精品解析：四川南充高级中学2026-2027学年上学期期中检测高一数学试题

南充高中高2026级高一上学期期中考试数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷及答题卡上. 2．考生作答时，请在答题卡规定区域作答，在本试卷或答题卡非规定区域作答，无效. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题的四个备选项中，只有一个符合要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 与的几何平均数是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 15 D. 17 6. 如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. “，恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且恒成立，则实数的最大值是 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题满分6分，共18分；在每个小题的四个备选项中，有多个选项符合要求，全对6分，部分对得部份分，有错项得0分．） 9. 下列各组函数中，是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 关于函数，下列判断正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 11. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 比大小：________（填“，或”） 13. 已知，若，则实数的取值范围是_______________ 14. 的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，函数的最小值是_____，在，，，…，中，取到最小值的个数为_____（）. 四、解答与证明题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合． （1）求； （2）求． 16. 已知函数，． （1）求的值； （2）用定义法证明：函数在上是减函数． 17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元），（其中，利润销售收入总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润. 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 19. 函数满足：，且， （1）求， （2），，求的取值范围 （3）有限集合，至少有两个元素，已知，且，，都有，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2026级高一上学期期中考试数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷及答题卡上. 2．考生作答时，请在答题卡规定区域作答，在本试卷或答题卡非规定区域作答，无效. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题的四个备选项中，只有一个符合要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 与的几何平均数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由几何平均数的定义可知，与的几何平均数为. 2. 设集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，再利用真子集个数与元素的关系即可求解. 【详解】由题意得：， 所以集合的真子集个数为个. 3. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】全称命题的否定是特称命题，变量的取值范围不变，并否定原结论，因此原命题的否定为“，”． 4. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则，，，. 5. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【详解】令，得，即， . 6. 如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知开口向上，对称轴为，函数在上单调递增； 要使函数在上单调递增，需，所以a的取值范围为. 7. “，恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，恒成立，所以， 而在上单调递增，所以，即， 对于A，由题意得 不能推出， 而 可以推出，所以是必要不充分条件，故A错误； 对于B，由题意得可以推出， 而不能推出，所以是充分不必要条件，故B正确； 对于C，由题意得不能推出， 而可以推出，所以是必要不充分条件，故C错误； 对于D，是充要条件，故D错误． 8. 已知，且恒成立，则实数的最大值是 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 因为 ， 等号成立时， 故，则实数的最大值是 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题满分6分，共18分；在每个小题的四个备选项中，有多个选项符合要求，全对6分，部分对得部份分，有错项得0分．） 9. 下列各组函数中，是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A， 的定义域为， 的定义域也是，两函数的定义域与对应关系都相同，是同一函数，A正确. 对于B， 的定义域为 ，而 的定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误. 对于C，，取 ，则 ，而 ，对应关系不同，不是同一函数，C错误. 对于D， 与 的定义域都是，对应关系也相同，只是自变量所用字母不同，是同一函数，D正确. 10. 关于函数，下列判断正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得：  ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 11. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用可判断A；由算术平均小于等于平方平均可判断B；由几何平均小于等于算术平均可判断C；由柯西不等式可判断D . 【详解】对于A ：， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是16，故A错误； 对于B：由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D： 由柯西不等式： ，​ 即， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为，D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 比大小：________（填“，或”） 【答案】 【解析】 【分析】可通过比较两个实数的平方进行大小比较. 【详解】因为，， 因为， 所以. 所以，所以. 故答案为：. 13. 已知，若，则实数的取值范围是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段求解不等式即可. 【详解】函数，由，得或. 解得或，所以实数的取值范围是. 14. 的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，函数的最小值是_____，在，，，…，中，取到最小值的个数为_____（）. 【答案】 ①. 1 ②. 58 【解析】 【分析】设，对的表达式进行变形，结合取整函数的性质，分析的可能取值范围；根据 的可能取值求出取到最小值的个数. 【详解】设，由取整函数定义可得， 所以，因此或， 所以或，所以最小值为1； 设在，，，…，中，取到最小值的个数为，则取到的个数为个. 故， 又因为. 联立上述两个式子得：，解得. 四、解答与证明题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 已知函数，． （1）求的值； （2）用定义法证明：函数在上是减函数． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：， 设， ， ，，，又，， ，在上是减函数. 【解析】 【分析】（1）将代入解析式即可构造方程求得的值； （2）设，由可证得结论. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 略. 17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元），（其中，利润销售收入总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元 【解析】 【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式. （2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润. 【小问1详解】 当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台）， 总成本为固定研发成本亿元加上其它成本亿元， 根据利润销售收入总成本，可， 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元， 则， 所以. 【小问2详解】 当时，，图象开口向下，对称轴为, 但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元, 当时，根据基本不等式有， 当且仅当，即取等号, 所以亿元，当且仅当，即取等号, 因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元. 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而求解即可； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，和是方程的两根，且， 所以解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得， 则不等式的解集为. 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 当时，不等式可化为， 而，则不等式的解集为或. 综上所述，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 19. 函数满足：，且， （1）求， （2），，求的取值范围 （3）有限集合，至少有两个元素，已知，且，，都有，求． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先由可得，然后根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解； （2）先整理不等式，然后令，问题转化为求的最小值大于0即可，根据对称轴和区间的位置关系对进行分类讨论即可得的最小值，最后解关于的不等式即可求解； （3）方法一：分集合只有两个元素和两个以上元素两种情况，当集合只有两个元素时，根据题意列出关于的式子即可求解；当集合有两个以上元素时，导出矛盾即可排除此情况. 方法二：设集合中最大元素为，根据条件可推出只能取，对四种情况分别说明即可 . 【小问1详解】 因为，所以，， 不等式可化为对于恒成立， 由一元二次不等式恒成立的条件可得，整理得， 解得，又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，不等式即为， 进一步化简得：，对恒成立. 令 ， 当，在单调递增，， 解得或，结合得； 当，在单调递减，在单调递增，， 解得或，结合得. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 方法一：当有两个元素时，设，，，则， 如果，那么，得到，这与矛盾. 如果，那么，得到或. 当有至少三个元素时，设最大元素为，次大为，最小为，则， 由于，所以，得到，则， 由于，注意到，可知，那么，得到，这与矛盾. 综上所述，或. 方法二：已知有限集，集合中至少有两个元素，，且任意，都有． 设集合中最大元素为， ①当时，，，符合题意； ②当时，，则． 故，，． （Ⅰ）当时，，与矛盾，故舍去； （Ⅱ）当时，，则故舍去； （Ⅲ）当时，，此时，且. 若则，故舍去；若则，故舍去. 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $