精品解析：四川省成都市第七中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

2026—2027学年度上期高2027届期中试卷数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得，所以． 又，故， 因此． 3. 样本数据120，150，180，200，220，250，300，350的第一四分位数为（ ） A. 150 B. 165 C. 180 D. 200 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知共个数据，则， 所以第一四分位数即第百分位数是第二个数和第三个数的平均数，即. 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，化简得， 可得，即. 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二项式定理，展开式中项为，项为． 在的展开式中，项由与相加得到，故的系数为． 6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为3，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，设正四棱台的下底面为正方形，上底面为正方形，两底面中心分别为、，过作平面，垂足为． 由正四棱台的性质，、、依次在同一条射线上，且，，所以． 在直角三角形中，，故四棱台的高． 上、下底面的面积分别为、，由台体体积公式得． 7. 为得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 横坐标先缩短为原来的倍，再右移个单位 B. 先右移个单位，横坐标再缩短为原来的倍 C. 横坐标先伸长为原来的倍，再左移个单位 D. 先左移个单位，横坐标再伸长为原来的倍 【答案】D 【解析】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象． 8. 已知圆与圆，过x轴上点P作两条垂直直线分别与圆和圆相切，满足条件的P点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程的定义，设出直线方程，根据圆切线的性质和点到直线的距离，列出方程组，求出解的个数即可. 【详解】设点，则当过点的直线有一条斜率不存在时，另一条直线方程为，不符合题意， 设两条直线方程分别为，即， 两圆圆心分别为，半径都为，不妨设圆与相切，圆与相切，可得， 由可得，化简得， 由得，化简得， 得，化简得，解得， 可知，所以有个解，即满足条件的P点个数为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，下列说法正确的有（ ） A. 到抛物线准线的距离为 B. 设，则 C. 若，则 D. 若，则线段中点横坐标为 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意得抛物线，则准线为，焦点，所以到抛物线准线的距离为，所以A错误； 抛物线顶点为，则抛物线上点到的距离最小为，即，所以B正确； 可知，则，所以，所以C错误； 可知准线为，由得，即，所以线段中点横坐标为，所以D正确； 10. 在中，、、分别为内角、、所对边，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理由边化角，再根据正弦两角和的公式，求出，根据三角形内角范围，判断结果，判断选项A的正误；根据余弦定理由角化边，再根据参数的范围，判断代数式大小，进而判断选项B正误；根据正弦定理由边化角，代入角，根据诱导公式和同角三角函数关系，判断选项C的正误；根据正弦定理由边化角，代入角，对方程进行化简，再根据同角三角函数关系，判断选项D的正误. 【详解】对于选项A，当时，，即， 可得，化简得， 因为、，所以，，所以，即，所以选项A正确； 对于选项B，由题可得，化简得，变形得， 因为，所以，所以，所以选项B错误； 对于选项C，当时，由得， 所以，则，即，所以选项C正确； 对于选项D，当时，可得， 由可得，化简得， 即，所以选项D正确. 11. 已知偶函数的导函数为，和均定义在上，且，则一定有（ ） A. 是奇函数 B. C. 存在极值 D. 存在最值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数求导公式，判断导函数的性质，进而判断选项A的正误；根据函数对称中心和对称轴，判断函数周期，进而判断选项B的正误；列举一个反例，说明函数符合条件，没有极值，从而判断选项C正误；构造函数，根据的周期，推到函数的周期，根据为偶函数，判断选项D的正误. 【详解】对于选项A，可知，求导得，即为奇函数，所以选项A正确； 对于选项B，因为，，所以，则， 函数周期，所以，由可得，所以，所以选项B正确； 对于选项C，若为常函数，则，符合条件，函数没有极值， 所以选项C错误； 对于选项D，令，则， 即函数为常函数，设，则， 令，则，即，所以，即， 即函数周期也是，且是偶函数，即函数在上不单调，则在上有最值，所以选项D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为等差数列的前项和，若，，则________． 【答案】7 【解析】 【详解】设等差数列公差为，可得，解得. 13. 设，是双曲线的左、右焦点，点在上，且有，则________． 【答案】2或6 【解析】 【详解】可知，即，可知，即，解得或6. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】把零点个数转化为方程解的个数,先分离出,再研究右边函数的单调性与最大值,按的取值讨论解的个数. 【详解】由得. 因为,,,所以. 记,.,当时, 所以在上单调递增,且，. 设,则. 当时,,且,,所以； 当时,,所以.所以在上单调递增,在上单调递减,最大值为. 又当时,;当时,. 所以当时,方程无解； 当时,方程只有一个解； 当时,方程有两个解； 当时,此时,而在上, 故解只能在上取得,又在上单调递增,所以方程只有一个解. 因为，等号仅在时成立, 所以当且时,,方程有两个解； 当时,,方程只有一个解； 当时,,方程也只有一个解. 所以实数的取值范围为且. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念和离心率的概念，列出方程，求出参数，写出标准方程即可； （2）根据椭圆弦长公式，联立方程组，根据韦达定理求出结果即可. 【小问1详解】 由题设知，， 解得，，即椭圆的方程为 【小问2详解】 联立与，消去，可得， 其中， 而， 解得，满足，故． 16. 如图，在三棱锥中，，． （1）若，证明：平面平面； （2）设二面角的大小为． ①用表示； ②若，求与平面所成线面角的正弦值． 【答案】（1）因为，，、平面，且， 所以平面， 又平面， 所以平面平面 （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，由线面垂直证明面面垂直即可； （2）①建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而求出即可； ②根据线面角的向量方法，求出直线方向向量和平面法向量，进而求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以、为轴、轴正方向，轴垂直平面， 建立空间直角坐标系，如下图示， ①由，， 可得； ②设平面的法向量为，， 由，有， 有即，取，则， 设与平面所成线面角的大小为，， 则． 17. 已知数列满足. （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）记，对任意，恒有成立，求正整数的最小值． 【答案】（1）由题设知当时，， 即，当时，， 故是以为首项、为公比的等比数列， 则有，即 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，由数列的递推公式证明数列为等比数列即可，再根据等比数列通项公式写出结果. （2）根据数列的前项和，求出最大值，进而判断参数的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 一方面，由且，可知； 另一方面， 则有， 故正整数的最小值为2． 18. 某供应商向工厂供应精密零件，每箱10件．按产线不同，到货的箱子分为两类：A类箱每箱恰有1件次品，B类箱每箱恰有3件次品．长期统计表明：到货的一箱来自A类的概率为，来自B类的概率为． （1）检验员从到货的一箱中随机抽取1件零件检验，若抽到的是次品，求该箱为B类箱的概率； （2）现已知检验的一箱为B类箱，检验员从这箱10件零件中不放回地随机抽取5件逐一检验，设抽到的次品件数为，求的分布列和期望； （3）现已知检验的一箱为B类箱，在第（2）问抽检方案中，检出的每一件次品都需更换1个专用配件进行返修．车间当天事先准备了个该配件（）：若次品件数，缺货部分需紧急调货，每个额外支出元（）；若，剩余配件作报废处理，每个损失200元．以总损失（紧急调货支出与报废损失之和）的期望为决策依据，若当天最优备货量为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式，求出抽到一件时次品的概率，再根据条件概率公式求出结果即可； （2）根据超几何分布，求出分布列，进而求出数学期望； （3）根据题目定义，列出不等式，进而求出结果. 【小问1详解】 设“到货的一箱为A类箱”为事件A，“为B类箱”为事件B，“抽到的1件是次品”为事件C. 由全概率公式：， “抽到次品”发生的条件下，该箱为B类箱，由条件概率： 【小问2详解】 X服从超几何分布，可能取值为0，1，2，3， ，， ， 分布列为 X 0 1 2 3 P . 【小问3详解】 记总损失为，按期望的定义，逐一求出三个方案的总损失期望： ， ， ． “最优备货量为”即“时的期望损失严格小于其余两个方案”， 可得，即，解得． 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）求证：当时，； （3）证明：． 【答案】（1）​ （2）令，其中，则在时成立，所以，即． 由，得． 当时，令，则，由二倍角公式、 得， 展开得， 利用，将改写为， 得， 再由，得． 因为，且、， 所以，从而在上单调递减， 故． （3）对任意正整数，令，其中，并记． 由于，由（2）得，两边乘以，得． 利用，得． 为估计的上界，先证明在时成立． 令，当时，，所以，即． 当时，，故． 令，当时，，所以，即． 取，由于，得． 当时，． 当时，对，有， 所以． 综上，． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出导函数后代入． （2）先用一阶导数证明，再利用半角代换及二倍角公式判断的符号，由单调性比较与． （3）由（2）代入证明各差项为正；结合半角公式和一阶导数证明，将各差项放缩为，单独处理首项，再裂项相消求得上界． 【小问1详解】 由题设得，所以，故曲线在处的切线斜率为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上期高2027届期中试卷数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据120，150，180，200，220，250，300，350的第一四分位数为（ ） A. 150 B. 165 C. 180 D. 200 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为3，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 为得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 横坐标先缩短为原来的倍，再右移个单位 B. 先右移个单位，横坐标再缩短为原来的倍 C. 横坐标先伸长为原来的倍，再左移个单位 D. 先左移个单位，横坐标再伸长为原来的倍 8. 已知圆与圆，过x轴上点P作两条垂直直线分别与圆和圆相切，满足条件的P点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，下列说法正确的有（ ） A. 到抛物线准线的距离为 B. 设，则 C. 若，则 D. 若，则线段中点横坐标为 10. 在中，、、分别为内角、、所对边，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知偶函数的导函数为，和均定义在上，且，则一定有（ ） A. 是奇函数 B. C. 存在极值 D. 存在最值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为等差数列的前项和，若，，则________． 13. 设，是双曲线的左、右焦点，点在上，且有，则________． 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 16. 如图，在三棱锥中，，． （1）若，证明：平面平面； （2）设二面角的大小为． ①用表示； ②若，求与平面所成线面角的正弦值． 17. 已知数列满足. （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）记，对任意，恒有成立，求正整数的最小值． 18. 某供应商向工厂供应精密零件，每箱10件．按产线不同，到货的箱子分为两类：A类箱每箱恰有1件次品，B类箱每箱恰有3件次品．长期统计表明：到货的一箱来自A类的概率为，来自B类的概率为． （1）检验员从到货的一箱中随机抽取1件零件检验，若抽到的是次品，求该箱为B类箱的概率； （2）现已知检验的一箱为B类箱，检验员从这箱10件零件中不放回地随机抽取5件逐一检验，设抽到的次品件数为，求的分布列和期望； （3）现已知检验的一箱为B类箱，在第（2）问抽检方案中，检出的每一件次品都需更换1个专用配件进行返修．车间当天事先准备了个该配件（）：若次品件数，缺货部分需紧急调货，每个额外支出元（）；若，剩余配件作报废处理，每个损失200元．以总损失（紧急调货支出与报废损失之和）的期望为决策依据，若当天最优备货量为，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）求证：当时，； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $