精品解析：重庆市第八中学校2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

重庆市第八中学校2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得或，所以， 又，所以. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求否定是：. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数的定义域为， 则在函数中，需满足，解得， 因此所求定义域为. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】不等式可化为，即, 可得，解得或， 设命题，对应集合， 命题，对应集合， 因为，所以由可推出，即， 但取时，成立而不成立，故， 所以是的必要不充分条件. 5. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A. 82 B. 74 C. 12 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 6. 已知函数且的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，由二次函数的性质及函数的值域，将问题化为对任意，都有，应用分类讨论及指数函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】由，对应值域为， 要使函数的值域为，即对任意，都有，即， 若，时，不可能恒有，舍去， 若，在上单调递减，因此，只需，所以， 综上的取值范围为. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化已知条件得到，代入目标式可得，再利用，转化成可应用基本不等式的形式，即可求得最值． 【详解】由，变形可得． 代入，可得． 故． 已知，是正实数，则由基本不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立． 故，即有的最小值为． 8. 已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出内层的值域为，再令，把条件转化为对该区间内所有，使恒成立，再利用的解集约束得到，再讨论时的情况即可. 【详解】∵， 对称轴，∴， 又，， ∴在上的值域为， ∵对，不等式恒成立， 令，即，不等式恒成立， 当时，即， 即，又， ∴，已知，解得， 当时，的对称轴为，开口向上， 当时，， 即对称轴，则， 结合，解得，∴实数的取值范围为； 当时，这与推出的相矛盾，即这种情况不成立， 综上所述，实数的取值范围为. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中为奇函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇函数定义依次判断即可求解. 【详解】对于A选项，，定义域为，定义域关于原点对称， ，为偶函数，故A不符合； 对于B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， ，为奇函数，故B符合； 对于C选项，，定义域为，定义域关于原点对称， ，为奇函数，故C符合； 对于D选项，，由得定义域为，定义域关于原点对称， ，为奇函数，故D符合. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 幂函数在是增函数 B. 若函数过定点，则函数经过定点 C. 图象关于点成中心对称 D. 已知实数x，y满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由幂函数的单调性判断A，根据已知，令确定定点判断B，函数式作常量分离确定对称中心判断C，令 ，利用其单调性和奇偶性，结合已知判断D. 【详解】A：在上单调递增，正确； B：在中，令，得，函数图象过定点，错误； C：由，显然函数图象关于点中心对称，正确； D：令 ，则在上单调递增，且， 由题设， ，因此 ，所以 ，正确. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，且，则的最小值为 D. 若，则的最小值是2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用配凑法将和凑成定值，可得出积的最值可判断A错误，由不等式中“1”的应用计算可得B正确，结合换元法和“1”的应用可知C正确，将条件等式利用基本不等式，解不等式可得，可知D错误. 【详解】 选项A：由，可知，， 根据基本不等式可得； 当且仅当即时取等号，故最大值为，A错误； 选项B：由得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，因此B正确； 对于C，令， 则，所以， 由基本不等式可得， 代入得， 当且仅当，即，此时，等号成立，即C正确； 对于D，若，则， 所以，整理可得， 又，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值是4，即D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设函数，由， 所以，所以. 13. 已知函数的定义域是，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【详解】题干问题等价于对一切实数恒成立， 当时，成立； 当时，，解得； 综上，的取值范围为，即. 14. 我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．根据以上信息，函数的对称轴是_________，关于的不等式的解集是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题中的推广，求得，判断是否为偶函数，即可求得对称轴，然后分析函数的单调性，即可求得不等式的解集． 【详解】令，则可得， 此时，即有为偶函数， 故根据推广，可知函数的对称轴为． 当时，． 函数在上单调递增． 对于，令，则可得， 由对勾函数，可知在单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递增， 由函数的对称性，可知在上单调递减． 由此可知，离对称轴越远，函数值越大， 则对于，有， 不等式两边同时平方，可得， 化简后可得，解得或， 故原不等式的解集为． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的不等式的解集为，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 实数的取值范围为 （2） 实数的取值范围为 【解析】 【分析】（1）先将分式不等式等价转化为整式不等式，分情况确定解集，再根据集合的并集性质得到，结合区间包含关系求解. （2）根据元素不属于解集的定义，建立关于的不等式求解. 【小问1详解】 由得，又因为， 所以，当，即时， ，满足；当，即时，， 不满足，舍去；当，即时，， 要满足，需，即，综上所述： 实数的取值范围是. 【小问2详解】 即不满足，代入可得：不成立， 当，即时，分式无意义，符合条件； 当时，得，即，解得： 或，综上所述： 实数的取值范围为. 16. 设函数． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式； 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）对分类讨论，然后结合二次函数的性质求实数的取值范围. （2）整理不等式，令，结合二次函数的性质对分类讨论，在的不同范围内解不等式即可. 【小问1详解】 当时，函数的图象开口向下，不恒成立，不满足题意， 当时，，满足不等式的解集为， 当时，函数的图象开口向上， 要使不等式的解集为，需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，，令， 当时，，由，解得， 不等式的解集为； 当时，由，即，解得，， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 17. 已知函数的图象经过，函数． （1）求的定义域，并判断函数的单调性（只写结果，不写过程）； （2）令．若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）定义域为，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用函数过定点求出参数，再根据函数有意义的条件求解定义域、判断单调性. （2）存在性不等式问题转化为求区间上的函数最小值，通过换元结合基本不等式求解参数范围. 【小问1详解】 由题知，，，令且， ，，函数的定义域为， 令，由函数在上单调递增， 函数在上单调递减，函数在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，，由，， ， 令，要满足题意只需满足， ，，， ，当时等号成立， ，即的取值范围为. 18. 已知函数的定义域为，都有，且． （1）求的值； （2）当时，，判断函数单调性并用函数单调性的定义证明； （3）在（2）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在定义域上单调递增， 证明：令，则，又∵，∴， 任取，且，记， 则，，， ∵对任意，，又，可得恒成立， 故，，∴， 即在定义域上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用抽象函数递推式，先由，结合，舍去负根求出，再求即可；（2）先证函数全体定义域恒正，再设，拆成，借助条件时，作差判断的符号即可；（3）先用关系式化简后侧，再利用单调性脱去外层，转化为二次不等式恒成立，求二次函数最小值，进而解出的范围. 【小问1详解】 任取，， ∵由已知，则恒成立 令，则， ∴，令，则， ∴的值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ∵ ，又∵， ∴， 即，∴， ∵在（2）问条件下，在定义域上单调递增， ∴对任意恒成立，∴， 又，即， 解得，∴实数的取值范围为. 19. 在信号处理中，任意信号波形都可以唯一分解成对称分量和反对称分量的和．类比这个结论：对于定义域关于原点对称的函数，即便它本身既不是奇函数，也不是偶函数，但它总能唯一拆成一个奇函数与一个偶函数的和．已知函数 （1）①求奇函数和偶函数，使得； ②若在区间上的最小值为，求的值； （2）若实数满足，求的最小值，并给出取到最小值时对应的的值． 参考公式：若是正实数，那么，当且仅当时，等号成立． 【答案】（1）①，；②或 （2）的最小值为，. 【解析】 【分析】（1）①根据题设定义和奇偶函数的定义，即可求解；②利用①中结果及函数的单调性，将问题转化成，时最小值为，再利用二次函数的性质，即可求解； （2）令，根据条件可得，从而可得，再由题设结论，即可求解. 【小问1详解】 ①取，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 取，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，且， 所以，满足题意. ②由①知，即， 令，易知在区间上单调递增，且， 令，，对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增， 由题有，解得满足题意， 当，即，由题有， 解得或，均不满足， 当，即时，在区间上单调递减， 由题有，解得满足题意， 综上所述，或. 【小问2详解】 由题知，令， 则①，②，由①②得到，整理得到， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时. 所以的最小值为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第八中学校2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A. 82 B. 74 C. 12 D. 70 6. 已知函数且的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中为奇函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 幂函数在是增函数 B. 若函数过定点，则函数经过定点 C. 图象关于点成中心对称 D. 已知实数x，y满足，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，且，则的最小值为 D. 若，则的最小值是2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，则的值为_________． 13. 已知函数的定义域是，则的取值范围为________. 14. 我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．根据以上信息，函数的对称轴是_________，关于的不等式的解集是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的不等式的解集为，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设函数． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式； 17. 已知函数的图象经过，函数． （1）求的定义域，并判断函数的单调性（只写结果，不写过程）； （2）令．若存在，使得成立，求的取值范围． 18. 已知函数的定义域为，都有，且． （1）求的值； （2）当时，，判断函数单调性并用函数单调性的定义证明； （3）在（2）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 19. 在信号处理中，任意信号波形都可以唯一分解成对称分量和反对称分量的和．类比这个结论：对于定义域关于原点对称的函数，即便它本身既不是奇函数，也不是偶函数，但它总能唯一拆成一个奇函数与一个偶函数的和．已知函数 （1）①求奇函数和偶函数，使得； ②若在区间上的最小值为，求的值； （2）若实数满足，求的最小值，并给出取到最小值时对应的的值． 参考公式：若是正实数，那么，当且仅当时，等号成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $