精品解析：湖南长沙市雅礼集团2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

湖南长沙市雅礼集团2026-2027学年高二上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知点，，则直线的斜率为. 2. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将圆的方程配方，得， 所以该圆的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称，所以该直线必过圆心， 将圆心坐标代入直线方程得，即，解得. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为. 4. 已知椭圆的长轴长为4，焦点是，，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】椭圆的长轴长为4，则， 焦点是，，则椭圆焦点在轴上，且， 所以， 故椭圆方程为. 5. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，则，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，则，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若，，共面，则存在唯一实数使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即，，不共面， 所以，，能构成空间的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，则，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故D不符合题意. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 7. 如图，在正方体中，点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为， 则，，，，． 则， 故与MN所成角的余弦值为． 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最小值即可 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 所以当，即时，取得最小值， 所以的最小值为 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列各组向量中能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】等价于，依次判断各选项即可得解. 【详解】若直线的方向向量为，平面的法向量为， 要使，则， 对于A，，，，符合题意； 对于B，，，，不符合题意； 对于C，，，，符合题意； 对于D，，，，不符合题意. 10. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 若，则与交于点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A项利用斜率乘积为验证垂直；B项利用斜率相等求出并检验不重合，再代入平行线距离公式计算；C项将代入直线方程，检验点是否满足方程；D项根据截距相等列式时，需特别注意截距同时为（即直线过原点）的特殊情况. 【详解】对于A选项，直线的斜率，直线的斜率， 若，则，此时，所以，故A正确； 对于B选项，若，则（且两直线不重合），解得， 此时的方程为，即， 直线的方程为， 两平行线之间的距离，故B正确； 对于C选项，若，直线的方程为， 将点代入的方程得，即点不在直线上，故C错误； 对于D选项，直线的方程可化为， 令，得轴上的截距为 ；令（当 时），得轴上的截距为， 若两截距相等，则， 当时，，此时两截距均为，相等； 当时，解得， 所以或，故D错误. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 当直线与轴垂直时， C. 的最大值为3 D. 的内切圆的半径的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆离心率计算公式计算可判断A；令，得，计算可判断B；利用基本不等式结合椭圆的定义可判断C；当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，此时，内切圆的半径取最大值，计算可判断D. 【详解】已知椭圆，则，， 对于A，椭圆的离心率为，故A错误； 对于B，当直线与轴垂直时， 令，得，所以，故B正确； 对于C，由椭圆的定义可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此的最大值为，故C正确； 对于D，设的内切圆的半径为， ， 当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值， 最大值， 所以的内切圆的半径的最大值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】若，，则， 所以. 13. 已知方程表示椭圆，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】表示椭圆，则， 解得且， 所以的取值范围是. 14. 设，动直线过定点，动直线过定点，若点为与的交点，且点在圆上，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，根据，求得点的轨迹方程，结合题意将问题转化为圆与圆有交点，进而计算求解. 【详解】直线可化为， 令，得，即， 同理可得， 因为，所以直线不可能垂直轴，直线不可能平行轴， 所以点的坐标不能是， 因为，所以， 所以点在以为直径的圆上且去除点， 设的中点为，则，， 所以点的轨迹为（去除点）， 圆的圆心，半径为， 若点在圆上，则圆与圆有交点， 且圆圆心在轴，圆圆心在轴移动且半径为， 所以两圆内切或外切时切点不可能为， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； 【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，则为的中点．连接， 因为是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，利用中位线找到线线平行证明即可； （2）通过将所求棱锥转换成已知底与高的两棱锥体积之差计算体积即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为底面为菱形且，故为等边三角形， 则； 由，且三棱锥与三棱锥底面积相同， 因为是的中点，则三棱锥的高是三棱锥的高的二倍， ． 16. 已知直线经过两直线和的交点 （1）若直线与直线垂直，求直线方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距的和为0，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出和的交点，根据垂直关系可得的斜率，进而计算可解； （2）分直线过原点和不过原点两种情况，计算求解即可. 【小问1详解】 设和的交点为，则，解得，即， 与垂直，斜率， 则方程为，即； 【小问2详解】 ①过原点，而过点所以方程为， ②不过原点，设方程为， 由过点，可得，， 所以方程为， 综上，方程为或. 17. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，其中，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由题意求得后，代入即可求解； （2）根据弦长公式及点到直线的距离公式表示的面积，再利用基本不等式计算求解. 【小问1详解】 椭圆过点，. 由，得，. 椭圆的方程为. 【小问2详解】 联立方程组，消去得：. （满足），则， 故 . 点到直线的距离， 当且仅当即时，取得最大值1. 18. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的方程； （3）设为圆上任意一点，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，半径为，利用待定系数法列方程组计算求解即可； （2）分斜率存在和不存在两种情况，结合题意计算求解即可； （3）根据圆上点到定点距离最值计算方法计算求解即可. 【小问1详解】 因为圆心在直线上， 所以设圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 因为圆经过点和， 所以解得. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，方程为，验证可知直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）知圆心为，半径为5， 则圆心与点间的距离为. 可以看作圆上任意一点与点间的距离的平方， 所以的最小值为. 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上，的周长为6. （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积等于，求点的坐标； （3）若直线与椭圆交于，两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴.设直线和的斜率分别为，，用，表示. 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立关于的方程组，计算求解即可； （2）根据，计算可得，代入计算可得，进而可解； （3）点，，直线与椭圆联立方程组，由韦达定理及斜率公式化简计算即可求解. 【小问1详解】 由题可得，，解得：， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； 【小问3详解】 由题，设点，， 联立方程组，化简得， 则，即， 所以，， 而，，依题意， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市雅礼集团2026-2027学年高二上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 已知椭圆的长轴长为4，焦点是，，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列各组向量中能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 若，则与交于点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 当直线与轴垂直时， C. 的最大值为3 D. 的内切圆的半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________. 13. 已知方程表示椭圆，则的取值范围是__________. 14. 设，动直线过定点，动直线过定点，若点为与的交点，且点在圆上，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； 16. 已知直线经过两直线和的交点 （1）若直线与直线垂直，求直线方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距的和为0，求直线的方程. 17. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，其中，求面积的最大值. 18. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的方程； （3）设为圆上任意一点，求的最小值. 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上，的周长为6. （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积等于，求点的坐标； （3）若直线与椭圆交于，两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴.设直线和的斜率分别为，，用，表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $