精品解析：天津市静海区第六中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

静海六中2025-2026学年度第一学期第二次质量监测 高三年级数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟. 注意：答卷前，考生务必将自己的班级､姓名填写在试卷左边的密封线内. 祝考生考试顺利! 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一､选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于实数，“”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下面四个命题： ①若，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，，则 其中正确命题的序号是 A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5 C. 将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变 D. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强 7. 在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ） A. 12 B. 21 C. 11 D. 31 8. 已知函数，，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称 C. 当时，的值域为 D. 当取得最值时， 9. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，且，则 离心率为 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 第II卷 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知i是虚数单位，若复数是实数，则________. 11. 在的二项展开式中，x的系数为_________． 12. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 __________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 __________. 13. 已知圆的圆心到直线的距离为1，则圆C截直线l所得弦长为________. 14. 在中，为线段上一点.，则__________；若在线段上运动，则的取值范围是__________. 15. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为________. 三､解答题：本大题共5小题，共75分. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 17. 如图，在五面体中，平面，，，，，，，，分别为，的中点，连接，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 18. 设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求的前2n项和； （3）求数列的前项和. 19. 已知椭圆 过点 ，其右焦点为 . （1）求椭圆 的方程和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，关于轴对称的点为，判断三点是否共线，并加以证明. 20. 已知函数（）. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，证明：对于任意的，，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海六中2025-2026学年度第一学期第二次质量监测 高三年级数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟. 注意：答卷前，考生务必将自己的班级､姓名填写在试卷左边的密封线内. 祝考生考试顺利! 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一､选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 对于实数，“”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出实数的取值范围，再进行充要条件的判断. 【详解】由. 由. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义和依次排除选项即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数是偶函数，其函数图象关于轴对称，故排除选项C，D；又，故排除选项B. 故选：A. 4. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下面四个命题： ①若，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，，则 其中正确命题的序号是 A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可作出判断． 【详解】对于①，若，，则平行或相交，故错误； 对于②，若，，，则平行、相交或异面，错误； 对于③，若，，则平行或异面，错误； 对于④，若，，，由面面平行性质定理可知，正确， 故选C 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养． 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】在上是增函数， ， 在R是减函数，在上是增函数， ， . 故选：D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5 C. 将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变 D. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据随机变量求解判断； B.利用百分位数定义求解判断；C.利用平均数和方差公式求解判断； D.利用相关系数越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强判断. 【详解】A.因为随机变量，所以，因为，所以，则，所以，故错误； B.数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5.5，故错误； C. 设一组数据为，则平均数为，方差为，将数据中的每一个数据加上同一个常数后为，则平均数为，方差为， ，所以将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变，故正确； D. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，故错误； 故选：C 7. 在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ） A. 12 B. 21 C. 11 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，由，求得，再由，，成等比数列，求得，得到，结合并项求和，即可求解. 【详解】在公差大于0的等差数列中，由，得，解得， 由，，成等比数列，得， 即为，而，解得， 因此数列的通项公式， 所以数列的前21项和为： . 故选：B 8. 已知函数，，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称 C. 当时，的值域为 D. 当取得最值时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据和差公式、二倍角公式对原函数进行化简，再结合三角函数的性质逐项分析即可. 【详解】. 将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，， ，解得. . 选项A：的最小正周期为，故A错误； 选项B：将的图象向右平移个单位长度后得到， 函数图象不关于轴对称，故B错误； 选项C：当时，，， 因此当时，的值域为，故C正确； 选项D：，，则，， 因此当取得最值时，，，故D错误. 故选：C. 9. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，且，则 离心率为 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，设，利用推出N为的中点，继而可得，结合直线的斜率即可推出，再结合双曲线的定义可得的关系，求得答案. 【详解】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，连接， 因为，故，设， 则，而P为的中点，则， 故，即N为的中点， 而O是的中点，故是的中位线，则， 又，故，则为等腰三角形，即得，（c为双曲线的半焦距）； 又直线的斜率为，即，则。（为锐角）， 在中，，故，即， 则， 由双曲线定义知，即得，即， 故，即双曲线E的离心率为3， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用直线的斜率结合图形的几何性质推出线段之间的关系，继而结合双曲线定义可得的关系，求得答案. 第II卷 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知i是虚数单位，若复数是实数，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算化简复数，要使是实数，令,即可得出答案. 【详解】, 若复数是实数，则，解得：. 故答案为：. 11. 在的二项展开式中，x的系数为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，即可求解x的系数． 【详解】的通项为， 令，则展开式中x的系数为， 故答案为：． 12. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 __________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 __________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式计算出甲获胜的概率，再利用独立重复试验概率公式求出甲至少获胜2次的概率. 【详解】∵一次活动中，甲获胜的概率为， 次活动中，甲至少获胜2次的概率为． 故答案为：，． 13. 已知圆的圆心到直线的距离为1，则圆C截直线l所得弦长为________. 【答案】或 【解析】 【分析】配方得圆的圆心为，半径，利用点到直线距离公式求得a值，利用勾股定理代入可得弦长. 【详解】由题意配方得，圆的圆心为， 圆心到直线l：的距离为 解得或， 当时，半径为2，所以弦长为， 当时，半径为，所以弦长为， 故答案为：2或. 14. 在中，为线段上一点.，则__________；若在线段上运动，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据三点共线的知识来求得，设，利用向量数量积运算求得的表达式，然后根据二次函数的性质来求得 【详解】依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为：； 15. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得为的一个零点，当时，即等价于，即，即等价于函数与函数有3个交点，作出相关图形，即可求解. 【详解】由题意可得有4个零点， 因为当时，，则得为的一个零点， 当时，即等价于，即， 即函数与函数有3个交点， 当时，为一次函数， 当时，，则，令，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在区间上单调递减， 当时，取到极大值为， 当时，，当时，， 从而可作出图象，如下图， 则函数与函数有3个交点时，可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 三､解答题：本大题共5小题，共75分. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可. （2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，, 可得， 因为，故，则， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （ⅰ）则， 即，解得（舍），. 故. （ⅱ）由， 得， 解得，则， 则， ， 则 . 17. 如图，在五面体中，平面，，，，，，，，分别为，的中点，连接，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：如图，以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，     由题意可得，，，，，，，，， 因为，，所以， 又，分别为，的中点， 所以，，，，四点共面， 设平面的一个法向量，，， 由，即，令，，，所以，， 易知，所以平面. （2）. （3）存在，，理由如下： 设，， 所以，则， 设平面的一个法向量， ，， 由，即， 令，，，所以， 则， 因为平面，所以，解得，所以， 设点到平面的距离为，，， 则， 所以点到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用线面垂直的向量表示可证明得出结论； （2）由线面角的向量求法计算即可求得结果； （3）设，由平面解得，再由点到面的距离公式计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以直线与平面所成角为， 直角三角形中，， . 即直线与平面所成角的大小为 【小问3详解】 略 18. 设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求的前2n项和； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得； （3）先求出数列的通项，再用错位相减法求和即可； 【小问1详解】 依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，， 又，，所以，解得或（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 【小问3详解】 ， 设， ， ， 两式相减可得， 所以. 19. 已知椭圆 过点 ，其右焦点为 . （1）求椭圆 的方程和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，关于轴对称的点为，判断三点是否共线，并加以证明. 【答案】（1）， （2） 三点共线，证明如下： 由题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为 ， 由得， 设，，则，，， ∵，， ∴ ， ∴，∴三点共线. 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，，计算的值，即可得到椭圆方程和离心率. （2）设直线方程，与椭圆方程联立，表示，，利用即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，，所以， 所以椭圆的方程为，离心率 . 【小问2详解】 略 20. 已知函数（）. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，证明：对于任意的，，有. 【答案】（1）， （2）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （3） 当时，, 对于任意的，有 因为,所以即得； 所以,进而得出 所以 所以. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． （3）先写出函数解析式，再做差化简，再结合定义域范围得出差小于零即可. 【小问1详解】 ，则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， 【小问2详解】 ，其中，函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：第二小问中，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论，分四种情况分别结合导函数的正负得出函数的单调性即可解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $