精品解析：江苏省泰州市第二中学附属初中　2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

八年级数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（每小题3分，18分） 1. 下列各数：2，1.01001，，，是无理数的是（ ） A. 2 B. 1.01001 C. D. 2. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子最适当的位置是在的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条垂直平分线的交点 D. 三条高的交点 3. 点坐标为，那么点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在同一直线上，，添加以下选项中的一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 6. 如图，为等腰的高，其中，，，分别为线段，上的动点，且，当取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，30分） 7. 若点在第二象限，则点在第______________象限． 8. 等腰三角形的周长为，其中一腰长为，则该等腰三角形的底边长为______． 9. 2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是___________． 10. 若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是______． 11. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 12. 如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是______． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则______． 14. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，将线段平移后，对应点，的坐标分别是，，则的值为______． 15. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2，点 D 是 BC 的中点，P 是射线 AD 上的一个动点，则当△BPC 为直角三角形时，AP 的长为____________． 16. 如图①，在中，，，点C沿折叠与上的点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为_____． 三、解答题（共102分） 17. 求下列各式中的： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 已知正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是4． （1）求和的值； （2）求的立方根． 20. 如图，已知：，，点在边上，且． （1）求证：； （2）如果为中点，，求的度数． 21. 如图1，在每个小正方形边长都为的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上． （1）通过观察可以发现是（ ） ．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．等腰三角形 （2）请在图中仅用无刻度的直尺画出的角平分线与中线． （3）请在图中仅用无刻度的直尺确定一点，使得与全等． （4）请在图中仅用无刻度的直尺确定一点，使得点与两点的距离相等，且到两边的距离也相等． 22. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． （1）写出你的证明过程； （2）当，时，求空白部分的面积． 23. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点，直线经过点，，且，满足，连接． （1）求点、的坐标； （2）试判断的形状，并说明理由； （3）点在轴上，当与的面积之比为时，求出点的坐标． 24. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长． 25. 如图，在中，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． （1）点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等； （2）点P在折线运动过程中，当是等边三角形时，求的度数； （3）点P在折线运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 26. （1）发现问题：如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接．①证明：；②求的度数； （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展提高：如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线BC上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（每小题3分，18分） 1. 下列各数：2，1.01001，，，是无理数的是（ ） A. 2 B. 1.01001 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】优先排查开方形式的数，判断其是否开方开不尽，可快速找到无理数. 【详解】解：2是整数，1.01001是有限小数，是分数，均为有理数， 是开方开不尽的数，是无理数. 2. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子最适当的位置是在的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条垂直平分线的交点 D. 三条高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质进行分析即可作答． 【详解】解：要使游戏公平，需凳子到三个顶点的距离相等． ∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴凳子应放在三边垂直平分线的交点处． 3. 点坐标为，那么点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：∵点坐标为， ∴点关于轴对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点坐标为． 4. 如图，点在同一直线上，，添加以下选项中的一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 根据题意可知，，再根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴． 当时，根据“角边角”得，则A不符合题意； 当时，不能说明，则B符合题意； 当时，即，根据“边角边”得，则C不符合题意； 当时，根据“角角边”得，则D不符合题意. 故选：B. 5. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，作于点，根据角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作于点， ∵平分于点C， ∴， ∴的面积为； 故选C 6. 如图，为等腰的高，其中，，，分别为线段，上的动点，且，当取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，且，连接，交于，此时是等腰直角三角形，即可证明，得到，则，利用三角形三边关系可知当点，点，点三点共线时，最小为，再次利用三角形外角和定义得到即可． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，交于，此时是等腰直角三角形， 则， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ∴， ， ， 当点点点三点共线时，最小为， ． 二、填空题（每小题3分，30分） 7. 若点在第二象限，则点在第______________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据点在第二象限得到和的符号，再推导点横纵坐标的符号，根据象限坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， 点的横坐标为正，纵坐标为正， 点在第一象限． 8. 等腰三角形的周长为，其中一腰长为，则该等腰三角形的底边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，腰长为， ∴等腰三角形的底边长为． 9. 2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是___________． 【答案】21.10 【解析】 【分析】本题主要考查了近似数，将21.0975精确到0.01就是看7，再根据“四舍五入”得出近似数即可． 【详解】解：将21.0975精确到0.01的数是21.10． 故答案为：21.10． 10. 若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、直角三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的面积公式求出直角三角形的斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出直角三角形斜边的中线长． 【详解】解：设直角三角形斜边的长为， 直角三角形斜边上的高是，面积是， ， 解得：， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长是． 故答案为： ． 11. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 12. 如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，根据边的垂直平分线交于，得出，设，则，因为，所以，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于， ∴， 设， ∵ 则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的面积是， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则______． 【答案】86 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式得到，，，，再由勾股定理推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接． 由题意，得，，，． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ． ， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，将线段平移后，对应点，的坐标分别是，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知坐标的变化量确定整体平移的方向和距离，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵点的原坐标为，平移后横坐标为， ∴横坐标变化量为，即整体向右平移个单位； ∵点的原坐标为，平移后纵坐标为， ∴纵坐标变化量为，即整体向上平移个单位， ∴ 点平移后的纵坐标，点平移后的横坐标， ∴． 15. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2，点 D 是 BC 的中点，P 是射线 AD 上的一个动点，则当△BPC 为直角三角形时，AP 的长为____________． 【答案】0或-1或+1或2 【解析】 【分析】①当P点与A点重合时，AP=0；②在Rt△ADC中利用勾股定理即可求出AD的长度，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DP的长度，由线段间的关系即可得出AP的长度；当∠CBP=90°时，△PBD≌△ACD，则AD=PD，进一步得到AP的长度． 【详解】①当P点与A点重合时，AP=0， ②依照题意画出图形，如图所示. ∵∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点， ∴CD=BD=BC=1,AD==. ∵∠BPC=90°，D是BC的中点， ∴DP=BC=1， ∴AP1=AD−DP1=−1或AP2=AD+DP2=+1. 当∠CBP3=90°时,△P3BD≌△ACD， 则AD=P3D， 则AP3=2AD=2. 故答案为0或+1或−1或2. 【点睛】本题考查了勾股定理与等腰直角三角形，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算法. 16. 如图①，在中，，，点C沿折叠与上的点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，有，即；作P点关于的对称点，作交于N点，交于点，连接，得出，得出此时的最小值为的长，求出的长即为解答． 【详解】解：如图：关于的对称点，作交于N点，交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，此时的最小值为的长， ∵， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠变换、勾股定理、含30°角的直角三角形、轴对称−路线最短问题等知识点，正确作出辅助线构造轴对称−路线最短问题的基本图形求最短距离是解题的关键． 三、解答题（共102分） 17. 求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（）根据平方根的概念解方程即可； （）根据立方根的概念解方程即可； 本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． 【小问1详解】 解： 或 ∴或； 【小问2详解】 解： ∴． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、零指数幂、乘方，再计算加减即可得解； （2）先计算算术平方根、立方根、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是4． （1）求和的值； （2）求的立方根． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求，进而得a，再结合算术平方根的定义求b； （2）代入和的值计算代数式，再求立方根． 【小问1详解】 解：∵正数a的两个不同平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， 将代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：将，代入， 得， 27的立方根是3，即的立方根为3． 20. 如图，已知：，，点在边上，且． （1）求证：； （2）如果为中点，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由得，进而由“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，，进而可得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，且点为中点， ∴． 21. 如图1，在每个小正方形边长都为的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上． （1）通过观察可以发现是（ ） ．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．等腰三角形 （2）请在图中仅用无刻度的直尺画出的角平分线与中线． （3）请在图中仅用无刻度的直尺确定一点，使得与全等． （4）请在图中仅用无刻度的直尺确定一点，使得点与两点的距离相等，且到两边的距离也相等． 【答案】（1） （2） 线段和即为所求； （3） 如图所示，即为所求； （4） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（）根据勾股定理及逆定理解答即可求解； （）取格点，连接交于，由是等腰直角三角形可得，由（）知，所以得到，即是的角平分线，再取格点，连接交于点，连接，由矩形的性质可知点是的中点，故是的中线； （）取格点，连接，易证四边形是矩形，故与全等； （）利用正方形的性质画出的垂直平分线，与的角平分线的交点即为点； 本题考查了勾股定理及逆定理，矩形的性质，正方形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形 ， 故选：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． （1）写出你的证明过程； （2）当，时，求空白部分的面积． 【答案】（1） 证明：五边形的面积拆分为正方形、三角形与三角形的面积和， 即 五边形的面积也拆分为正方形、正方形、三角形与三角形的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴， 两边消去，得，即勾股定理得证． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积． （1）将五边形的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理． （2）空白部分面积为正方形的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为，代入、的值计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：空白部分（正方形的面积为， 由⑴结论，代入得空白部分面积为 当，时，原式 答：空白部分的面积为． 23. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点，直线经过点，，且，满足，连接． （1）求点、的坐标； （2）试判断的形状，并说明理由； （3）点在轴上，当与的面积之比为时，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形； （3）或 【解析】 【分析】（）利用非负数的性质求出的值即可求解； （）根据勾股定理的逆定理解答即可； （）求出的面积，进而求出的面积，设点，再分点在点左侧和右侧，利用三角形的面积公式解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵与的面积之比为时， ∴， 设点， 当点在点左侧时，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在点右侧时，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 24. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长． 【答案】（1）EF⊥AC，理由如下： 连接AE、CE，如图所示： ∵∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，点E是BD的中点， ∴， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC； （2）EF=8 【解析】 【分析】（1）连接AE、CE，根据题意易得AE=CE，然后根据等腰三角形的性质可证； （2）由题意易得∠AEC=90°，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可得：△AEC是等腰三角形，AE=BE，BE=EC， ∴∠ABE=∠BAE，∠EBC=∠ECB， ∴∠AED=2∠ABE，∠DEC=2∠EBC， ∵∠ABC=45°=∠ABE+∠EBC， ∴∠AEC=∠AED +∠DEC=2∠ABC=90°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴AC=2EF， ∵AC=16， ∴EF=8． 【点睛】本题主要考查直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． （1）点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等； （2）点P在折线运动过程中，当是等边三角形时，求的度数； （3）点P在折线运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）6 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据等边三角形的性质，得到，利用角的和差关系求出的度数即可； （3）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； 【小问2详解】 ∵， ∴， 当是等边三角形时，如图，则：， ∵平分， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或． 26. （1）发现问题：如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接．①证明：；②求的度数； （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展提高：如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线BC上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 【答案】（1）①证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ② （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，； ； 在中，由勾股定理，得：， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，推出，利用勾股定理和等量代换，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）①略 ②∵ ∴， ∴； （2）略 （3）∵为等腰直角三角形， ∴， ①当点在线段上时，连接，如图 同（2）可得：， ∴，， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： 同理：，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形，进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $