湖北楚天协作体2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

高三数学

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的.

1.已知复数满足（其中i为虚数单位），则（   ）

A.1 B. C. D.

2.已知集合，，则（   ）

A. B. C. D.

3.已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（   ）

A.2 B.3 C.4 D.5

4.已知，抛物线，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）

A. B. C.2 D.

5.已知函数的最小正周期为，则（   ）

A. B. C.2 D.1

6.一盏路灯（视为一个质点）安装在高为米的杆子顶端，地面上某点的光照强度（且为常数），其中是路灯到地面该点的距离.现有一个距离杆子底部水平距离为1米的点，若要使点的光照最强，则路灯杆子的高度应为（   ）

A.1米 B.米 C.米 D.2米

7.已知函数若，则实数的值为（   ）

A.0 B.1 C.2 D.4

8.已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最大值为（   ）

A. B. C. D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列选项正确的是（   ）

A.一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为20

B.数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数为17，方差为18

C.若，为两个随机事件，，，，则

D.用模型拟合一组数据，其中，设，变换后的经验回归方程为，则

10.在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左，右焦点，则该椭圆的离心率可能为（   ）

A. B. C. D.

11.已知数列满足，，为的前项和，则下列选项正确的是（   ）

A.  B.

C.为等差数列 D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的展开式中的系数为______.

13.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则______.

14.设函数，（，），若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）有一个袋子中装有4个红球，2个黑球（它们除颜色外完全相同），现每次从袋子中随机不放回取出一个球.

（1）若连续取两次，已知第二次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率；

（2）若连续取三次，记取出黑球的次数为，求的分布列和方差.

16.（15分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）证明：；

（2）若，，求的值.

17.（15分）如图，在三棱柱中，，，，是棱的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角.

18.（17分）已知双曲线（，）的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，在点左侧，且.

（1）求双曲线的方程；

（2）若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线、，分别与切于、，交轴于点、，交轴于点、.已知、、三点共线，设、、分别为直线、、的斜率，证明：、、成等差数列.

19.（17分）已知函数（为负常数）.

（1）当时，求的极值点；

（2）当时，若正实数使得存在三个两两不同的实数、、满足，，，恰好为一个矩形的四个顶点，求的取值范围；

（3）若函数有两个内接正方形（四个顶点在图象上），求的取值范围.