精品解析：河南南阳市2026-2027学年第一学期高一期中质量评估数学试题

2026年秋期高中一年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. 所有的矩形都是平行四边形 C. ，都有平方根 D. ，使 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：是全称量词命题，但是是素数，不是奇数，故A错； 选项B：是全称量词命题，矩形的定义就是有一个角是直角的平行四边形， 所以所有矩形都是平行四边形，故B对； 选项C：是全称量词命题，负数没有平方根，比如，没有平方根，故C错； 选项D：是存在量词命题，故D错． 3. 的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：因为不能推出，例如， 所以不是的一个充分条件，故A错误； 对于B：因为不能推出，例如， 所以不是的一个充分条件，故B错误； 对于C：因为不能推出，例如， 所以不是的一个充分条件，故C错误； 对于D：因为可以推出， 所以是的一个充分条件，故D正确. 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. 13 B. C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根中间的关系可知的两个根为或，再利用根与系数的关系可确定，的取值． 【详解】不等式的解集为， 则，且的两个根为或， 则有，，则，， ． 故选：B 5. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象的特征，利用函数的奇偶性、特殊值进行排除即可求解. 【详解】对于B，记，则， 故不为偶函数，其图象不关于轴对称，不符合题意，故B错误； 对于C，时，，故C错误； 对于D，记，则， 故不为偶函数，其图象不关于轴对称，不符合题意，故D错误； 对于A，记，则， 故为偶函数，其图象关于轴对称， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，且，故A符合题意. 6. 某工厂要建一个长方体无盖蓄水池，其容积为，深为．如果该池底的造价为200元，池壁的造价为100元，则该蓄水池的最低造价为（ ） A. 36.8万元 B. 36.6万元 C. 36.4万元 D. 36.2万元 【答案】A 【解析】 【分析】设池底的长为，求解宽，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价关系式，再结合基本不等关系求得最小值. 【详解】设池底长为米，则池底的宽为米，池底总造价：元， 池壁总面积为四周侧面积：， 则池壁总造价为， 则总造价为， 所以由基本不等式可得， 所以该蓄水池的最低造价为36.8万元. 7. 已知函数，若，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知为上的增函数，故两段分别递增，且第一段的最大值小于等于第二段的最小值. 【详解】∵，，都有成立， ∴为上的增函数. ∴，解得. ∴实数a的取值范围为. 8. 设是定义在上的单调函数，且，，则函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用单调函数及条件推出，为正常数，根据确定的值，再利用函数的单调性即可求出该函数在给定区间上的值域. 【详解】因是定义在上的单调函数，且，， 则可设，为正常数，则， 由可得，解得或，因，则. 则，易得该函数是定义在上的减函数， 故在上也为减函数， 故当时，； 当时，， 故函数在区间上的值域为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 若函数，则 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数是定义域上的减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，同一函数必须具有相同的定义域、值域以及对应法则，依此判断即可. 对于B，由特殊值法计算即可；对于C，根据复合函数的定义域求解即可；对于D，由函数的性质判断即可. 【详解】对于A，定义域为，定义域为，故不是同一函数，A错误； 对于B，令，则，B正确； 对于C，的定义域为，所以， 所以，，所以函数的定义域为，C正确； 对于D，在上单调减，而在定义域上不单调，D错误. 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查基本不等式，要注意“一正二定三相等”，对于A，若，，则；对于B，利用“1”的妙用，；对于C，利用“1”的妙用，；对于D，利用. 【详解】对于A，若，，，则（当且仅当时取等号），正确； 对于B，若，，，则（当且仅当时即取等号），错误； 对于C，若，，，则（当且仅当时即取等号），正确； 对于D，若，，，则即（当且仅当时取等号），正确. 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”．特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”．则下列结论正确的是（ ） A. 若为函数的“完美区间”，则 B. 函数有无数个“3倍美好区间” C. 函数不存在“完美区间” D. 若函数存在“完美区间”，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断二次函数在递增，由完美区间定义得，解方程求出b验证，判断选项A；单调递增，对任意，值域自动是，有无穷多3 倍美好区间，判断选项B；单调递增函数若存在完美区间等价于有两不等实根，找到两个根，故存在完美区间，判断选项C；函数单调递减，列方程组作差换元，转化为关于u的二次函数，结合定义域求m的取值范围，判断选项D． 【详解】，对称轴为，在区间上单调递增， “完美区间”要求值域为，最小值，最大值， 代入方程得，解得（舍去）或，故A正确； 是严格单调递增函数，对任意，定义域为时，值域为， 恰好符合“3倍美好区间”的定义，故B正确； 严格单调递增，若存在完美区间，则， 则有两个不同实根， 令，，即是方程的两个根， 故是的完美区间，故C错误； 在上严格单调递减，若存在完美区间，则 ， 两式相减得， 由得，化简得， 令，则，故， 则， 函数在上单调递减， 时，；时，，故，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 【答案】3 【解析】 【详解】由条件可得，解得. 13. 已知幂函数在上单调递减，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求得或，结合函数的单调性确定的值. 【详解】由为幂函数，可得，解得或. 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意. 故. 14. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别考虑不等式等于零与大于零的情况，结合函数的奇偶性与单调性判断不等式中两式乘积的正负，进而建立不等关系得到解集. 【详解】先考虑等于0的情况： 当，即时，满足题意. 当时，由题意知为定义在上的奇函数，所以，又在为减函数，在为增函数，结合， 所以有且仅有三个零点. 所以或或，于是. 再考虑大于0的情况： 当，即时，此时需保证， 因为，所以. 由奇函数，，所以. 于是不等式化为，因为为定义在上的奇函数， 且在为增函数，所以在为增函数，所以， 解得，与前提矛盾，故舍去. 当，即时，此时需保证， 此时结合奇偶性与单调性有或，解得. 综上所述，不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算法则即可求解； （2）由对数的运算法则即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将集合化简，然后进行集合运算； （2）根据题意，将条件转化为集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果． 【小问1详解】 当a=0时， 或 解不等式得集合， 所以或 【小问2详解】 由是的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 当即时，，符合， 当时，则，二三式等号不能同时取到， 解得：， 综上：实数的取值范围是. 17. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若当时，不等式能成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知函数的定义域为，进而根据求得并检验成立即可； （2）先判断函数的单调性，进而结合函数单调性转化为对于能成立，再结合对勾函数性质，分离参数求解即可. 【小问1详解】 因为，所以函数的定义域为，又函数是奇函数， 所以，所以，此时， 此时，满足题意； 所以，． 【小问2详解】 由（1）可知， 因为函数在上单调递增，在上单调递增 所以，是上的增函数． 当时，不等式能成立， 即对于能成立， 所以，对于能成立， 设，由对勾函数性质知：函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是． 18. 已知函数 （1）若，求不等式的解集; （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式； （2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值． 【小问1详解】 若，则， 所以，即，所以， 所以或，解得或， 即不等式的解集为． 【小问2详解】 若，即，解得． 所以， 令，所以． 当，即时，在上单调递增， 所以，即． 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即． 综上，． 19. 函数对任意实数，恒有，且当时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式． 【答案】（1）函数为奇函数，证明如下： 由题意，函数对任意实数，恒有， 令得，解得：． 取，则由得， ，即， 函数是奇函数； （2）任取，，且，则， 当时，，∴， 由得， ， ， 是上的减函数． （3）当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解； （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法、分类讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 由得， 则， 不等式可化为， 是上的减函数， ，即 ①． （i）当时，不等式①式即为，解得：， 即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为， 即， 若，上式不等式即为，解得：， 即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为， 即， 此时，原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期高中一年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. 所有的矩形都是平行四边形 C. ，都有平方根 D. ，使 3. 的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. 13 B. C. 11 D. 5. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂要建一个长方体无盖蓄水池，其容积为，深为．如果该池底的造价为200元，池壁的造价为100元，则该蓄水池的最低造价为（ ） A. 36.8万元 B. 36.6万元 C. 36.4万元 D. 36.2万元 7. 已知函数，若，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的单调函数，且，，则函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 若函数，则 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数是定义域上的减函数 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”．特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”．则下列结论正确的是（ ） A. 若为函数的“完美区间”，则 B. 函数有无数个“3倍美好区间” C. 函数不存在“完美区间” D. 若函数存在“完美区间”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 13. 已知幂函数在上单调递减，则实数__________． 14. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2） 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若当时，不等式能成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数 （1）若，求不等式的解集; （2）若，求的最小值. 19. 函数对任意实数，恒有，且当时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $