江苏省常州高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中质量检查数学试题

江苏省常州高级中学 2026~2027学年第一学期期中质量检查高二年级 数学试卷 命题教师：任益群 审题教师：蒋亚红2026.11 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷纸上 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.抛物线=一x的准线方程为( Ay=号 By=-号 C= D.x=- 1 4 2.若直线：x+my+1=0的倾斜角为号，则实数m值为( A.√5 B.-V3 e号 D.-3 3 3.己知圆(x-1)2+2=4内一点P(2,1),则过P点的最短弦所在的直线方程是( A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.x+y+3=0 D.x=2 4尼知双曲线C:气-户1@>>0的实箱长为2，且两条渐近线夹角为60，则该双曲线的。 距为( ) A.43 B.23 3 C.4 D.2 3 5.己知抛物线C:=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上一点P的纵坐标为2，且1PF=2,则点P到 直线：kx一y+3=0的距离的最大值为( A.√2 B.√5 C.5 D.2W2 6.在平面直角坐标系0y中，已知点A3,0),点P在圆（红-1y+g-1y=1上，则满足PA=2 IPOL 的点P个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 7.直线y=a(x+3)与曲线x2-y=1恰有2个公共点，则实数a的取值范围为( ( (要 c.(-3+m) n(9+) 2三1(a>b>0)的焦点为R,,P是椭圆上一点，且∠RPB 2 3 外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当R=4r时，椭圆的离心率为( A c 号 …1 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.己知直线41：2x+y+2=0,直线2：(k+1)x+y+2+1=0,F A直线乙可以与x轴平行 B.直线2可以与y轴平行 (.当1∥2时，k=1 D当上6时，太=-号 10.已知圆O:(x-3)2+y2=4,圆O2:(x-4)2+(y-3)2=6,则： A两圆的圆心距为√5 B.两圆的公共弦所在直线的方程为x+3y-7=0 C两圆的公共弦长为415 5 D.直线4x+3y一2=0是两圆的一条公切线 11.17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首 尾连接，构成菱形LFKQ.带槽杆QF长为4，点，F间的距离2，转动杆QR一周的过程中始 终有QE=|EF,记点E的轨迹为Γ.以线段中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直 角坐标系，则下列说法正确的是 F F F2 图1 图2 人T的方程为苦+号=1 &固定，，若缩短杆Q,则下的离心率会变小 C.转动杆QR一周的过程中，Q及的最大值为6 D.转动杆Q一周的过程中，∠FQ的最大值为30° 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12若方程号+写千=1表示焦点在)箱上的椭圆，则实数大的取值范围是 设圆x2+y2+4x-2y-4=0上有且仅有2个点到直线3x+4y+m=C(m>0)的距离为2，则实 数m的取值范围是 .L已知直线：x-my+3=0(m>0)与抛物线C:=4x,交于A,B两点，若以AB为直径的圆与 y轴有公共点，则实数m的最小值为 2 四、解答题：（本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.设直线l:2x-y+3=0和直线2：x+y+3=0的交点为P. (1)若直线l经过点P,且与直线x+2y+5=0垂直，求直线l的方程； (2)求点(1,0)关于1：2x-y+3=0对称点的坐标. 16.已知圆C:x2+(y-2)2=16,A(2,0,点P在圆C上运动，点B为线段AP的中点. (1)求点B的轨迹方程B,并说明其轨迹： (2)求过点M(3,2)且与E相切的直线方程， 17.己知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离始终比到定直线=-1的距离大1，若动点P的轨迹记为曲 线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线飞：x=my+2与曲线C交于A,B两点，设直线x=t分别与直线OA,OB交于P,Q两点，若线 段AB在直线z=t的右侧，且S600=号SoAa:求正数t的值 3 18. 已知椭圆c号+片-1a>b>0)经过点M1,号》，且其右焦点P为L,0. b2 (1)求椭圆C的方程； (2)己知过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于P,Q两点，设线段PQ的垂直平分线交x轴于 点W(n,0),求n的取值范围： (3)过点(4,0)的直线与椭圆C交于A,B两点，点B关于x轴的对称点为B,证明：直线AE过定 点、 19.已知双曲线r:二-兰=1@>0，b>0)的离心率为5，其右焦点F到衔近线的距离为1，其 a2b2 2 共轭双曲线兰-兰=-1记为r,设点M在T上，点N在T上，满足oow=子 a2 b2 (1)求双曲线Γ及'的方程： (2)若实数s,t满足s2-t=1,且动点P满足OP=sOM+tON, ①求点P的轨迹方程： ②过点P作双曲线'的两条切线，切点分别为A,B,证明：△PAB的面积为定值. ·4 江苏省常州高级中学 2026～2027学年第一学期期中质量检查高二年级 数 学 答 案 一、单项选择题： 1、C 2、D 3、B 4、A 5、A 6、C 7、A 8、B 2、 多项选择题： 9、ABD 10、BC 11、ACD 3、 填空题： 12、 13、 14、 四、解答题： 15、（1）由得交点，由直线与直线垂直，则可设直线的方程为，又直线过点，代入得，则，所以直线的方程为；····································6分 （2）设点关于：对称点的坐标为， 则有，解得， 所以点关于：对称点的坐标为.······················7分 16、设，由是中点，，则，因为在圆 上：，， 轨迹 ：以 为圆心，半径等于圆；·································6分 (2)圆 ，定点 。 ① 斜率不存在：直线 ，圆心 到直线距离 ，故 是切线。 ② 斜率存在，设切线：，即，圆心到直线距离等于半径：，， 两边平方：，，切线：，综上，切线方程：····································9分 17、（1）由题，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等， 由抛物线的定义知，动点的轨迹是焦点为的抛物线，此时，·······3分 则曲线的方程为；················································2分 （2）联立得到，设，则，··············································3分 直线 ：； 直线：，把 代入： 法一： 因为 ，所以．········································7分 缺正负扣1分 法二：， ，·， 因为，又 ，所以，因为，所以： ，因为 ，所以．········································7分 18、（1）因为椭圆右焦点为，且经过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为.·············································4分 （2）依题意，设直线的方程为：，，代入， 得，恒成立. 设，，线段的中点为， 则，······················2分. 则，直线的方程为：， 令 得：点的横坐标，······························2分 因为，所以，所以.·······················2分. （3）证明：设直线 的方程为：，，代入， 得， 因为过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于A， 两点， 所以由，得：，····1分 设，，，则，，······1分 则直线 的方程为， 令 ，得 .··············2分 ·············2分 易知当直线AB斜率为0时，直线 也过点. 所以直线 过定点.················································1分 19、(1) 由 ，得 。焦点 到渐近线 的距离 。由 得：。所以双曲线 的方程为：。其共轭双曲线 的方程为：（或 ）。（4分） (2) 设 ，则 ， 。 (i)设 ，由 ，可知，对 ① 平方：，因为，所以，， 对 ② 平方：， 所以，的轨迹方程：（5分） (ii) 已知 ，。设点 在 上，则 。设切点 。过点 的直线方程为 ，与联立得，即，因为Δ=0，所以即为在处的切线，因其过点 ，所以 。同理，。这说明点 都在直线 上，即 切点弦 的方程为 。（2分） 联立 与 的方程： 化简得：。由 在 上代入方程得： 由韦达定理：，。弦长 。直线 的斜率 ，所以 。所以 。 点 到直线 的距离为： 所以 的面积： 化简得： 故 的面积为定值 。 （6分） 学科网（北京）股份有限公司 $