湖南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二年级第一学期期中考试

数学

时量：120分钟  满分：150分

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则公差的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

2．两条平行直线和间的距离为，则，分别为

A．，  B．，

C．， D．，

3．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为

A．62，62.5 B．65，62 C．65，62.5 D．62.5，62.5

4．已知抛物线．的焦点为，点为抛物线上一点，若，则

A．4 B． C．8 D．

5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的标准方程为

A． B． C． D．

6．已知数列满足，则

A． B． C． D．

7．已知若函数有四个零点，，，，且，则的取值范围为

A． B． C． D．

8．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线右支交于，两点，设的中点为，若，且，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知等差数列中，，，该数列的前项和为，则下列说法正确的是

A．  B．或最小

C．公差  D．

10．下列结论正确的是

A．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短的弦的长为

B．圆：与圆：的公切线有3条

C．已知点，，直线的方程为，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为

D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为

11．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一动点，为椭圆的上顶点，是边长为2的正三角形，下列说法正确的是

A．椭圆的离心率

B．使得为等腰三角形的点有4个

C．当直线倾斜角为时，周长为6

D．将椭圆进行旋转得到椭圆，使得以和为焦点，则和有且仅有2个交点

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．若方程表示圆，则实数的取值范围为__________．

13．在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为__________．

14．已知抛物线上的点，过作圆的两条切线，切线分别交抛物线于另外两点，，则直线的方程为__________．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，证明：

16．（本小题满分15分）

如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为正三角形，平面平面，且，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

17．（本小题满分15分）