精品解析：江苏泰州市 海陵区五校2025-2026学年上学期八年级数学 期中试题

海陵区五校25～26学年度第一学期期中考试八年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 请注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2.所有试题的答案均写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题后所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，分别以它们为边长能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. C. 0.8，0.6，0.5 D. 3. 到三角形各顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高交点 B. 三个内角平分线交点 C. 三条中线交点 D. 三条边垂直平分线交点 4. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积为24，则EC等于（　　） A. 2 B. C. 4 D. 6. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（ ） A. 45 B. 36 C. 25 D. 18 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 4的算术平方根是__________． 8. “2025泰州马拉松”赛道全程为千米，把精确到为______． 9. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 10. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ______． 11. 如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是__________． 12. 小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则_______． 13. 如图所示，，，，，，则__________． 14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________ 15. 若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为______． 16. 如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 三、解答题（本道题共10题，共102分．请在答题卡中指定区域作答．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 19. 已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是． （1）求a，b的值： （2）求的算术平方根和立方根． 20. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上． 请用无刻度尺按要求作图： （1）作△ABC的高AH； （2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC； ②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分． 21. 【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： （1）的整数部分是 ；的小数部分是 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 22. 如图，，点D在边上，与相交于点O； （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数． 24. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 25. 如图，的和的平分线，相交于点，． （1）求的度数； （2）如图，连接，求证：平分； （3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长． 26. 【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海陵区五校25～26学年度第一学期期中考试八年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 请注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2.所有试题的答案均写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题后所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列各组数中，分别以它们为边长能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. C. 0.8，0.6，0.5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，分别计算每个选项中三边的平方，判断是否满足两短边的平方和等于长边的平方．本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理（若一个三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：选项A，，，因为，所以能构成直角三角形． 选项B，，，因为，所以不能构成直角三角形． 选项C，，，因为，所以不能构成直角三角形． 选项D，，，因为，所以不能构成直角三角形． 故选：A． 3. 到三角形各顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高交点 B. 三个内角平分线交点 C. 三条中线交点 D. 三条边垂直平分线交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上， ∴到三角形两个顶点距离相等的点在这两点所连边的垂直平分线上， ∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点． 4. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据“”判定即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：A． 5. 如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积为24，则EC等于（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10,故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可. 【详解】∵S△ABF＝24， ∴AB•BF＝24，即×6•BF＝24． 解得：BF＝8， 在Rt△ABF中由勾股定理得：AF＝＝＝10． 由翻折的性质可知：BC＝AD＝AF＝10，ED＝FE． ∴FC＝10﹣8＝2． 设DE＝x，则EC＝6﹣x． 在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝FC2+EC2，x2＝4+（6﹣x）2． 解得：x＝， ∴CE＝． 故选D． 【点睛】本题主要考查了翻折问题，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键. 6. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（ ） A. 45 B. 36 C. 25 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设直角三角形两条直角边长分别为和，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，，再根据完全平方公式求出的值，进而可得一个直角三角形的周长． 【详解】解：设直角三角形两条直角边长分别为和， 由题意可知：中间小正方形的边长为：， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： ， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 所以一个直角三角形的周长是36． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理和完全平方公式． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 4的算术平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，找到平方等于的非负数即可得到结果. 【详解】解：∵ 正数的算术平方根是它的正平方根，且， ∴的算术平方根是. 8. “2025泰州马拉松”赛道全程为千米，把精确到为______． 【答案】 【解析】 【分析】精确到对应保留两位小数，需依据四舍五入规则，根据千分位数字判断进位情况． 【详解】解：精确到为． 9. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 【答案】或##或4 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 10. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 11. 如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是__________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角问题，掌握直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角性质，会用已知角求余角，利用对称轴证角相等，利用外角关系解决问题是关键．由，，得，根据对称性的性质可得，根据三角形外角的性质得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D，E在上，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则_______． 【答案】73 【解析】 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 13. 如图所示，，，，，，则__________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】通过角度等量代换推出，利用边角边证明，推出，最后利用外角的定义即可求出度数． 【详解】解：，，， ． ，， ， 14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 15. 若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】分情况讨论： 如图，，， ∵，， ∴， ∴，即顶角为， 如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即顶角为， 如图， 同理可得， ∴，即顶角为， 综上可知：顶角度数为或或． 16. 如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 三、解答题（本道题共10题，共102分．请在答题卡中指定区域作答．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，算术平方根、立方根，以及乘方，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）原式利用乘方的意义，算术平方根计算即可得到结果； （2）原式利用乘方的意义，算术平方根、立方根性质计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）根据平方根的意义求解即可； （2）根据立方根的意义求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ∴或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 19. 已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是． （1）求a，b的值： （2）求的算术平方根和立方根． 【答案】（1）， （2）8，4 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． （1）根据平方根的定义、立方根的定义列出方程进行解答便可； （2）根据算术平方根、立方根的定义进行计算便可． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个平方根分别是和的立方根是 ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：当，时，， ∴的算术平方根为，立方根为． 20. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上． 请用无刻度尺按要求作图： （1）作△ABC的高AH； （2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC； ②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分． 【答案】（1） 如图（1）所示，线段AH即为所求， （2） ①如图所示，线段AD即为所求； ②如图所示，线段AF即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可，注意高线是实线； （2）①根据要求作出图形即可； ②取格点T连接BT，AT，CT，则BT∥AC ，推出△ACB与△ATC的面积相等，作出△ADT 的中线AF即可（取P，Q，连接PQ交DT于点 F)． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： （1）的整数部分是 ；的小数部分是 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）3， （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． （1）先估算的大小，从而求出整数部分，再估算的大小，利用不等式的基本性质估算的大小，从而求出答案即可； （2）先估算的大小，求出其小数部分a的值，再估算的大小，求出其整数部分b的值，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的整数部分是3， ∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分是1，小数部分是， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分是， ∴， ∵， ∴的整数部分， ∴． 22. 如图，，点D在边上，与相交于点O； （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质： （1）由“”可证； （2）由，根据三角形的外角性质，即可求的度数． 熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 23. 如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，构建合适的辅助线是解本题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，推出，，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， 是的中点， ，， ， 是的一个外角， ， ， ， ． 24. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 25. 如图，的和的平分线，相交于点，． （1）求的度数； （2）如图，连接，求证：平分； （3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长． 【答案】（1）120°； （2）证明：如图2，过点分别作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N， GQ⊥AC于Q， 平分， GM⊥AB于M，GN⊥BC 于N， ， 同理， ， ∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q， 平分 ； （3）28 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，两个角的和求解即可； （2）利用角平分线的判定定理证明判断即可； （3）利用两次三角形的全等证明即可． 【详解】（1）证明：如图1， 分别平分， ， ， ， ； (2)略 （3）解：∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，GM=GQ， ∴ 平分， ∵又， ， 在上取点，使 ， 平分 ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， △ABC的周长为：， 的周长是． 【点睛】本题考查了角的平分线定义，性质定理和逆定理，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理，灵活运用三角形全等的相关知识是解题的关键． 26. 【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 【答案】（1）3或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2）略 （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $