精品解析：江苏苏州市第十中学2026-2027学年第一学期高二数学期中试卷

苏州市第十中学2026-2027学年第一学期高二数学期中试卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.） 1. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. B. C. D. 2. 过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 点关于直线对称的点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 5. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. 1或 B. 1 C. 3 D. 或3 6. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，左右顶点为A，B，点P为双曲线右支上一点，设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 直线：，若，则； B. 直线的方程为：，直线过定点； C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为； D. 直线，两直线的距离为 10. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积为 C. 若，则 D. 若，的中点在的准线上的投影为，则 11. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ） A. 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B. 在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C. 阴影部分的面积为； D. 阴影部分的内外边界曲线长为. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆和双曲线共焦点，则m的值为____________. 13. 已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______． 14. 已知点A，B为圆上两动点，且，点P为直线上动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 16. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． （1）当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 17. 已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设动圆与椭圆E交于A，B，C，D四点．动圆与椭圆E交于，，，四点．若矩形ABCD与矩形的面积相等，证明：为定值． 18. 已知抛物线经过点，焦点为，过作两条直线与抛物线交于四点，其中在第一象限，且在的左侧． （1）求的方程； （2）若直线与轴交于点，求直线与轴的交点坐标； （3）设直线与的斜率分别为，若，试问：直线是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. （1）求圆的方程； （2）已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； （3）过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市第十中学2026-2027学年第一学期高二数学期中试卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.） 1. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据截距的定义进行求解. 【详解】中，令，解得，令，， 故. 故选：B 2. 过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线性质可知切线l斜率，进而可求切线方程. 【详解】因为圆的圆心为， 且，可知点在圆上， 则，可得切线l斜率， 所以直线l的方程为，即. 故选：B． 3. 点关于直线对称的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点关于直线对称的点坐标为，利用对称点的连线被垂直平分建立方程组即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点坐标为， 由题意可得：解得：， 所以点关于直线对称的点坐标为， 故选：A. 4. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设，，，然后分圆锥曲线为椭圆或双曲线分类求得曲线的离心率． 【详解】由题意可设：，，． 当圆锥曲线为椭圆时，，．离心率； 当圆锥曲线为双曲线时，，，离心率． 综上可知，圆锥曲线的离心率为或． 故选：． 5. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. 1或 B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆方程可得，确定或，再根据圆关于直线对称可得圆心在直线上即可求解. 【详解】因为是圆的方程， 所以，解得或， 又因为圆的圆心为， 且圆关于直线对称，所以， 即，解得，（舍）或， 故选：C. 6. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可. 【详解】 过分别向轴和准线做垂线,垂足分别为， 根据抛物线定义，有， 所以. 故选：A 7. 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设动点坐标得出两直线斜率公式，结合椭圆方程得到两直线斜率乘积为定值，由条件求出两直线斜率之间的等量关系，结合两个方程求出的值，通过求出的值，通过由正弦定理得到先与角之间的关系求得线段的比值. 【详解】由题意知，，设， 直线，的斜率分别为，，则， 又∵，即，∴，即， 由正弦定理得， 又，则， 联立解得，即， 所以，即. 故选：C 8. 已知双曲线，左右顶点为A，B，点P为双曲线右支上一点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点在双曲线上可得，再结合两角和的正切可得正确的选项. 【详解】设，则， 从而， 所以， 因此． 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 直线：，若，则； B. 直线的方程为：，直线过定点； C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为； D. 直线，两直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由可判断，对于B：由可判断， 对于C：由截距为0的情况可判断，对于D：由平行线间距离公式可判断. 【详解】对于A：当，可得：，解得：，正确； 对于B：由方程，可得：，由， 解得：，过定点，正确； 对于C：过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线，当截距为0时，方程为：，故C错误； 对于D:由两平行线间距离公式可得：两直线的距离为，故正确； 故选：ABD 10. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积为 C. 若，则 D. 若，的中点在的准线上的投影为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，联立直线的方程，求出交点坐标即可判断A；求出点的纵坐标计算判断；设出点， 的坐标，结合向量垂直的坐标表示及均值不等式求解判断C；利用抛物线定义结合余弦定理、均值不等式判断D． 【详解】解：抛物线方程为：， 抛物线的焦点，准线， 设，， 则，，， A．设，联立，可得， ，，① ，，与①联立， 可得，或，， 或 ，故选项A正确； B．，，， 的面积，选项B错误； C． ， ，显然， ，， ， 当且仅当时取等号，选项C正确； D．设点的横坐标为，， ， 在中，， 由余弦定理得， ， ， 当且仅当时取等号， ，选项正确． 故选：ACD． 11. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ） A. 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B. 在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C. 阴影部分的面积为； D. 阴影部分的内外边界曲线长为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由“水滴”形状性质可得其与轴的上下两交点之间的距离最大，可得A正确；利用圆的参数方程以及三角函数值域可得B正确；由阴影面积形状并利用割补法求出阴影部分面积，可判断C错误；利用弧长公式计算可得D正确. 【详解】对于A，由于，令时，整理得， 解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A， 则点A的坐标为，点， 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A正确； 对于B，由于，整理得：， 所以，所以到坐标轴的距离为或， 因为， 所以，， 所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确； 对于C，由于，令时，整理得， 解得， 因为表示以为圆心，半径为的圆， 则， 且，则在x轴上以及x轴上方， 故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆， 根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成， 所以它的面积是. 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为， 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，故C错误； 对于D，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为， 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为， 所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆和双曲线共焦点，则m的值为____________. 【答案】7 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线标准方程可求. 【详解】由题意，焦点在轴， 所以，解得. 故答案为：7 13. 已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】焦点，根据椭圆的定义得到，设椭圆和抛物线的交点为，根据抛物线性质得到，得到离心率的最大值. 【详解】由抛物线方程得，准线方程为， 又点，则， 在抛物线上取点H，过H作HG垂直直线，交直线于点G， 过P作PM垂直直线，交直线于点M， 由椭圆和抛物线定义得，故椭圆离心率． 故答案为：. 14. 已知点A，B为圆上两动点，且，点P为直线上动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量运算转化，结合直线和圆的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】设的中点为，则，且， ，所以点在以为圆心，半径为的圆上. ， 要求的最小值，则需求的最小值， 到直线的距离为， 所以的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 设定中点并分析几何关系：首先设定 为 的中点，通过中点的满足的几何性质，确定点的轨迹,利用几何关系将问题代数化. 利用距离公式求最小值：通过计算点到直线的距离，并结合半径的长度，找到最小值，确定问题的答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故的方程是，即； 【小问2详解】 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． （1）当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解； （2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案. 【小问1详解】 当时，圆C的方程为， 圆心，半径， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由直线l与圆C相切，则，解得， 所以l的方程为，即， 综上得，直线l的方程为或； 【小问2详解】 圆心，， 则线段的中垂线的方程为，即， 要使得，则M在线段的中垂线上， 所以存在点M既要在上，又要在圆C上， 所以直线与圆C有公共点， 所以，解得， 所以． 17. 已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设动圆与椭圆E交于A，B，C，D四点．动圆与椭圆E交于，，，四点．若矩形ABCD与矩形的面积相等，证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明：设，矩形ABCD与矩形的面积相等 由对称性可得，即， 又因为A，均在椭圆上，满足， 所以，即， ， 故，为定值． 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标以及离心率列出方程组，即可得出标准方程； （2）利用面积相等可求得坐标之间的关系，再由点在椭圆上代换出的表达式可得结果. 【小问1详解】 由焦点坐标为可得， 离心率，可得， 解得， 所以椭圆. 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线经过点，焦点为，过作两条直线与抛物线交于四点，其中在第一象限，且在的左侧． （1）求的方程； （2）若直线与轴交于点，求直线与轴的交点坐标； （3）设直线与的斜率分别为，若，试问：直线是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）直线过定点，且定点为 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据点斜式求解直线方程，令，求解直线与轴交点，，,即可代入化简求解， （3）根据两点斜率公式可得，即可根据点斜式求解直线方程，进而代入化简即可得直线方程为，进而可求解定点. 【小问1详解】 将代入可得，解得， 故 【小问2详解】 设直线， 联立与可得， 设,， 故，同理可得， 故直线，令可得， 同理可得与轴的交点横坐标, 由于， 故，同理可得， 由于，故，所以， 故直线与轴的交点坐标为 【小问3详解】 由题意可得， 由于， 故故，进而， 直线，即， 由于， 故直线， 故直线恒过点 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. （1）求圆的方程； （2）已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； （3）过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：如图， 设，则， 又、， ， 同理， ， . （3） 【解析】 【分析】（1）根据蒙日圆定义及椭圆方程直接得解； （2）设，根据椭圆方程，焦点坐标直接计算，再由圆的几何性质计算即可得证； （3）分类讨论，当斜率存在且不为0时，根据可得，分别求出，利用换元法求出的取值范围即可. 【小问1详解】 椭圆：中，， 所以所求圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以，， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以， 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与必相交且， 所以 ， 因为, 所以四边形面积， 令，则， 故 ， ，， 令，则， 则在单调递减， 当时；当时，，所以. 综上：. 【点睛】关键点点睛：表示出四边形的面积后，能够恰当经过两次换元，转化为二次函数求最值，是解题的关键，对运算能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $