精品解析：四川南充市嘉陵第一中学2026-2027学年高一上学期10月期中考试数学试题

嘉陵一中高2026级高一上期期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对应关系逐一判断即可； 【详解】集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故A错误； 集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故B错误； 集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故C错误； 集合中当时，由对应关系可得； 当时，由对应关系可得；当由对应关系可得，一一对应关系成立，故D正确； 故选：D 2. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数值的正负及定义域判断即可. 【详解】由于，排除AD， 而的定义域为，排除C，故B满足题意. 故选：B 3. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域必须关于原点对称， 令分母，解得函数的间断点为和 ， 由于必然不在定义域内，根据定义域关于原点对称的要求，它的相反数也必然不在定义域内， 所以方程的解为，所以. （验证充分性）：当时，, 此时定义域为，关于原点对称, 且，满足奇函数定义,所以成立. 4. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，由元素与集合关系可知， ，，A正确，B错误， 由集合与集合关系可知，， 不包含于集合，故C，D都错误. 5. 已知命题：，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数，将不等式化为，利用基本不等式求的最小值即可求出答案． 【详解】根据题意可得，因为，则， 利用基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 6. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义，可得：若则必有， 但不一定能推出，对应集合关系就是是的真子集，即 . 集合，集合，要让真包含于： 当时， ，此时的所有元素都在中，且中存在小于的元素不属于，满足 ； 当时，中会存在大于等于的元素不在内，无法满足 ； 当时，的所有元素都属于，且中存在元素不属于，满足 . 综上，的取值范围是. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合一次函数，二次函数的单调性列出不等式组求解． 【详解】依题意得，，解得， 故实数的取值范围是． 8. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到不等式的解集，由解集中恰有2个整数，得到的范围，进而求出的范围. 【详解】当时，，则不等式的解集为， 由解集中恰有2个整数，得整数解为和0，因此，解得． 二、多选题.（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 存在一个无理数，它的立方是有理数 C. 设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D. 若且，则，至少有一个大于1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，举例判断即可；对于C，根据一元二次方程根的分布求解判断即可；对于D，利用反证法求证即可判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，故A错误； 对于B，比如为无理数，而为有理数，故B正确； 对于C，由方程有两个不等的负实数根， 则，解得，故C错误； 对于D，假设都不大于1，即，则，因此不成立， 所以假设不成立，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若不等式，，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相同函数的定义判断A；求出抽象函数的定义域判断B；利用不等式性质求出范围判断C；借助二次函数求出值域判断D. 【详解】对于A，函数与的定义域都为，且，A正确； 对于B，由函数的定义域为，得，则函数中， ，解得，即的定义域为，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，，函数， 当且仅当，即时取等号，因此函数的值域为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，直接使用基本不等式即可；B选项，由基本不等式“1”的妙用进行求解；C选项，平方后用基本不等式；D选项，由进行求解 【详解】A选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即时，等号成立，B错误； C选项，， 当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立，C正确； D选项，，故， 当且仅当时，等号成立，D正确 三、填空题．（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数先求，再求即可. 【详解】由题设可得，故， 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，，且当时，，则__________． 【答案】3 【解析】 【详解】由于是偶函数，故， 又，故，解得. 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于x的方程的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】由得，即， 则或，得或， 故关于x的方程的解集为 四、解答题.（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的定义域为，集合，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域的求法可求得集合；解一元二次不等式可求得集合，由补集和交集定义可求得结果； （2）分别在和的情况下，根据包含关系构造不等式求得结果. 【小问1详解】 由得：，即，； 由得：，即，. 【小问2详解】 由（1）知：； 当时，，解得：，此时满足； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知函数是定义在上的函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）在上是增函数， 证明：设是上任意两个实数且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由，求解； （2）根据单调性的定义证明； （3）由定义域和单调性求解． 【小问1详解】 ，由题意，得，故， 又，解得， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 且在上是增函数，所以， 解得． 17. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18. 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，且，均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数b，二次函数恒有不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）和3 （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，令，解一元二次方程即可. （2）根据已知条件列出不等式组，然后根据韦达定理化简表达式，最后利用基本不等式的性质计算即可. （3）根据已知条件列出方程与不等式，进而计算出结果. 【小问1详解】 令，则，即. 解得或，所以二次函数的不动点为和3. 【小问2详解】 解：令，整理得. 由题意得：，解得. . 令，则代入得. 当且仅当，即时，也即是时等号成立，此时的最小值为5. 【小问3详解】 解：令，整理得. 由题意得，对任意，恒成立， 即对任意恒成立，那么. 化简得，即，解得. 又，故，所以的取值范围是. 19. 已知一次函数为增函数，且满足，． （1）若函数在上最大值与最小值的差为6，求． （2）当和满足时． ①求和的解析式 ②设，解关于的不等式： 【答案】（1）； （2）①，， ②当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况进行求解； （2）①设出解析式，根据题目条件得到方程，求出解析式； ②不等式转化为，分，，，和五种情况分类讨论，得到不等式的解集 【小问1详解】 当时，由在上单调递增， 且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得， 当时，由在上单调递减， 且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得， 综上可得：； 【小问2详解】 ①由一次函数为增函数，可设， 因为， 所以，解得，即， 又因为， 所以， ， 又因为，所以，此时， ②关于的不等式：， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉陵一中高2026级高一上期期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题：，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题.（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 存在一个无理数，它的立方是有理数 C. 设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D. 若且，则，至少有一个大于1 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若不等式，，则的取值范围是 D. 函数的值域为 11. 已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题．（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知则___________． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，，且当时，，则__________． 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于x的方程的解集为______. 四、解答题.（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的定义域为，集合，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 17. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 18. 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，且，均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数b，二次函数恒有不动点，求a的取值范围． 19. 已知一次函数为增函数，且满足，． （1）若函数在上最大值与最小值的差为6，求． （2）当和满足时． ①求和的解析式 ②设，解关于的不等式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $