精品解析：四川省成都市蓉城联盟2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

高三年级 数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点与极小值点的和为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，，则四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列是摆动数列，且，，数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 成都市望江楼公园内的望江楼气势恢宏，传承悠久，将建筑美体现得淋漓尽致.为测量望江楼的高，如图，在与它底部位于同一高度的共线三点处分别测得顶点的仰角为，，，且，则望江楼的高约等于（ ）（） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意，任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的单调递减区间为 D. 若函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为 11. 在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 若为棱上的动点，则的最小值为 C. 若平面与正方体的六个面的夹角相等且为，则 D. 在该正方体内放置两个半径相等的球，则这两个球的半径的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________. 13. 现代数学的开端始于19世纪70年代康托尔集合论的诞生，数学研究转向一般化结构，公理化，无穷理论，抽象空间.在高中数学中，函数通常定义为两个非空数集之间的一种特殊对应关系，已知集合，，则从集合到集合的不同函数有__________个. 14. 将数列与中的相同项按从小到大排列构成数列，则数列的前20项和为______.（） 四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为，且过点. （1）求； （2）直线过点与该抛物线交于两点，且的中点为，求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 在单调递增的等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若对任意正整数都成立，求实数的取值范围； （3）若，，当为偶数时，求数列的前项和. 18. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求角； （2）若，求的取值范围； （3）若，，点在的内部，且，，求的长. 19. 已知函数. （1）求函数在区间上的最大值； （2）证明：存在唯一的实数使得； （3）函数，且，，当，时，比较与的大小关系并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级 数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合， ， 所以. 2. 已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的概念以及复数的乘法化简可得结果. 【详解】由已知可得，则，故. 故选：C. 3. 函数的零点与极小值点的和为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】，故当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故的极小值点为，又，故的零点为， 故函数的零点与极小值点的和为. 4. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，，得，得， 所求向量为 5. 设，，，，则四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意得，，，， 所以四个数中最大的是． 6. 已知等比数列是摆动数列，且，，数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由等比数列是摆动数列， 则设数列的公比为，且， 则，解得， 所以． 7. 成都市望江楼公园内的望江楼气势恢宏，传承悠久，将建筑美体现得淋漓尽致.为测量望江楼的高，如图，在与它底部位于同一高度的共线三点处分别测得顶点的仰角为，，，且，则望江楼的高约等于（ ）（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用及余弦定理即可. 【详解】设，则， 由，得， 解得. 8. 已知函数，对任意，任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于恒成立，构造函数，利用导数证明符合题意，验证不符合题意即可. 【详解】（在时取等号）， 故只需保证函数恒成立， 时，不等式恒成立， 时，原不等式等价于恒成立， 设,则， 当时，,在上递增，, 即对任意恒成立，所以符合题意， 当时，时,在上递减，此时, 此时,所以不符合题意， 综上，的取值范围为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：，函数为奇函数，正确. 选项B：函数的定义域为且关于原点对称，，函数为奇函数，正确. 选项C：，函数为偶函数，错误. 选项D：，，函数为偶函数，错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的单调递减区间为 D. 若函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦型函数的周期求法，求得函数的最小正周期，判断A；求的值，判断B；根据余弦函数的单调性求得的单调区间，判断C；列出实数满足的条件，求解可得实数的取值范围，判断D. 【详解】选项A：函数的最小正周期为，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：由， 得 ， 所以函数的单调递减区间为，故C错误； 选项D：令，得， 所以，而, 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以若函数在区间上恰有5个零点， 则，故D正确. 11. 在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 若为棱上的动点，则的最小值为 C. 若平面与正方体的六个面的夹角相等且为，则 D. 在该正方体内放置两个半径相等的球，则这两个球的半径的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，对于A，利用可证明；对于B，将平面沿棱翻折到与平面重合，利用两点的直线距离最小即可；对于C，利用向量法求平面与正方体的六个面的夹角余弦值，从余弦值相等得到平面的法向量各个坐标的关系，再代入余弦值公式即可；对于D，利用最大球的球心在正方体对角线上，可设球心坐标，利用坐标求两球心距离及两球外切即可求球的半径. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 对于A，，则， 所以，异面直线与所成的角为，故A正确； 对于B，将平面沿棱翻折到与平面重合， 当三点共线时最小，最小值为，故B错误； 对于C，正方体六个面分成三组对面，其法向量方向分别为 设平面的法向量为， 因为平面与正方体的六个面的夹角相等且为， 所以， 则，所以，故C正确； 对于D，设两球半径均为，要使半径最大，两球心应沿同一条体对角线对称放置，且两球外切. 靠近顶点的球与相邻三个面相切球心到这三个面的距离均为，故 靠近对角顶点的球心为 所以 解得故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】， ， 两式相加得：，所以. 13. 现代数学的开端始于19世纪70年代康托尔集合论的诞生，数学研究转向一般化结构，公理化，无穷理论，抽象空间.在高中数学中，函数通常定义为两个非空数集之间的一种特殊对应关系，已知集合，，则从集合到集合的不同函数有__________个. 【答案】9 【解析】 【分析】根据函数的定义进行求解即可. 【详解】中元素1有3种对应方法，元素2有3种对应方法，共有9种对应方法. 14. 将数列与中的相同项按从小到大排列构成数列，则数列的前20项和为______.（） 【答案】650 【解析】 【分析】根据题意，，将问题转化为求解该不定方程的正整数解，对等式变形得到，结合是正整数，可知需能被7整除，由此对进行讨论，进而确定满足条件的的取值后，求出，再利用等差数列求和公式计算该和即可. 【详解】令，， 令数列中的第项与数列中的第项相等，， 即， 令，则， 而，其中为的整数倍， 故，除以的余数为，因此不是正整数，不符合题意； 令，则， 此时除以可以整除，符合题意； 令，则， 此时，除以的余数为，因此不是正整数，不符合题意； 综上， 故数列与中的相同项按从小到大排列构成数列为， 故，故其前项和为. 四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为，且过点. （1）求； （2）直线过点与该抛物线交于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】（1）5 （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知点求出抛物线的方程，根据抛物线定义得到结果； （2）联立方程组，根据韦达定理及中点纵坐标的关系求出参数值，得到直线方程. 【小问1详解】 由抛物线过点， 得， 抛物线的方程为， 抛物线的焦点为， ； 【小问2详解】 由题意得直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 由，消去得， 恒成立， ，，满足， 故直线的方程为即. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）平面平面， ， ， 在中，由余弦定理得， ， ， 平面平面， 平面； （2）. 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 令， 则， ， ， 二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 17. 在单调递增的等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若对任意正整数都成立，求实数的取值范围； （3）若，，当为偶数时，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）为偶数. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式代入即可； （2）利用错位相减法求出，再利用单调性即可； （3）利用等差数列与等比数列求和公式，分组求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ， ， ，， ； 【小问2详解】 设， 则， 两式相减得， ，， 为单调递增数列，当时，，， 故实数的取值范围为； 【小问3详解】 ，当为偶数时， 故当为偶数时，. 18. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求角； （2）若，求的取值范围； （3）若，，点在的内部，且，，求的长. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再根据余弦定理求出角； （2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换得出三角形外接圆半径的值，利用三角函数性质得到的取值范围； （3）由余弦定理得出和，设，分别在三角形和中表示出，联立等式求出，最后得出的值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得为外接圆半径， 因为， 所以， 所以， 由余弦定理得， 又因为， 所以； 【小问2详解】 因为，又， 所以， 因为 又因为， 所以， 所以， 所以， 故的取值范围为； 【小问3详解】 由余弦定理得， 所以， 设，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 故的长为. 19. 已知函数. （1）求函数在区间上的最大值； （2）证明：存在唯一的实数使得； （3）函数，且，，当，时，比较与的大小关系并说明理由. 【答案】（1）； （2）证明： 令， 当时，， 在区间上单调递减， ，由零点存在性定理得： 使得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，， 故当时，无实数根， 当时，，由零点存在性定理得： 存在唯一的实数使得， 综上，存在唯一的实数使得； （3）函数的图象 关于直线对称的图象的函数解析式为： 设， 由（2）知，当时，， 当时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，， 当时，， 当时，，由零点存在性定理得： 存在唯一的实数，使得， 与的图象关于直线对称， ，， ， 【解析】 【分析】（1）直接对求导即可得到的正负，即可判断的单调性； （2）首先利用判断在的单调性，再利用隐零点思想与零点存在定理即可； （3）首先求出函数关于直线对称的图象的函数解析式，再令，研究在的单调性与符号，再结合零点存在定理即可. 【小问1详解】 ，又， ，， 函数在区间上单调递减， 故； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $