精品解析：湖北襄阳市鄂北六校2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

2026—2027学年上学期11月份高三数学学科素养检测题 时间：120（分钟）分数：150（分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若是和的等比中项，则 （     ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由等比中项的定义，是和的等比中项， 则，解得. 2. 已知集合（其中是虚数单位），集合，则 （     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，，所以，又， . 3. 复数的共轭复数是 （     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，所以， 所以. 4. 已知，若，且，则的值为 （     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，得， 因为，所以 5. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值是 （     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的对称中心：，， 令，， 则，， ， 当时：， 当时：（舍去）， . 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且的面积为，是的中点，则 （     ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由同角三角函数关系求出角的正弦、余弦值，结合三角形面积公式求出边的长度，再在中利用余弦定理计算中线的长度. 【详解】因为为的内角，即，由，可知为锐角， 又由，结合，联立解得： ，. 因为，， 代入得： ， 解得，即. 因为是的中点，即， 在中，由余弦定理： ， 即， 故. 7. 若正数，满足且，则下列不等式一定成立的是 （     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，所以，令，利用导数得当时单调递增；当时单调递减，且当时，当时，时，从而求解. 【详解】因为，所以，即， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减，且最大值为， 因为，且，所以，排除B，D. 因为当时，故，当时，时，所以若，则. 8. 已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数后利用导数求出函数最小值，得到满足的约束关系，再利用基本不等式求的取值范围即可. 【详解】由，在恒成立，可得. ，可化为. 令，得. 由，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的最小值为. 若恒成立，，得. 所以. 当且仅当且，即时，两个等号同时成立， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是 （     ） A. 的最小正周期是 B. 在上单调递增 C. 是的一个对称中心 D. 是的一条对称轴 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，得的最小正周期，故A正确； 对于B，由，令，得，， 当时，的一个增区间为，所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，因为，所以是的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，所以是的一条对称轴，故D正确. 10. 已知，且为函数的极大值点，则 （     ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过对原函数求导求得其极值点，并对的范围分类讨论来探讨不等式的关系. 【详解】，求导可知， 令，解得或， 因为为极大值点，当时，可知时可满足，即，时单调递增，时单调递减， ，可知，此时，. 当时，时可满足，此时，满足，， 综上所述，两者同时满足及. 11. 已知定义域为的函数满足：（1），有 成立；（2）当 时，.下列结论正确的是 （ ） A. ，有 B. 函数的值域是 C. “函数在上的值域为 ”的充要条件是“，使得 ” D. “函数在上单调递增”的充要条件是“，使得 ” 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用递推关系式推导出区间上的解析式，再逐个分析选项，结合函数值域、单调性、充要条件的定义即可判断正误. 【详解】，用“”代替“”，得. 当时，. 当，时，，. 对于A，，，所以，故A正确； 对于B，当，，，当且时，，所以的值域是，故B正确； 对于C，取，，此时的值域是，，充分性不成立，故C错误； 对于D，若，当时，，函数在区间上单调递增. 若函数在区间上单调递增，不妨设，， 若，则，，，与已知矛盾， 若，则，当，， 但，与已知矛盾， 故，故， 故函数在区间上单调递增的充要条件是：存在，使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线方程是_____________. 【答案】 【解析】 【详解】由得，，则， 则函数在点处的切线方程是，即 13. 对于定义在上的函数，若存在常数，使得对任意实数，都有，则称是“平移函数”，并称为函数的一个“平移量”.已知是定义在上的“平移函数”，且，则______；当时，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由题意得对任意实数，有， 故对任意正整数，有 ， 因此， 所以． 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知是锐角，且，当取得最大值时，的周长等于________________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，整理可得，其中，，，进而分析可知当时，取到最大值，进而可得结果. 【详解】因为，即，可得， 且，则， 由正弦定理可得，，，其中为的外接圆半径， 则， 即，可得， 即，，， 可得， 其中，，， 则，当且仅当，即时，取到最大值， 则， 此时的周长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求的值及函数的零点； （2）设，函数，求的值域和单调递减区间. 【答案】（1），函数的零点为 （2）的值域为，单调递减区间为 【解析】 【小问1详解】 ，或， 又，，， 令，，得， 故函数的零点为. 【小问2详解】 ， ，，，的值域为， 令，解得，的单调递减区间为. 16. 某小型工厂生产一种精密零件，每日生产件.由生产特点知道：当时，每日的总成本（单位：千元）满足；当时，每日的总成本（单位：千元）满足.已知每件零件的售价为20千元，且市场需要始终供不应求，但工厂规模又限定每日生产量不超过12件. （1）求每日利润（单位：千元）关于日产量的函数表达式； （2）求每日利润的最大值，并求出相应的日产量. 【答案】（1） （2）每日利润的最大值为6千元，对应的日产量为7件或10件. 【解析】 【分析】（1）利润等于总收入减去成本，根据自变量的范围不同，成本不同，要写成分段函数的形式； （2）利用基本不等式、导数求解最大值，然后进行比较，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 化简可得. 【小问2详解】 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为4； 当时， 令，得或， 令，得， 则在和上单调递减，在上单调递增， 因为， ， 所以的最大值为6. 综上所述，每日利润的最大值为6千元，对应的日产量为7件或10件. 17. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且 . （1）若点在边上，且平分，试用三角形的边表示的长； （2）设是的垂心，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和关系与诱导公式化简已知条件，结合正弦定理与二倍角公式求出角； 第一问利用角平分线分割三角形的面积和关系，代入角度的三角函数值推导的表达式； 第二问利用垂心的几何性质与直角三角形边角关系，结合正弦定理推导与外接圆半径的关系，进而求出目标比值. 【小问1详解】 ∵ 在锐角中，， ∴ ， 由诱导公式得 . 所以原式可化为. ∴ . ∵ ，故，， ∴ ，即，解得，即. ∵ 平分，∴ . 由面积关系得： . 化简得， 整理得 . 【小问2详解】 过作，垂足为，∵ 是的垂心，∴ 在高上. 在中，. ∵ ，， ∴ . 在中，，即， 整理得 . 由正弦定理，代入得 . 又由正弦定理，， ∴ . ∵ ，∴ ，故. 18. 已知函数 . （1）若函数在上是增函数，求实数的最大值； （2）若函数有两个极值点，. (i)求实数的取值范围； (ii)证明：. 【答案】（1）实数的最大值为. （2）(i)故的取值范围是； (ii)不妨设，由(i)可知， 令，则，原方程化为， 记两根为，，则， 待证不等式等价于， 令， 构造函数， 求导：， 当时，，且， 故，于是， 所以在上单调递增，又， 因此对，有， 即，代入，得， 由，得， 又，，而在上单调递减， 故，即， 所以， 即. 【解析】 【分析】(1)求导得，由递增条件分离参数得，构造，求其最小值即得的范围及最大值； (2)(i)两极值点等价于方程有两个变号零点，构造，研究其单调性、极值及图象交点个数，得的范围；(ii)换元转化为的两根偏移问题，构造对称函数，由导数判断单调性与符号，结合的单调性放缩，证，即得. 【小问1详解】 由求导得， 因为在上是增函数，所以，对一切恒成立， 即，令，则， 故在上单调递增，其最小值为， 于是，所以实数的最大值为. 【小问2详解】 (i)函数有两个极值点，等价于函数有两个不同的变号零点， 令，则，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在处取得极小值，， 又，且当时，；当时，， 要使与有两个不同交点，须， 故的取值范围是. (ii)略. 19. 已知数列满足，且. （1）求及的值； （2）若，求正整数的值； （3）设，记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3）设： 当或 时，； 当 或 时，； 当 或 时， 【解析】 【分析】（1）代入求出，结合角的范围得到；通过同角三角函数基本关系推导与的表达式，化简得乘积的值. （2）推导的表达式，利用累乘约分得到连乘积的化简结果，结合已知条件列方程求解. （3）化简得，将转化为，利用三角函数的周期性结合等比数列求和公式，按除以6的余数分类求解前项和. 【小问1详解】 ∵ 当时，，且， ∴ ，故. 由，结合同角三角函数关系，得， ∵ ，故. 对，有，故. ∴ . 【小问2详解】 由，且，得. ∴ . 对乘积部分裂项约分： ， 故. 由题意，两边平方得，解得. 【小问3详解】 由题意可得，因此. 余弦函数的最小正周期为， 因此对任意正整数，有， 因此第项与第项的关系为： . 取连续6项为一组，记第组（）的6项为，则该组的和为： ， 即每6个连续项的和构成首项为前6项和，公比为64的等比数列， 接下来逐项计算前6项的值： -当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故. 因此第一组6项的和. 设，其中，，，分类计算： ① 当即时，前项为组连续6项的和，由等比数列求和公式： ； ② 当即时，前项和为前项和加第项： ， 故； ③ 当即时，再加第项： ， 故； ④ 当即时，再加第项： ， 故； ⑤ 当即时，再加第项： ， 故； ⑥ 当即时，再加第项： ， 故. 综上：设： 当或 时，； 当 或 时，； 当 或 时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期11月份高三数学学科素养检测题 时间：120（分钟）分数：150（分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若是和的等比中项，则 （     ） A. 3 B. C. 5 D. 2. 已知集合（其中是虚数单位），集合，则 （     ） A. B. C. D. 3. 复数的共轭复数是 （     ） A. B. C. D. 4. 已知，若，且，则的值为 （     ） A. B. C. D. 5. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值是 （     ） A. B. C. D. 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且的面积为，是的中点，则 （     ） A. 1 B. C. D. 2 7. 若正数，满足且，则下列不等式一定成立的是 （     ） A. B. C. D. 8. 已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是 （     ） A. 的最小正周期是 B. 在上单调递增 C. 是的一个对称中心 D. 是的一条对称轴 10. 已知，且为函数的极大值点，则 （     ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的函数满足：（1），有 成立；（2）当 时，.下列结论正确的是 （ ） A. ，有 B. 函数的值域是 C. “函数在上的值域为 ”的充要条件是“，使得 ” D. “函数在上单调递增”的充要条件是“，使得 ” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线方程是_____________. 13. 对于定义在上的函数，若存在常数，使得对任意实数，都有，则称是“平移函数”，并称为函数的一个“平移量”.已知是定义在上的“平移函数”，且，则______；当时，______． 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知是锐角，且，当取得最大值时，的周长等于________________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求的值及函数的零点； （2）设，函数，求的值域和单调递减区间. 16. 某小型工厂生产一种精密零件，每日生产件.由生产特点知道：当时，每日的总成本（单位：千元）满足；当时，每日的总成本（单位：千元）满足.已知每件零件的售价为20千元，且市场需要始终供不应求，但工厂规模又限定每日生产量不超过12件. （1）求每日利润（单位：千元）关于日产量的函数表达式； （2）求每日利润的最大值，并求出相应的日产量. 17. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且 . （1）若点在边上，且平分，试用三角形的边表示的长； （2）设是的垂心，求的值. 18. 已知函数 . （1）若函数在上是增函数，求实数的最大值； （2）若函数有两个极值点，. (i)求实数的取值范围； (ii)证明：. 19. 已知数列满足，且. （1）求及的值； （2）若，求正整数的值； （3）设，记，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $