精品解析：山西省名校联考2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

山西省名校联考2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. xy的最大值为2 B. 的最小值为8 C. 的取值范围是 D. 当取得最小值时， 7. 在中，是的外心．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若对成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若复数满足，则 C. 若命题为：，则命题为： D. 函数的单调递增区间为的充要条件是实数 10. 已知函数在区间上是增函数，且，，则（ ） A. B. C. 曲线的对称中心为 D. 将曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线与存在相同的切线 B. 当时， C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，则实数____________． 13. 若，则____________． 14. 定义域为的函数满足，且时，若，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，且，求； （2）若，求函数的最小正周期和单调区间． 16. 设函数． （1）求的最小值； （2）若，求实数的取值范围． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为． （1）求角的大小； （2）若是AB上的点，，求的大小． 18. 已知函数． （1）讨论如何将曲线平移变为曲线； （2）若， （i）求在上的最大值和最小值； （ii）对于任意，求证：． 19. 设函数． （1）若直线过点且与曲线相切，求直线的方程； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省名校联考2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，集合，要计算，只需判断集合中的元素是否满足. 当时，，故. 当时，，故. 当时，，故. 当时，，故. 综上，属于且属于的元素为，即. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，​. 故，解得. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，. 所以. 4. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，解得， ， 结合得． 5. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为函数与直线的图象有3个交点，再作出函数图象，数形结合求解即可. 【详解】因为函数有3个零点， 所以方程有三个实数根， 所以，函数与直线（恒过点）的图象有3个交点， 作出函数图象如图所示， 由图可知，当时，直线与函数图象有1个零点； 当时，直线与函数图象有2个零点； 当时，直线与函数图象有3个零点 所以，实数的取值范围是. 6. 已知，且，则（ ） A. xy的最大值为2 B. 的最小值为8 C. 的取值范围是 D. 当取得最小值时， 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A，，当且仅当时，即时取等号， 所以，解得，因为，即，所以不能取到等号，所以选项A错误； 对于选项B，，当且仅当时，即时取等号， 因为，即，所以不能取到等号，所以选项B错误； 对于选项C，由得，代入得， 由二次函数性质可知在时，，所以选项C错误； 对于选项D，可知，得， 可知，所以， 当且仅当时，即时取等号，所以选项D正确； 7. 在中，是的外心．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，进而利用方程组，解出即可求解. 【详解】由题意得：， 又， ， 所以， ， 所以，解得， 所以. 8. 若对成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】利用分离参变量思想，构造函数求最小值，再利用指对数同构，结合求导即可解决问题. 【详解】由可得：， 因为，所以原不等式可化为：， 设， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，即， 又，则，所以在上单调递增， 所以，即， 由对成立，则， 再根据在上单调递增，则， 所以实数的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若复数满足，则 C. 若命题为：，则命题为： D. 函数的单调递增区间为的充要条件是实数 【答案】BCD 【解析】 【详解】是周期函数，跨区间时，不能推出，故A是假命题； ，则，故B是真命题； “，”的否定是“，，故C是真命题； 二次函数对称轴，递增区间是，故，解得，故D是真命题． 10. 已知函数在区间上是增函数，且，，则（ ） A. B. C. 曲线的对称中心为 D. 将曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线 【答案】AD 【解析】 【详解】由可知，由可得， 所以，即， 因为函数在区间上是增函数，所以，即，解得， 因为，，所以， 代入可得，解得，由解得， 所以，可判断A正确； 可知，所以B错误； 可得曲线，由，解得，所以C错误； 将曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得，所以D正确； 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线与存在相同的切线 B. 当时， C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分别求两函数在处的切线，比较切点与斜率是否重合即可；对于B，将拆成与两项，分别构造函数求导证明两项均为正，再相加得到；对于C，作差化简后等价于比较与的大小，可在区间内取特殊值验证；对于D，先构造函数证明，取得通项不等式，再累加并裂项求和与右端比较. 【详解】对于A，，. 当时，，， 曲线在原点处的切线为；，， 曲线在原点处的切线也为. 两曲线存在相同的切线，故A正确； 对于B，， 令，，则，， 故在上单调递增，，即； 令，，则，. ，令，则， 与在区间内均单调递减，故单调递减；，， 所以先增后减，又，，故由正变负且仅变号一次， 先增后减，其最小值在端点取得，于是，即. 两项相加得，即，故B正确； 对于C，等价于，即. 由B选项知，故C错误； 对于D，由B知当时，，故当时， 即 ，即. ，取，得. 累加得，且时等号不成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，则实数____________． 【答案】 【解析】 【详解】注意到函数的分母在时等于，即函数在处有定义. 由是奇函数知，. 代入解析式得，即，解得. 检验：当时，. 其定义域满足，关于原点对称. 又，满足奇函数定义. 综上，. 13. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求，又，利用三角恒等变换即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 所以， 所以. 14. 定义域为的函数满足，且时，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用周期把转化为，再由周期推论联立两式求出，最后代入算出． 【详解】由周期性，在处，， 则，故， 又， ， 故，则，解得， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，且，求； （2）若，求函数的最小正周期和单调区间． 【答案】（1） （2）函数的最小正周期为；单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标关系列等式，约去非零的后直接求出； （2）先计算数量积，通过二倍角与辅助角公式化简为正弦型函数，再求周期和单调区间． 【小问1详解】 ，则，即， ，则，故等式化简为， 故． 【小问2详解】 ， 故最小正周期， 令，故的单调递增区间为； 令，故单调递减区间为． 16. 设函数． （1）求的最小值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的最小值为； （2）实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先化简的表达式，结合基本不等式求其在定义域内的最小值； （2）先利用导数分析的单调性，结合将函数不等式转化为关于真数的不等式组，求解得到的取值范围. 【小问1详解】 解：的定义域为， 所以， 令， 所以，由基本不等式，当且仅当，即（）时等号成立， 所以，即的最小值为 【小问2详解】 解：由题知，，， 因为，，所以，即对所有成立， 所以在上严格单调递减 因为，所以 所以，不等式成立，只需， 解得或；解得. 所以，不等式的解集为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为． （1）求角的大小； （2）若是AB上的点，，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，列出方程组，解出三角形即可； （2）根据图像几何性质，以及向量数量积的定义，求出，根据正弦定理列出方程组，求出，进而解出三角形. 【小问1详解】 根据正弦定理由角转边，可得， 由余弦定理可得， 即，解得， 因为，所以. 【小问2详解】 如图所示，可知，即， 解得，因为，所以，所以， 在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 可得，化简得，解得， 由，可得，可得， 所以. 18. 已知函数． （1）讨论如何将曲线平移变为曲线； （2）若， （i）求在上的最大值和最小值； （ii）对于任意，求证：． 【答案】（1）当时，将曲线向左平移个单位可得曲线； 当时，将曲线向右平移个单位可得曲线； 当时，曲线与重合. （2）（i）函数的最小值为，最大值为； （ii）因为，所以， 所以. 设，则问题等价于在上单调递增. 因为，. 所以， 当时，恒成立. 所以在上单调递增.所以原命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用函数图象的平移变换可直接得到答案. （2）（i）求导，分析函数的单调性，可得函数的最大、最小值. （2）构造函数，问题转化为在上的单调性，利用导数分析即可. 【小问1详解】 因为. 所以当时，将曲线向左平移个单位可得曲线； 当时，将曲线向右平移个单位可得曲线； 当时，曲线与重合. 【小问2详解】 （i）当时，，. 所以. 当时，， 所以在上单调递增. 所以函数的最小值为，最大值为. （ii）略 19. 设函数． （1）若直线过点且与曲线相切，求直线的方程； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，证明：． 【答案】（1） （2） （3）因为，则， 要证，即证， 即证， 令，即证，其中， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增，故当时，，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）设切点为，其中，利用导数的几何意义写出切线的方程，再将点代入切线的方程，求出的值，即可得出切线的方程； （2）构造函数，其中，求导得出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围； （3）要证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，结合导数法证明即可. 【小问1详解】 设切点为，其中， 对函数求导得，故切线斜率为， 所以切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，解得， 故切线的方程为，即. 【小问2详解】 构造函数，其中，则， 当时，对任意的，恒成立，即函数在上为增函数， 此时，不符合题意； 当时，由可得或. ①当时，即当时， 对任意的，，则函数在上为减函数，所以，符合题意； ②当时，即当时， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，与题意矛盾，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $