精品解析：四川成都市实验外国语学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题（常规班）

成都市实验外国语学校 2026-2027 上学期高一半期考试 数 学 试 题 （常 规 班） 考试时间 120 分钟　　　　　　总分 150 分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合是空集，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合是空集， 所以方程在实数范围内无解，即方程无实数根， 因为对于任意实数，都有，所以当且仅当时，方程无实数根，解得. 所以实数的取值范围是. 2. 已知命题，，则下列说法正确的是（ ） A. 是全称量词命题，且是假命题 B. 是存在量词命题，且是真命题 C. 是全称量词命题，且是真命题 D. 是存在量词命题，且是假命题 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题为全称量词命题， 其否定为存在量词命题，即. 因为对于任意实数，都有，所以不存在实数使得， 所以命题为假命题. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解规则，偶次根式被开方数非负、分式分母不为0，列不等式组求解后取交集即可. 【详解】要使函数有意义，需同时满足：且， 由，得； 由，得，解得且； 取上述两个解集的交集，由于已自动排除的情况，因此函数定义域为. 4. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对ABC，举反例说明；对D，利用不等式性质判断. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，取，， 但，，则，故C错误； 对于D，由，得，又，所以，故D正确. 故选：D 5. 是关于的方程有一正一负两实根的（ ）条件 A. 充要条件 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【详解】设方程的两根为，，则. 若方程有一正一负两实根，则需满足且，解得. 所以方程有一正一负两实根的充要条件是. 因为能推出，所以必要性成立； 但当时，方程化为，解得或，此时方程没有一正一负两实根，所以充分性不成立. 故是方程有一正一负两实根的必要不充分条件. 6. 已知函数是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在上是增函数，所以需满足以下条件： 当时，函数单调递增，则其斜率，解得； 当时，函数单调递增，满足； 在分段点处，左侧一次函数的临界值必须小于等于右侧二次函数的端点值， 即，解得，即. 综上所述，实数的取值范围是，即. 7. 已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数图象开口向上可知，其在闭区间上的最大值必在端点处取得，从而将恒成立问题转化为端点函数值均小于，列出关于的不等式组即可求解. 【详解】因为函数的图象开口向上， 所以在区间上的最大值必在端点处取得. 要使不等式对任意恒成立， 只需满足， 即， 化简得， 解得. 所以实数的取值范围为. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，在上单调递增. 所以当时，，， 当时，， 当时，，， 当时，，， 综上，不等式的解集是 故选：A 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知全集为，则和等价 B. 与是同一个集合 C. 真包含于 D. 若集合，则的子集个数为8 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，由集合的运算性质可知，等价于中所有元素都属于， 即中不存在属于的元素， 所以；反之亦然，故A正确； 对于B选项，空集是不含任何元素的集合， 而集合是含有一个元素（即空集本身）的集合，不是同一个集合，故B错误； 对于C选项，集合中的元素可化为，表示分母为且分子为奇数的数； 集合中的元素可化为，表示分母为且分子为整数的数. 因为奇数集是整数集的真子集，所以前者真包含于后者，故C正确； 对于D选项，集合，含有个元素， 所以的子集个数为，故D正确. 10. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：当时，与均为负数，此时，故A不成立； 选项B：式子，当且仅当即时取等号，故B成立； 选项C：式子，当且仅当即时取等号，故C成立； 选项D：式子恒成立，虽然即，无实数解，但不等式为“”，只要左边不小于2即成立，故D成立. 11. 函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 的值域与函数的值域相同 D. 存在，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出，的值，判断A；根据偶函数的定义判断B；求出两函数的值域判断C；取函数图象上的四点，，，，验证四边形是否为菱形，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以； 又因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以； 当时，， 所以； 综上，成立， 故是偶函数，故B正确； 对于C，因为，故， 即的值域为； 因为， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为，，，， 取，，，， 则对角线中点均为， 又因为, 所以， 又因为, 所以， 即四边形的对角线互相垂直平分， 所以四边形是菱形，故D正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则 13. 已知均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且， 所以. 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立. 又因为，所以当且仅当，时，等号成立. 所以的最小值为. 14. 已知函数，若方程恰有个实根，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得和共有5个解，结合对勾函数及反比例函数的图象，可得有2个解，从而得有3个解，结合图象，即可得答案. 【详解】由， 得， 解得或， 又因为， 当时，由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 此时, 当时，单调递增，且， 所以有2个解，分别为，； 又因为原方程有5个根， 所以有3个解， 又因为, 所以， 即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，全集． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），=； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可； （2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 由， 所以， 又因为或， 所以=. 【小问2详解】 由可得， 所以当时，有，解得， 当时，有，解得． 综上，所以的取值范围为． 16. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若，求这个关于的不等式的解集； 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）将代入原不等式，化简后通过因式分解转化为标准的一元二次不等式进行求解； （2）将原不等式因式分解求出对应方程的两根，再对参数进行分类讨论，比较两根的大小，结合二次项系数的符号即可求出不同情况下的解集. 【小问1详解】 当时，原不等式化为，即. 因式分解得， 解得. 所以当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 原不等式可化为. ①当时，不等式化为，即，解集为； ②当时，对应方程的两根为，. 因为，所以抛物线开口向下，大于0的解集在两根之间. （i）当时，，即，解得； （ii）当时，，不等式化为，无解，即解集为； （iii）当时，，即，解得. 综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 17. 某公司出售一款网红玩偶，假设购进该款产品能够全部售出．采购此玩偶有两种渠道，渠道一：若采购数量不超过 25 万件，只能从经销商处按每件成本 60 元购买，且另需投入 400 万元固定费用，此时销售定价也与购进数量有关，若购进产品数量不超过 15 万件，定价 160 元/件即可；若购进该产品数量多于 15 万件且不超过 25 万件，需降低定价销售，且销量每增加 1 万件，单价降低 4 元（例：若购进 16 万件，则定价为 156 元/件）；渠道二：若购进数量在 25 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行采购和销售，此时利润（万元）与采购量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为 12 万件时，利润是多少？（利润=销售收入-成本） （2）写出利润（万元）关于采购量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）万元 （2）；（其中单位为万元，单位为万件）； （3）购进并销售万件时，利润最大，此时利润是万元. 【解析】 【分析】（1）由题意判断购进万件属于渠道一的第一档，求出单价，利用“利润=销售收入-成本”列式计算即可； （2）根据题意，分、、三种情况，分别求出利润函数即可得出解析式； （3）分别利用一次函数的单调性、二次函数的性质以及基本不等式求出各段函数的最大值，比较大小即可得出结论. 【小问1详解】 当购进产品数量为万件时，由于，销售定价为元/件. 利润（万元）. 所以当购进产品数量为万件时，利润是万元 【小问2详解】 由题意可知： 当时，单价为元/件，； 当时，销售单价为（元/件）， ； 当时，. 综上所述， 【小问3详解】 当时，在上单调递增， 所以（万元）； 当时，， 所以当时，取得最大值（万元）； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 因为， 所以当时，取得最大值万元. 综上所述，购进并销售万件时，利润最大，此时利润是万元. 18. 已知函数，且． （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1），为偶函数. （2）,在上为减函数.证明如下： 设， 则， 因,则, ，所以在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）先利用条件求出的值，代入解析式求的值，验证后利用奇偶性定义即可判断； （2）利用单调性的定义证明； （3）利用题设条件将转化为，结合单调性与奇偶性得到，求解该不等式即得解集. 【小问1详解】 对于， 取，则，解得. 又因，代入得，解得，此时， 因，则满足题意. 又因，所以为偶函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，可得， 则不等式等价于， 因为偶函数，则， 又因在上单调递减，则可得， 即解得且， 故该不等式的解集为. 19. 已知函数，其中为常数． （1）若是上的奇函数，求的值； （2）若，当时，求在上的最大值； （3）若在上存在个不同的实数，使得 ，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）利用分类讨论取绝对值，转化为求分段函数在上的最大值，再分段讨论各分段函数在指定区间的最大值即可. （3）由题意根据的范围分别得到关于的表达式，利用关于的表达式最大值需大于等于建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为是上的奇函数，所以必有恒成立， 所以， 对任意的，则，等式两边平方可得， 即任意的，，解得，符合题意. 【小问2详解】 当时，. 情况一：当时， 当时，由二次函数的性质，在上单调递增，故； 当时，由二次函数的性质，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时； 情况二：当时，函数在上递增，在上递减，在上递增， 所以， 当时，此时，； 当时，此时，. 综上所述，. 【小问3详解】 由题意， 当时，不妨设， 情况一：当时，在上单调递增， 所以 ， 此时的最大值为， 所以，解得； 情况二：当时，在上单调递增， 所以 ， 此时的最大值为， 所以，解得； 情况三：当时，在、上单调递增，在上单调递减. 所以 . 所以不存在， 使得. 情况四：当时，在上单调递增，在上单调递减. 所以 ， 所以不存在， 使得. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校 2026-2027 上学期高一半期考试 数 学 试 题 （常 规 班） 考试时间 120 分钟　　　　　　总分 150 分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合是空集，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则下列说法正确的是（ ） A. 是全称量词命题，且是假命题 B. 是存在量词命题，且是真命题 C. 是全称量词命题，且是真命题 D. 是存在量词命题，且是假命题 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 是关于的方程有一正一负两实根的（ ）条件 A. 充要条件 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 6. 已知函数是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知全集为，则和等价 B. 与是同一个集合 C. 真包含于 D. 若集合，则的子集个数为8 10. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 的值域与函数的值域相同 D. 存在，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________． 13. 已知均为正数，且，则的最小值为___________． 14. 已知函数，若方程恰有个实根，则实数的取值范围为_________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，全集． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若，求这个关于的不等式的解集； 17. 某公司出售一款网红玩偶，假设购进该款产品能够全部售出．采购此玩偶有两种渠道，渠道一：若采购数量不超过 25 万件，只能从经销商处按每件成本 60 元购买，且另需投入 400 万元固定费用，此时销售定价也与购进数量有关，若购进产品数量不超过 15 万件，定价 160 元/件即可；若购进该产品数量多于 15 万件且不超过 25 万件，需降低定价销售，且销量每增加 1 万件，单价降低 4 元（例：若购进 16 万件，则定价为 156 元/件）；渠道二：若购进数量在 25 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行采购和销售，此时利润（万元）与采购量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为 12 万件时，利润是多少？（利润=销售收入-成本） （2）写出利润（万元）关于采购量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 18. 已知函数，且． （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）解关于的不等式：. 19. 已知函数，其中为常数． （1）若是上的奇函数，求的值； （2）若，当时，求在上的最大值； （3）若在上存在个不同的实数，使得 ，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $