精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 2. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 4. 已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 若三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 11. 曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线关于直线对称 C. 当时，曲线上点的横坐标的取值范围为 D. 若曲线在第一象限内存在位于直线左侧的点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为______． 13. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________. 14. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点的直线与圆相切，求的方程. 16. 已知等比数列的各项均为正数，且，． （1）求的通项公式； （2）设，，求数列的前项和. 17. 如图，已知四棱锥中，平面，，，是边长为的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，分别为的左，右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合. （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，为过点且垂直于轴的直线上异于的一点. （i）若，求直线的方程； （ii）设的斜率分别为，求的值. 19. 已知集合，若对于任意与至少有一个属于，则称为开心集. （1）分别判断集合与集合是否为开心集，并说明理由； （2）当时，若，求开心集； （3）若集合为开心集，且中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程写出双曲线的渐近线方程，可得关于的方程，求解即可． 【详解】双曲线，则， 其渐近线方程为， 依题意，解得． 故选：A． 2. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可. 【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件， 故选C. 【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题 3. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 4. 已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 5. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点的坐标，再求得的长即得． 【详解】设点关于直线的对称点为，则有解得， 因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5. 故选：C． 6. 已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程. 【详解】设动圆的圆心，半径为 圆与圆:内切，与C2：外切. 所以. 由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆. 则，所以 动圆的圆心的轨迹方程为： 故选：D 【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题. 7. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可. 【详解】由三角形的面积公式可得， 得，由，得， 所以为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得. 故选：C 8. 设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点作的垂线，其方程为， 由解得，，即， 由，所以有， 化简得，所以离心率． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项取值验算可得正确答案. 【详解】当时，，故C不正确； 当时，，排除B； 当，时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确， 故选：AD. 10. 已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 若三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】将点B的坐标代入抛物线方程即可求得，从而求出准线方程判断A；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式即可判断B；设直线：，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求解即可判断C；结合焦半径公式，利用及焦半径公式即可判断D. 【详解】对A，把点代入抛物线，得， 所以抛物线的准线方程为，故A正确； 对B，因为，，，， 所以，，， 又由，得， 所以，故B正确； 对C，因为三点共线，所以线段是焦点弦， 设直线：， 联立得， 所以，故C不正确； 对D，设的中点为， 因为，， 所以，得， 即的中点到轴距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD 11. 曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线关于直线对称 C. 当时，曲线上点的横坐标的取值范围为 D. 若曲线在第一象限内存在位于直线左侧的点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象关于点对称的定义判断A，根据图象关于直线对称的定义判断B，利用方程研究曲线的范围可判断C，由题意建立不等式求解可判断D. 【详解】对选项A：设曲线上有一点，则①，而点关于原点对称的点为，若曲线关于原点对称，则也应在曲线上，则有②；联立①②，得，此时无解，故A错误； 对选项B：设曲线上有一点，则③，而点关于对称的点为，若曲线关于对称，则也应在曲线上，则有④；联立③④，得，即，该式恒成立，则和是在曲线上且关于对称的点，即是该曲线的对称轴，故B正确； 对选项C：由原方程得，解得，所以C正确； 对选项D：由原方程得，由题意知，当时有点在曲线上，因为，所以在上有解，即在上有解，又因为函数在上单调递减，所以，所以D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的值，即可求得的值，进而可得出结果. 【详解】设，易知， 结合，可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，所以的短轴长为． 故答案为：. 13. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________. 【答案】2024 【解析】 【分析】根据的关系，分是否等于1讨论即可. 【详解】由于数列的各项均为正数，即， 当时，，即， 当时，由，可得，两式相减得， 又， 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，. 故答案为：2024. 14. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合双曲线的定义可得，，在中，利用余弦定理求得，再根据即可得出答案. 【详解】解：由，结合点I是的内切圆的圆心可知， 又有，所以， 再结合双曲线的定义可得，， 再根据，由余弦定理可得， 即，解得， 则， 可得内切圆的半径角. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点的直线与圆相切，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：设圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 16. 已知等比数列的各项均为正数，且，． （1）求的通项公式； （2）设，，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）根据是等比数列，设的公比为，根据条件列出方程组．求出和可得数列的通项公式； （2）求出的通项公式，代入，利用错位相减法即可求出数列的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题可得， 因为，所以， 所以． （2）因为，所以， 所以， 所以， ， 两式相减得 故． 【点睛】本题主要考查数列通项公式和前项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键，属于难题. 17. 如图，已知四棱锥中，平面，，，是边长为的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接、、， 因为点在平面内的投影恰好是的中心， 且是边长为的正三角形，所以，三棱锥为正三棱锥， 因为为等腰直角三角形，则， 取的中点，连接，则， 因为，，，所以，， 所以，四边形是矩形，则， 又因为，则， 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 又，设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，分别为的左，右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合. （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，为过点且垂直于轴的直线上异于的一点. （i）若，求直线的方程； （ii）设的斜率分别为，求的值. 【答案】（1）， （2）（i）或；（ii）2 【解析】 【分析】（1）根据离心率及2椭圆上的点求椭圆方程，再由椭圆右焦点得出抛物线方程； （2）（i）设出直线方程，分别联立椭圆与抛物线，由根与系数的关系及弦长公式，由题意建立方程，解出斜率即可得直线方程； （ii）分别由斜率公式表示出斜率，计算化简即可得解. 【小问1详解】 根据题意可知， 解得 概圆的方程为. ， 抛物线的方程为. 【小问2详解】 如图， （i）设的方程为， 联立化简得，显然， 设，则， 所以 ， 联立化简得，显然， 设，则， 所以 因为，所以， 即，即， 所以直线的方程为或. （ii）设，则， ， . 19. 已知集合，若对于任意与至少有一个属于，则称为开心集. （1）分别判断集合与集合是否为开心集，并说明理由； （2）当时，若，求开心集； （3）若集合为开心集，且中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍，求的最小值. 【答案】（1）不是开心集，是开心集，理由：对于集合，因为， 故不是开心集； 对于集合，因为， 故集合是开心集. （2）或； （3）2023. 【解析】 【分析】（1）由开心集的定义判断即可； （2）由题意可得，分、求解即可； （3）由题意可得，从而得，且也在中，由已知可得，从而得，，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 因为，由题意得，故， ①若，由于， 故，故，即，此时符合题意. ②若，由于， 故，故，即，此时符合题意. 综上，或 【小问3详解】 解：由题意，，若中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍， 则必有，故， 分别考虑和其他任意元素， 由题意可得也在中，而， 故， 特别地，， 下考虑对于， 因为，所以， 故， 特别地，，故，即， 由，且，故，即， 以此类推，. 又因为， 所以， 又因为，即， 所以， 即，故. 当时，满足条件. 综上，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于新概念题目，理解定义是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $