精品解析：山东省临沂市部分县区（兰山区等）2026-2027学年高二上学期11月期中学科素养水平监测数学试题

2025级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2026．11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知直线的点斜式方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系求倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则，所以 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，共面，不合题意； 对于B，，共面，不合题意； 对于C，，共面，不合题意； 对于D，假设共面， 则存在实数，使得， 则共面，与不共面矛盾，因此不共面，符合题意. 3. 已知直线的一般式方程为，则直线（ ） A. 经过点 B. 在轴上的截距为4 C. 不经过第四象限 D. 与直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程的性质以及图象的特点依次判断各选项的正误即可. 【详解】对于A，将点代入直线方程，，所以直线不经过点. 对于B，令，则，解得，故在轴上的截距为-4. 对于C，由的图像可知，直线不经过第四象限. 对于D，直线的斜率，直线的斜率，所以，所以两直线不垂直. 4. 若点与关于直线对称，则直线的斜率为（） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线是线段的垂直平分线，因此直线与直线互相垂直，二者斜率满足. 【详解】，，得， 点、关于直线对称，则直线是线段的垂直平分线， 得，即，故，即直线的斜率为 5. 已知两条平行直线：，：，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由两直线平行的系数比例关系求出参数，再将两直线的系数统一为相同值后代入平行直线间距公式，计算得距离. 【详解】两直线平行则斜率相等，的斜率为，的斜率为，因此，解得. 将代入的方程，整理得：，与的系数完全一致. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 7. 已知平面，其中点，法向量，则以下结论：①点在平面内；②点到平面的距离为；③已知点，则直线与平面所成的角为．其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①验证，则点在平面内；②用点到平面距离公式；③由线面角正弦公式求解. 【详解】①已知 ，，得，， ，故点在平面内，正确； ②，，得，法向量， 所以点到平面的距离为，正确； ③已知 ，，则. 直线与平面所成角满足，因此，错误. 8. 椭圆：（）的左、右焦点分别为，，直线经过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义及平面向量数量积公式，结合余弦定理解三角形并构造齐次式方程计算离心率即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，由直线经过点，点关于的对称点恰好在椭圆上， 得，， 由，得，而， 则，又，因此，解得， 所以椭圆的离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. 点到轴的距离为3 B. 点到坐标平面的距离为4 C. 点关于轴的对称点的坐标为 D. 若向量是向量在坐标平面上的投影向量，则 【答案】BD 【解析】 【详解】因为点，所以点到轴的距离为，故A错误； 因为点，所以点到坐标平面的距离为，故B正确； 因为点，所以点关于轴的对称点的坐标为，故C错误； 因为点，所以点在坐标平面上的投影，， 所以为在坐标平面上的投影向量，即，故D正确. 10. 已知圆：被轴，轴截得的弦长分别为，（，），则（ ） A. B. 点在圆内 C. 直线与圆没有公共点 D. 若点在直线上，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举出反例即可；对于B，根据圆的弦长公式表示，，进而得到，再利用不等式的性质得到，于是点在圆内；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的关系即可知道直线与圆公共点的个数；对于D，利用表示，再利用基本不等式求条件下的最大值即可. 【详解】对于A，取，此时，所以，不满足题意. 对于B，由题，因为 所以，所以，故点在圆内. 对于C，直线与圆的圆心的距离为 因为，所以，又因为圆半径为， 所以，即直线与圆没有公共点. 对于D，， 点在直线上，所以， 由于,因此， 由基本不等式. 当且仅当，即时等号成立. 又因为，于是，解得. 当且仅当时取等号.经验证，等号均可同时成立， 所以， 11. 如图，三棱锥中，平面，，，点在棱上，满足，点是棱上的动点，则（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 存在点，使得直线与所成的角为 D. 当，且平面与平面的夹角为时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量分点关系及已知垂直条件建立空间直角坐标系，通过数量积判定垂直关系、计算线面角和二面角，并选取具体分点检验存在性，逐项判断. 【详解】设.由题意得. 由，得. 所以，且. 因此.又垂直于平面，故两两垂直.以为原点，以的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 图中动点的位置仅作示意. 于是，.由，得. 令，则. 对于A，，故，A正确. 对于B，平面是的平面，其一个法向量为. 又.设直线与平面所成角为，则，故B错误. 对于C，取，即，该取点在线段内部.此时. 所以.设两直线所成角为，则，故，C正确. 对于D，设两平面所成角为.当时，重合，；当时，重合，，均不满足题设，故. 此时，由，且两直线相交于点并均在平面内，故垂直于平面. 因此均垂直于两平面的交线，又由，知，所以. 由题设得. 因为，所以，解得，即为的中点. 由，得.此时，所以，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 椭圆的长轴长为__________________. 【答案】 【解析】 【详解】椭圆的标准方程为. 因为，所以，故长轴长为. 13. 已知点，，，则点到直线的距离为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】先算出直线的方向向量，再借助空间向量计算即可得. 【详解】已知点，，，则，，，， 设点到直线的距离为，因为，所以. 14. 对平面上两点，，满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点，是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知圆的圆心在直线：上，并且经过和两点，则圆的标准方程为__________________；若点和点是圆的一对阿波罗点，点是圆上的动点，则__________________． 【答案】 ①. ②. ##1.2 【解析】 【分析】空一：设圆的标准方程为，进而根据题设列方程组求解即可； 空二：根据阿波罗点的定义可知三点共线，可得，设，表示出，结合为常数求解即可. 【详解】空一：设圆的标准方程为， 由题意得，解得， 则圆的标准方程为. 空二：由空一知，圆的圆心为， 因为点和点是圆的一对阿波罗点， 所以三点共线，则，即， 由点为圆上的动点，设，则，即， 则， 由题意知，，为常数， 则， 即，解得， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是四面体的棱的中点，点在棱上，且，设，，． （1）用基底表示向量； （2）若，，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量线性运算、分点公式，将用给定基底表示， （2）利用空间向量数量积分配律展开，结合模长、夹角公式代入求值即可. 【小问1详解】 是棱的中点，点在棱上，且， ，， ， . 【小问2详解】 ，， . 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先设，根据题意得到，再解方程组即可. （2）首先设，得到，从而得到，解方程得到，再求出和点到直线的距离，即可得到答案. 【详解】（1）设，因为直线与直线垂直，且点在直线上， 所以，解得，故. （2）设由题知：， 所以，解得，即. ，直线，即：. ， 点到直线的距离， 所以. 【点睛】本题主要考查直线的方程，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题. 17. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，过点作直线交椭圆于，两点，的周长为16． （1）求椭圆的方程； （2）若轴上一点满足，求实数的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）焦距为，的周长为，根据求解； （2）由题可知，设直线的方程为，，，联立方程利用韦达定理代入求解即得. 【小问1详解】 因为焦距为4，所以， 因为的周长为16，而的周长为，所以， 即，， ， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，设直线的方程为，，， 由，得， 所以，，， 因为，所以，即， 将，代入得，， 所以， 所以， 即，解得， 所以，所求实数的值为8. 18. 两个圆的公切线是指与两个圆都相切的直线．两个圆的位置关系和公切线条数有以下关系： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 已知的三个顶点分别是，，，的外接圆为圆；点在圆：上运动，线段的中点为，动点的轨迹为圆． （1）求圆的一般方程和圆的标准方程； （2）判断圆与圆公切线的条数，并求两圆公切线的方程． 【答案】（1）圆的一般方程为，圆的标准方程为． （2）圆与圆公切线的条数为2，和． 【解析】 【分析】(1) 利用待定系数法代入三点坐标求解圆的一般方程，通过中点坐标代换的相关点法推导圆的标准方程； (2) 先计算圆心距并与两半径的和、差比较，判断两圆位置关系确定公切线条数，再结合点到直线距离公式求解公切线方程. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 由题意知，，三点都在圆上， 所以，，解这个方程组，得， 所以圆的一般方程为． 设点的坐标为，则， 设线段中点的坐标为，因为， 所以，，，即，， 代入上式得，，即， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 圆与圆公切线的条数为2． 由（1）知，圆的标准方程为， 所以圆的圆心，半径；又圆的圆心，半径， 圆与圆的圆心距为，，， 因为，所以， 所以圆与圆相交，此时圆与圆公切线的条数为2． 由圆与圆的标准方程可知，两圆心到直线的距离均等于其半径， 所以圆与圆都与直线相切，直线是一条公切线． 由对称性可知，圆与圆的两条公切线的交点在直线上， 直线的方程为，即， 所以直线与直线的交点为， 点在另一条公切线上，显然其斜率存在且不为0， 设其方程为，即（）， 由，得，解得， 所以另一条公切线的方程为， 所以两圆公切线的方程为和． 19. 在长方体中，，，为棱上一动点，且（）． （1）求证：； （2）当平面时，求的值； （3）已知是正方形内切圆上的动点，记直线与平面所成的角为，当，取最小值时，求点到平面的距离． 【答案】（1）因为，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则，，， 所以，， 所以，所以 （2） （3） 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．根据得；当平面时，垂直平面的法向量；因为平面，所以为直线与平面所成的角，故. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设点，， 设平面的法向量为， 由，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量， 当平面时，，即，， 所求的值为． 【小问3详解】 因为正方形内切圆的圆心为点，半径， 已知平面，所以为直线与平面所成的角， 所以，所以当最大时，取得最小值， 结合图形可知的最大值为， 此时点的坐标为， 又，所以， 当时，由（2）知，平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2026．11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知直线的点斜式方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的一般式方程为，则直线（ ） A. 经过点 B. 在轴上的截距为4 C. 不经过第四象限 D. 与直线垂直 4. 若点与关于直线对称，则直线的斜率为（） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知两条平行直线：，：，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面，其中点，法向量，则以下结论：①点在平面内；②点到平面的距离为；③已知点，则直线与平面所成的角为．其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 椭圆：（）的左、右焦点分别为，，直线经过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. 点到轴的距离为3 B. 点到坐标平面的距离为4 C. 点关于轴的对称点的坐标为 D. 若向量是向量在坐标平面上的投影向量，则 10. 已知圆：被轴，轴截得的弦长分别为，（，），则（ ） A. B. 点在圆内 C. 直线与圆没有公共点 D. 若点在直线上，则的最大值为 11. 如图，三棱锥中，平面，，，点在棱上，满足，点是棱上的动点，则（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 存在点，使得直线与所成的角为 D. 当，且平面与平面的夹角为时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 椭圆的长轴长为__________________. 13. 已知点，，，则点到直线的距离为__________________． 14. 对平面上两点，，满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点，是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知圆的圆心在直线：上，并且经过和两点，则圆的标准方程为__________________；若点和点是圆的一对阿波罗点，点是圆上的动点，则__________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是四面体的棱的中点，点在棱上，且，设，，． （1）用基底表示向量； （2）若，，求 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 17. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，过点作直线交椭圆于，两点，的周长为16． （1）求椭圆的方程； （2）若轴上一点满足，求实数的值． 18. 两个圆的公切线是指与两个圆都相切的直线．两个圆的位置关系和公切线条数有以下关系： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 已知的三个顶点分别是，，，的外接圆为圆；点在圆：上运动，线段的中点为，动点的轨迹为圆． （1）求圆的一般方程和圆的标准方程； （2）判断圆与圆公切线的条数，并求两圆公切线的方程． 19. 在长方体中，，，为棱上一动点，且（）． （1）求证：； （2）当平面时，求的值； （3）已知是正方形内切圆上的动点，记直线与平面所成的角为，当，取最小值时，求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $