精品解析：天津市静海区第一中学2026-2027学年高三上学期10月学业能力调研数学试题

静海一中2026-2027第一学期高三数学（10月） 学生学业能力调研试卷 命题人：李静 审题人：陈中友 本试卷分第Ⅰ卷基础题（119分）和第Ⅱ卷提高题（31分）两部分，共150分，3分卷面分. 第Ⅰ卷 基础题（共119分） 一、选择题: 每小题5分，共45分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，计算（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知向量，满足，，．则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象向右平移个单位后得到的图象 C. 在区间的最小值为 D. 在上有两个零点，两个极值点，则 9. 已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题: 每小题5分，共30分. 10. 已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的模为______． 11. 已知函数（）的相邻两个对称中心间的距离为，则___ 12. 如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定，之间的距离，测得了以下数据:，，，，则，间的距离为______. 13. 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，则的最小值是______． 14. 已知非零向量，的夹角为，.若，则_________；若对于任意的，恒成立，则_________. 15. 若对恒成立，则_______． 三、解答题：(本大题共3小题，共44分) 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 17. 已知函数，. （1）函数的单调递增区间和对称中心； （2）求函数在区间上的最大值及此时x的取值； （3）将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值. 18. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数有两个不同的零点，，求实数的取值范围； （3）证明：当时， 第Ⅱ卷 提高题（共31分） 19. （1）在直角梯形中，，，，为边上一点，，为直线上一点，求的最大值； （2）在菱形中，，，，，已知点在线段上，且． （i）求； （ii）若点为线段上一动点，求的最小值． （3）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围． 20. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2026-2027第一学期高三数学（10月） 学生学业能力调研试卷 命题人：李静 审题人：陈中友 本试卷分第Ⅰ卷基础题（119分）和第Ⅱ卷提高题（31分）两部分，共150分，3分卷面分. 第Ⅰ卷 基础题（共119分） 一、选择题: 每小题5分，共45分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2. 设，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为，故或，， 故“”推不出“，”， 若，则， 故“，”能得到“”， 故“”是“，”的必要不充分条件. 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，由，得，而， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：D 5. 已知，计算（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 6. 已知向量，满足，，．则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设与的夹角为，， 由 得 ， 因为，，所以， 因此，所以 ， 又，所以. 7. 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象向右平移个单位后得到的图象 C. 在区间的最小值为 D. 在上有两个零点，两个极值点，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据求三角函数解析式的方法可得，利用代入检验法可判断A；根据图象平移可判断B；利用换元法，结合正弦函数的图象可判断C，利用卡根法，结合正弦函数的图象列式求解可判断D. 【详解】因为，且，所以， 又因为， 则，解得， 且函数的最小正周期，且，则，可得， 则，，所以. 对于A：，故A错误； 对于B：的图象向右平移个单位后得，故B错误； 对于C：因为，则， 所以，最小值不为，故C错误； 对于D：因为，则， 若在上有两个零点，两个极值点，则， 所以，所以，故D正确. 9. 已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知研究、的性质并画出它们的大致图象，应用数形结合研究交点个数求参数范围即可. 【详解】由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而在、上单调递减，在、上单调递增， 当直线与曲线相切时，联立得， 令，得， 依题意，作出与的图象，如图所示， 由图知， ①当时，且， 函数的图象与的图象无交点，不满足题意， ②当时，且， 函数的图象与的图象仅交于点，不满足题意， ③当时，若时， 若时， 要使方程恰有2个不同的实数根，则的图象与轴的交点在点左侧，只需，， 而时有3个不同实根，时有4个不同实根， ④当时，由上函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意， ⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意， 综上，的取值范围为． 故选：D 二、填空题: 每小题5分，共30分. 10. 已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的模为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先化简复数，再求出的共轭复数，最后求解模即可. 【详解】. ，. 11. 已知函数（）的相邻两个对称中心间的距离为，则___ 【答案】 【解析】 【分析】先求出的周期，然后求解出，最后计算. 【详解】设函数的周期为. 由题意可知，，，. ，. 12. 如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定，之间的距离，测得了以下数据:，，，，则，间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接，并求出，再求，最后解，求出. 【详解】如图所示； 连接，由题知为等腰直角三角形，，. ，在中由余弦定理得， . 13. 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，则的最小值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式可得，由三角形的面积公式可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】设， ，所以，可得， ， 所以，可得， 又因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是10. 14. 已知非零向量，的夹角为，.若，则_________；若对于任意的，恒成立，则_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用向量垂直数量积为0结合代入计算求解空1，将不等式两边平方得，进而对于任意的恒成立，利用即可求解答题空2； 【详解】由，可得，则； 由两边平方可得，即， ∴对于任意的恒成立， ∴， ∴，即. ∵，∴，∴. 15. 若对恒成立，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于的正负进行讨论求解即可． 【详解】因为，所以， 当时，， 由，得， 当时，，所以， 所以当，即时，， 当时，，所以， 所以当，即时，， 由，得， 故． 三、解答题：(本大题共3小题，共44分) 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）将两边平方，得，由余弦定理可得，进而求得； （2）①由三角形面积公式，结合正弦定理可求得，代入，可得，从而得到的周长. ②根据正弦定理、同角三角函数平方关系和三角形边角关系得到，的值，利用二倍角公式和两角和的正弦公式计算得到答案. 【小问1详解】 由两边平方，得， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 ①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以，可得 ， 计算可得. 17. 已知函数，. （1）函数的单调递增区间和对称中心； （2）求函数在区间上的最大值及此时x的取值； （3）将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为；； （2）最大值为，此时x的取值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角变换公式结合正弦函数的性质可求单调递增区间和对称中心； （2）利用整体法可求函数的最值及对应的的值； （3）先根据图象变换求得，再根据两角和的余弦公式可求的值. 【小问1详解】 易知， 设， 令，解得， 因此函数的单调递增区间为； 令，可得； 因此函数的对称中心为； 【小问2详解】 根据（1）中结论可知当时，在上单调递增， 若，则； 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时； 因此函数在区间上的最大值为，此时x的取值为； 【小问3详解】 将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的（横坐标不变）可得； 再向右平移个单位得到函数； 若，可得， 所以， 又，可知，结合， 可得，因此； 所以； 即的值为. 18. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数有两个不同的零点，，求实数的取值范围； （3）证明：当时， 【答案】（1） （2） （3）当时，要证即证， 整理得即证， 设，则， 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数； 故即，取， 则即成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求切线方程； （2）求出函数的导数，就、分类讨论函数的单调性后可得函数的最大值，根据函数存在两个不同的零点可求最大值为正，再根据导数可求参数的取值范围； （3）利用同构可证题设中的不等式成立. 【小问1详解】 ，故，而， 故曲线在点处的切线方程为， 整理得切线方程为. 【小问2详解】 ， 若，则恒成立，故在上单调递增， 这与有两个不同的零点矛盾； 若，令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 因为函数有两个不同的零点，，故， 设，则， 故在上为减函数，而，故的解为， 故. 而当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，故. 【小问3详解】 略. 第Ⅱ卷 提高题（共31分） 19. （1）在直角梯形中，，，，为边上一点，，为直线上一点，求的最大值； （2）在菱形中，，，，，已知点在线段上，且． （i）求； （ii）若点为线段上一动点，求的最小值． （3）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围． 【答案】（1）最大值为； （2），最小值为； （3）求向量数量积常用方法： ①坐标法：建立平面直角坐标系，求出向量坐标，利用计算；适用范围：图形存在垂直关系，方便建系的几何图形，如直角梯形、矩形、正方形； ②基底法：选取一组不共线向量作为基底，把目标向量全部用基底表示，再展开数量积运算；适用范围：适合不方便建系，但已知一组基底的模长与夹角的图形，如菱形、平行四边形等； ③定义法：直接利用数量积定义；适用范围：已知目标向量的模长与夹角，无需向量分解． 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出直角梯形各顶点以及点坐标，写出直线方程，设点坐标，将转化为关于的二次函数，利用二次函数性质求取最大值； （2）（i）利用向量线性运算表示，由在上，设，对比系数，列方程组求解； （ii）设，表达，展开数量积得到关于的二次函数，结合求最小值． 【详解】（1）以为原点，、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 所以，，，． 设，则，， 因为，所以，解得，， 所以直线所在的直线方程为，设， 则，， 所以 ，因为为直线上一点， 所以当时，有最大值，最大值为． （2）（i）因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， （ii）因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． （3）略 20. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 【答案】（1），是的极大值点． （2） （3）证明：因为， 所以要证成立， 只要证成立， 因为，所以只要证成立， 因为，， 所以只要证成立. 记， 则，对成立， 所以在上单调递减， 当时，，所以， 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据极值点的性质得，求出，判断函数的单调性结合极值的定义判断； （2）求导，讨论函数的单调性，最值，求解的范围； （3）利用分析法将要证不等式转化为，令，记，利用导数判断单调性证明. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 因为，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. 【小问2详解】 ， 当时，，， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，不合题意. 当时，由得， 当，即时，对成立， 所以在上单调递减，所以时，合题意； 当，即时，对成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，不合题意. 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $