精品解析：天津市静海区第一中学2026-2027学年高三上学期11月学业能力调研数学试题

静海一中2026-2027第一学期高三数学（期中） 学生学业能力调研试卷 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（118分）和第Ⅱ卷提高题（32分）两部分，含3分卷面分，满分共150分. 知 识 与 技 能 学习能力 内容 集合 简易逻辑 函数性质 三角函数 复数 导数与函数 平面向量 不等式 立体几何 关键环节 分数 5 5 15 58 5 34 5 5 15 18 第Ⅰ卷 基础题（共118分） 一、选择题: （每小题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据并集的定义求出，再根据补集的定义求出. 【详解】已知，，则.  已知，，所以.  故选：A. 2. 已知数列的通项公式为，则“为单调递增数列”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断. 【详解】根据题意，已知数列的通项公式为， 若数列为单调递增数列，则有 （）， 所以，因为，所以， 所以当数列为单调递增数列时，无法推出， 当时，则对任意正整数，，所以， 所以数列为单调递增数列， 所以“为单调递增数列”是“”的必要而不充分条件. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数和三角函数以及对数函数的单调性，分别比较与的大小关系. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以. 所以 5. 已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求和，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【详解】设数列的公差为， 因为， 所以， 所以，又， 所以，故 所以， 所以当时，取得最大值. 6. 已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. 7. 已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】分别令，，结合递推公式及，即可求出的值. 【详解】令，则，又，所以； 令，则，所以， 令，则，所以. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是1 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简得到，整体法判断AB错误，并代入检验得到C正确；平移后所得解析式与不同，故D错误 【详解】 ， A选项，时，，而在上不单调递增， 所以在区间上不单调递增，A错误； B选项，的最大值为1，故的最大值为2，B错误； C选项，，故为的一个对称中心， 故为的一个对称中心，的图象关于点中心对称，C正确； D选项，函数的图象向左平移个单位长度可得 ， 显然与不同，故D错误 9. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由，，解得； 由，解得； 由，解得或； 由，解得或； 由，解得或或； 由，解得或或或； 由，或或或或或， 所以则m所有可能的取值集合为，共6个元素. 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10. 若复数z满足，则______. 【答案】 【解析】 【详解】，，， . 11. 化简____________ 【答案】2 【解析】 【分析】结合、换底公式化简计算即可 【详解】原式 . 故答案为：2. 12. 已知是数列的前项和，，，则________ 【答案】324 【解析】 【分析】由与的关系，结合已知条件易推出，代入计算即可. 【详解】当时，，则；当时， ， 两式相减得，则，所以，即， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，则， 当时，，所以，所以. 13. 已知，，且，则最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 【详解】， 结合可知原式， 且 ， 当且仅当时等号成立. 即最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 如图，在菱形中，，，以为直径的半圆与交于点M，P是半圆上的动点﹐则__________；的最大值是________. 【答案】 ①. 12 ②. ## 【解析】 【分析】空1：取的中点O，连接，则可得是等边三角形，在中，利用余弦定理求出，从而可求出；空2：取的中点E，连接，交半圆于点N，则，所以，从而可求出的最大值 【详解】空1：如图，取的中点O，连接，因为，， 所以是等边三角形，所以， 又在中，， 所以； 空2：取的中点E，连接，交半圆于点N，则，， 又 ， 故的最大值是. 故答案为：12；. 【点睛】关键点睛：此题考查平面向量的综合应用，考查平面向量数量积的运算，解题的关键是取的中点E，连接，将转化为，化简后可求出其最大值，考查数学转化思想，属于较难题. 15. 已知函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用零点分段讨论，去绝对值，结合二次函数知识化简可求答案. 【详解】， 不等式可化为①； 当时，①式可化为在区间上恒成立， 所以，即； 当时，①式可化为在区间上恒成立， 令，则其图象开口向上，对称轴为， 若，即时，最小值为， 由可得，解得，即； 若 且，即 时，由于的最小值为 ， 则 在 上恒成立， 若时，，则 在 上恒成立； 当时，①式可化为在区间上恒成立， 只需，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 三、解答题：(本大题共3小题，共43分) 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，求b的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得； （2）由二倍角公式求得，后再由两角和的正弦公式可求值； （3）由正弦定理求得，再由余弦定理求得. 【小问1详解】 ，由正弦定理得，， ， 即， ，， 又，. 【小问2详解】 由已知得， ， ， . 【小问3详解】 由正弦定理，得， 由（1）知，结合，， ，由余弦定理得，，. 17. 如图所示，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，，CD＝ED． （1）求证：DE⊥平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点A到平面SCD的距离． 【答案】（1） 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 因为CD＝ED，所以点在线段的中垂线上， 则， 则， 所以，， 即，， 又平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，即可得证； （2）分别求出两个平面的法向量，再利用向量法求解即可； （3）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得即为平面的一个法向量， ， 设平面的法向量， 则有，令，则，所以， 则二面角为锐二面角， 则， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）得，为平面的一个法向量， 则点A到平面SCD的距离为． 18. 记是等差数列的前项和，是等比数列，且满足，，，． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求数列的前项和； （3）求数列的前项和． （4）本题属于‘数列规律探究’求和问题.请回顾你在解决此题的求和环节中，应该注意哪几个方面？（至少列举出三条） 【答案】（1）， （2） （3） （4）①准确识别数列结构，匹配对应求和方法，如分段数列拆分奇偶项求和，等差乘等比型数列采用错位相减法； ② 计算子数列和时准确统计项数，避免项数偏差导致公式代入错误； ③ 涉及符号运算（如含的项）时逐次核对符号，避免符号错误. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出等差数列的首项和公差以及等比数列的公比和首项，然后写出和的通项公式； （2）利用分组求和，以及等差数列前项和公式，等比数列前项和公式求解即可； （3）利用错位相减法求解； （4）根据题意列举出三条即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为，由得，故，，因此， 由，得， 设等比数列公比为，则，解得，因此. 【小问2详解】 前项中，奇数项共项，为，构成首项为1、公差为4的等差数列， 和为； 偶数项共项，为，构成首项为4、公比为4的等比数列， 和为，因此 【小问3详解】 数列通项为， 则，① ，② ①②得： , 化简得：. 【小问4详解】 略. 第Ⅱ卷 提高题（共32分） 19. 已知等比数列与等差数列中，，．对于任意，中任取3个不同的元素，且这3个元素从小到大能构成一个等差数列，则称它们组成的一个符合条件的三元子集． （1）求数列与的通项公式； （2）设所有符合条件的三元子集构成集合为． （i）求集合的元素个数； （ii）设中所有三元子集的元素和的总和为，即，求． 【答案】（1），， （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）结合题意求出公差和公比，再求解通项公式即可. （2）（i）法一：对的奇偶性进行分类讨论即可；法二：对的奇偶性进行分类讨论后再对进行归纳推理；（ii）法一：记，将所有的由小到大构成数列，再计算即可；法2：对的奇偶性进行分类讨论后再对进行归纳推理. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为，则，所以， 所以． 【小问2详解】 （i）法一：对的奇偶性进行分类讨论： 是公差为的递增数列,从任取三个数， 因为为偶数，所以同为奇数或偶数，且奇偶性与项数奇偶性一致. ①当为偶数时, 设:中共有个奇数项和个偶数项.从中任取个同奇数项或个同偶数项，方法数为： . ②当为奇数时， 设 :中共有个奇数项和个偶数项. 从中任取个同奇或个同偶的数，方法数为： 综上所述：. 法二：从任取三个数构成等差数列，设该数列公差为， 则，所以为的正整倍数. ①当为偶数时, 若，中间项的项数可取共有个等差数列， 若，中间项的项数可取共有个等差数列， 若，中间项的项数可取共有个等差数列， 所以. ②当为奇数时, 若，中间项的项数可取共有个等差数列， 若，中间项的项数可取共有个等差数列， 若，中间项的项数可取共有个等差数列， 所以. 综上所述：. （ii）法一：对于任意一个等差数列，记， 将所有的由小到大构成数列，大到小构成数列，， 由对称性，得. 所以， ， 因为， 综上所述：. 法二：从任取三个数构成等差数列的和为， 当为偶数时, 若，有个等差数列，这些数列各项和为， 若，有个等差数列，这些数列各项和为 ， 若，有个等差数列，这些数列各项和为 ， 所以， 当为奇数时, 同理可得，， 综上所述：. 20. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，的单调递增区间为，递减区间为. （2） （3）由（2）取，可得不等式：， 即对任意的恒成立. 令（为正整数），得，因此：. 对不等式左右两侧累加： ，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）对求导得到导函数表达式，根据的取值分类讨论导函数的正负，以此确定单调区间； （2）由分参得到，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）利用第二问的结论，选取合适的值得到，进而得到，再对放缩后的通项求和，利用等差数列求和公式完成证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得：. 当时，在上恒成立， 因此的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，函数上递增； 时，，函数上递减， 此时函数的递增区间为，递减区间为. 综上所述，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无递减区间. 【小问2详解】 对任意的，由，可得， 令，其中， 则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2026-2027第一学期高三数学（期中） 学生学业能力调研试卷 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（118分）和第Ⅱ卷提高题（32分）两部分，含3分卷面分，满分共150分. 知 识 与 技 能 学习能力 内容 集合 简易逻辑 函数性质 三角函数 复数 导数与函数 平面向量 不等式 立体几何 关键环节 分数 5 5 15 58 5 34 5 5 15 18 第Ⅰ卷 基础题（共118分） 一、选择题: （每小题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为，则“为单调递增数列”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（ ） A. B. C. D. 6. 已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是1 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 9. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10. 若复数z满足，则______. 11. 化简____________ 12. 已知是数列的前项和，，，则________ 13. 已知，，且，则最小值为__________． 14. 如图，在菱形中，，，以为直径的半圆与交于点M，P是半圆上的动点﹐则__________；的最大值是________. 15. 已知函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______． 三、解答题：(本大题共3小题，共43分) 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，求b的值. 17. 如图所示，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，，CD＝ED． （1）求证：DE⊥平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点A到平面SCD的距离． 18. 记是等差数列的前项和，是等比数列，且满足，，，． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求数列的前项和； （3）求数列的前项和． （4）本题属于‘数列规律探究’求和问题.请回顾你在解决此题的求和环节中，应该注意哪几个方面？（至少列举出三条） 第Ⅱ卷 提高题（共32分） 19. 已知等比数列与等差数列中，，．对于任意，中任取3个不同的元素，且这3个元素从小到大能构成一个等差数列，则称它们组成的一个符合条件的三元子集． （1）求数列与的通项公式； （2）设所有符合条件的三元子集构成集合为． （i）求集合的元素个数； （ii）设中所有三元子集的元素和的总和为，即，求． 20. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $