精品解析：山东省临沂市莒南县2025-2026学年高二上学期期中学业质量检测数学试题

2025-2026学年度上学期期中学业质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2. 如果直线与直线平行，那么a等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，列出关于a的方程，即可求得答案. 【详解】由于直线与直线平行， 故可得且， 解得， 故选：A 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（ ） A. B. C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题意可知， 如图： ， 即的周长为12， 故选：D 4. 在四面体中，点G是的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理求解. 【详解】如图所示： 取AC的中点H，则， 又， 所以， 故选：C 5. 已知圆与圆，则两圆（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆方程可得圆心和半径，根据圆心距和两圆半径之间关系可得结果. 【详解】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径； 圆心距，两圆外离. 故选：D. 6. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得：，再根据数量积的运算公式进行求解即可. 【详解】由于，可得：，即， 解得：. 故选：B 7. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 8. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若为钝角，则m的取值范围为 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的模的坐标运算来判断A，空间单位向量的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【详解】由，，可得，故A错误； 由的单位向量是，故B错误； 由为钝角，则， 又当， 所以为钝角，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出不共面，故能构成空间的一个基底，B错误，ACD选项向量均共面，不可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， 对于A选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 则，所以为共面向量， 故不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，无解，故不共面，故可构成空间的一个基底，故B错误； 对于C选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故故不能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故故不能构成空间的一个基底，故D正确. 故选：ACD. 10. 对于直线，下列说法中正确的是（ ） A. 的倾斜角可以为 B. 时，不经过第二象限 C. 的一个方向向量为时， D. 直线恒过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】对于：根据直线方程的一般式，计算出斜率的值，可得斜率一定存在；对于：先求出直线恒过定点，再根据斜率的正负判断直线经过的象限；对于：根据方向向量可求出直线的斜率，即可得出的值；对于：整理直线的一般式方程，令含有的式子为零，即可求出直线恒过的定点； 【详解】对于：直线：，斜率，所以斜率肯定存在，所以倾斜角不可能是，故选项错误； 对于：可化简为：，所以直线恒过定点，时，斜率，所以直线经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选项正确； 对于：l的一个方向向量为时，斜率，又，所以，故选项错误； 对于：可化简为：，所以直线恒过定点，故选项正确； 故选：. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（    ） A. 的方程为 B. C. 的面积随周长变大而变大 D. 直线和的斜率乘积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由椭圆的离心率求解；B由椭圆的对称性知：，从而，借助基本不等式可得的最小值；表示出周长和面积分析可得；D设，则，，由点 在椭圆上，即可化得的值. 【详解】由题易知，解得，故椭圆方程为，故A正确； 连接，由椭圆对称性知为平行四边形， ， ， 当且仅当，时等号成立，故正确； 对C：由B知：， 设，则， 的面积为， 由对称性，不妨设在第一象限及正半轴上， 故随的增大而减小，的面积为随的增大而增大， 即的面积随周长变大而变小，C错误； 对D：设，则， 又，所以， 点 在椭圆上，结合C，， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先将直线化为，再由两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由直线，可得：， 所以平行直线与直线的距离. 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的坐标公式直接计算求解即可. 【详解】由题意可得，又平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为， 故答案为： 14. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】就直线与阴影部分的边界在轴上下两部分分别有两个公共点分类讨论可得的取值范围. 【详解】 阴影部分在第一象限内的边界曲线方程为， 若直线与在轴上方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点， 则，解得， 若直线与在轴下方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点， 则即， 当时，直线，此时与阴影部分的边界有两个不同的交点， 两个交点为符合； 综上，， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程． （2）求直线：关于直线：对称的直线的方程． （3）求过三点，，的圆的一般式方程． 【答案】（1）或.（2）．（3） 【解析】 【分析】（1）分析直线过原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. （3）利用三点坐标可根据待定系数法求解圆方程. 【详解】（1）若直线过坐标原点，则，直线的方程为，即， 此时横纵截距都等于0，满足题意； 若直线不过坐标原点，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为. 综上，此直线的方程为或. （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即. （3）设所求圆的方程为，其中， 因为圆过三点，，， 所以，解得， 故所求圆的方程为． 16. 如图，在平行六面体中，且. （1）求的长度； （2）求证：平面. 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 所以，同理可证， 又因为平面． 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用基底表示，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【小问1详解】 设， 由于，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； 【小问2详解】 略 17. 已知动点P在直线上，动点Q在圆上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为． （1）判断直线l与圆C的位置关系； （2）求的最小值及的最大值； （3）证明直线过定点． 【答案】（1）直线与圆相离， （2）,的最大值为 （3）证明：设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由， 解得，即直线过定点， 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离与半径的关系即可求解； （2）由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值； （3）根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程求解定点. 【小问1详解】 圆的圆心，半径，连接， 点到直线的距离， 直线与圆相离， 【小问2详解】 点在圆上，则， 由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为. 【小问3详解】 略 18. 如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点. （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 取上的中点，连接，. ，分别是和的中点，且. 又，且， 四边形是平行四边形，. 平面，平面.平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得平面且， 因此以点为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题易知，平面，所以为平面的法向量. 设平面的法向量为，根据所建立的空间直角坐标系， 可知，，， 有，. 令，则，， 即平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则有. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 【答案】（1）这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为； （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相似椭圆”的定义判断即可； （2）根据充要条件的定义及“相似椭圆”的定义证明即可； （3）由题意可求得的面积为，再根据的面积与的面积的比为，求解即可. 【小问1详解】 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解“相似椭圆”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中学业质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 2. 如果直线与直线平行，那么a等于（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（ ） A. B. C. 9 D. 12 4. 在四面体中，点G是的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆，则两圆（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 6. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若为钝角，则m的取值范围为 D. 若在上的投影向量为，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于直线，下列说法中正确的是（ ） A. 的倾斜角可以为 B. 时，不经过第二象限 C. 的一个方向向量为时， D. 直线恒过定点 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（    ） A. 的方程为 B. C. 的面积随周长变大而变大 D. 直线和的斜率乘积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是________． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________． 14. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程． （2）求直线：关于直线：对称的直线的方程． （3）求过三点，，的圆的一般式方程． 16. 如图，在平行六面体中，且. （1）求的长度； （2）求证：平面. 17. 已知动点P在直线上，动点Q在圆上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为． （1）判断直线l与圆C的位置关系； （2）求的最小值及的最大值； （3）证明直线过定点． 18. 如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点. （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $