13. 年春节，动画电影《哪吒之魔童闹海》火爆影院，吸引众多消费者前来观影．某影院正月初一的票房收入为万元，随着观影人数不断增多，正月初三的票房收入达到万元．设从正月初一到正月初三该影院票房收入每天的平均增长率相同为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设平均增长率为，从正月初一到正月初三经历了两天增长，根据平均增长率公式列方程即可． 【详解】解：设平均增长率为， 由题意得：， 故答案为：． 14. 一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是______． 【答案】6或 【解析】 【分析】先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解． 本题考查了一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键． 【详解】解：， 或 或． ①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是； ②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是． 故答案为：6或． 15. 如图，四边形中，，，若且，则对角线长的最大值为__________． 【答案】5 【解析】 【详解】如图，在的右侧作等边三角形，连接． ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵，，， ∴当、、共线时，的值最大，最大值为， 故答案是:． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，所以中考填空题中的压轴题． 16. 已知二次函数（a为常数，且），下列五个结论： ①该函数图象经过点；②该函数图象与x轴有两个不同的公共点；③若，则当时，y随x的增大而增大； ④若a为整数，且关于x的方程有两个整数解，则或2；⑤若关于x的方程有三个实数根，则．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】代入验证①，计算判别式判断②，求对称轴结合增减性判断③，求方程的根分析判断④，结合绝对值方程与抛物线交点情况分析判断⑤即可. 【详解】解：已知二次函数，，为常数， ①将代入函数解析式，得： ， 所以该函数图象经过点，故①正确； ②， 当时，，函数图象与轴只有一个公共点，故②错误； ③因为， 故二次函数开口向上， 对称轴为直线， 当时，， 所以对称轴在轴的左侧， ∵二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧，随增大而增大， ∵在对称轴的右侧，因此当时，随增大而增大，故③正确； ④由①可知是方程的一个整数根，设另一根为，由根与系数的关系得： ， 因为为正整数，方程有两个整数解，所以为整数，即为整数， 所以正整数是的正约数，得或， 当时，，为整数，符合题意，当时，，为整数，符合题意，故④正确； ⑤方程等价于或， 因为抛物线开口向上，顶点的纵坐标为， 若方程有三个实数根，则与抛物线只有一个交点，即顶点纵坐标为， ∴， 整理得， 解得或，均满足，因此的值为或，故⑤错误； 综上，正确的有①③④ 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 ， ， ， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 18. 如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数． （2）求的度数和的长． 【答案】（1）旋转中心为点，旋转的度数为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和计算出，然后根据旋转的定义求解； （2）连接，延长交于点，根据旋转的性质得，再利用周角的定义计算出，根据平角的定义和等边对等角求出，根据等腰三角形的性质即可证出，即，设，则，根据直角三角形的性质和勾股定理表示出，在中，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 即， 所以旋转中心为点，旋转的度数为； 【小问2详解】 解：如图，连接，延长交于点， ∵逆时针旋转一定角度后与重合， ， ， ∴， ∴，即， ∵点恰好成为的中点， ， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得：， ． 19. 已知二次函数． （1）该二次函数化为顶点式为________； （2）该二次函数图象与轴的交点坐标为________，与轴的交点坐标为________； （3）在所给平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （4）结合函数图象，直接写出： 当时，的取值范围为________； 当时，的取值范围为________． 【答案】（1） （2），； （3）二次函数的图象如图所示； （4）或； 【解析】 【分析】（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答； （2）分别令，，即可求出函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）根据函数解析式，可以得到该函数的顶点坐标，结合图象上其他点的坐标即可画出相应的函数图象； （4）根据函数图象即可确定对应的取值范围． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：对于二次函数， 令，得，解得或， ∴该二次函数图象与轴的交点坐标为，； 令，得， ∴该二次函数图象与轴的交点坐标为； 【小问3详解】 解：对于二次函数，其顶点坐标为， 画出该二次函数的图象略； 【小问4详解】 解：根据函数图象可知，当时，的取值范围为或； 当时，的取值范围为． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，如图，若． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用数形结合与方程思想是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，将一次函数与坐标轴的交点坐标代入，求解一次函数解析式；再根据的几何条件，通过构造全等三角形求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求得值； （2）联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组求出点的坐标；将的面积拆解为与的面积之和，利用坐标与坐标轴围成的三角形面积公式进行计算． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点和点， ，解得， 一次函数的表达式为； 如图，过点作轴于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，解得，或，， 点的坐标为， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，． （1）在图（1）中画出向下平移2个单位，向左平移3个单位后所得的图形； （2）在图（1）中画出绕着O点顺时针旋转后所得的图形； （3）借助网格，利用无刻度直尺在图（2）中作出的角平分线 （4）借助网格，利用无刻度直尺在图（2）中作出点B关于直线的对称点． 【答案】（1）如图（1），如图所示： （2）如图（1），如图所示： （3）如图（2），如图所示： （4）如图（2），点如图所示： 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质作出图形即可； （2）利用旋转的性质作出图形即可； （3）利用网格的特点作出等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得到的角平分线； （4）利用网格的特点过点B作的垂线交于点，将向左平移两个单位长度得到，交的延长线于点，根据平移的性质得，根据平行线分线段成比例可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：过点B作的垂线交于点，将向左平移两个单位长度得到，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴点B与点关于直线对称． 22. 如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． （1）求水线最高点与点之间的水平距离； （2）当喷水口在处时， ①求水线的最大高度； ②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【答案】（1）水线最高点与点之间的水平距离为 （2）①水线的最大高度为； ②令， ． 或， 为了不被水喷到， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的性质． （1）根据得出抛物线对称轴为直线，即可解答； （2）①根据题意，结合（1）可设过点的抛物线为，将，，代入求出解析式，即可求解；②令，解出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系． ， 抛物线的对称轴是直线， 又， 水线最高点与点之间的水平距离为：； 【小问2详解】 ①由题意，结合（1），又因为抛物线形水线也随之上下平移， 可设过点的抛物线为， 又，， ， ，， 所求解析式为． 水线的最大高度为； ②略 23. 【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）如图，在等边三角形中，点在其内部，且，，，求的长．经过观察、分析、思考，小明对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，寻找，，三者之间的数量关系 请你根据上述分析过程，完成该问题的解答过程． （2）【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：如图，在等边三角形中，，点在内，且，，求的面积； （3）如图，在中，，，点在内，且，，，求的长． 【答案】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接， 则，，，， 是等边三角形， ，， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过旋转，得到边长与角度对应相等，从而得到是等边三角形，进而得，，三者之间的数量关系为，由此计算求解的长度即可． （2）将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，得到是等边三角形，利用角度的关系得到 ，从而得到，再由勾股定理求解出与，由三角形面积公式求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，使用勾股定理逆定理证明，再得到 ，即，，三点共线，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，如图所示， 则，， ， 是等边三角形， ，， 又 ， ， ， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接， 则 ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，，三点共线， ， 在中，． 24. 如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与x轴交于、，且二次项系数为，设解析式为，展开化简后得到； （2）①先求得与直线，设、，分三种直角情况，结合坐标几何性质与勾股定理列方程，舍去超出第一象限范围的解，得到符合条件的t值；②与同底，则计算得，将面积差转化为纵坐标之差；利用设平移直线解析式，联立求N点坐标，构建关于t的二次函数，通过顶点公式求最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、，且二次项系数为， ∴设函数表达式为 ， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①由（1）得，当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将、代入直线中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t，轴，M在上， ∴，， 当时，∵轴，且， ∴，即为水平方向， ∴点P与点C纵坐标相等，均为3， ∴ 解得（舍去），， 当时，则， ∵； ； ， ∴ ∴或， 解得（舍去），（舍去）； 当时，则， ∴ ∴或， 解得（舍去），； 综上，满足条件的t值为或． ②由题意得，， ∵和的底均为， ∴高分别为点P、点N的纵坐标， ∴，， ∴ ， 设直线的解析式为，代入、： 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线可由直线平移m个单位得来， ∴设直线为，， 将点P代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得 解得， 将x代入，得， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值， ∴顶点横坐标为， 将代入得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $