精品解析：内蒙古自治区 呼和浩特市启东中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试卷

2026-2027学年第一学期期中初二年级数学学业质量检测 满分100分 限时90分钟 注意事项： 1．考生务必将自己姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，交回答题卡． 3．本卷满分100分． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项正确） 1. 下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 阿基米德曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称图形的特征是解题的关键． 根据轴对称图形的特征逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A错误； B．是轴对称图形，故B正确； C．不是轴对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，故D错误． 故选：B． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，11 B. 5，6，11 C. 3，6，10 D. 3，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】比较各选项中两条较短线段之和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项、，不能组成三角形； B选项、，不能组成三角形； C选项、，不能组成三角形； D选项、，能组成三角形． 3. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】 【分析】角平分线是指将角的两边重合折叠，折痕即为角平分线；高是指将顶点向对边折叠，使折痕与对边垂直，折痕即为高；中线是指将底边的两个端点重合折叠，折痕经过顶点，则折痕与底边的交点为中点，连接顶点与该点的线段即为中线． 【详解】解：观察图①的折纸方式，是将的两边和重合折叠，折痕为． 根据角平分线的定义，折痕平分了， 即 ． 所以，是的角平分线． 观察图②的折纸方式，是将顶点向底边折叠，折痕为． 从图中可以看出，折痕与底边垂直(即)，所以，是的高． 观察图③的折纸方式，是将点折叠到点的位置，图中标注，折痕经过点交于点．这意味着点和点关于折痕对称，即，点是的中点． 根据三角形中线的定义，连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 所以，是的中线． 综上所述，依次是的角平分线、高、中线． 4. 下列几组条件中，不足以判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A为AAS，B为SSS，C为SAS，均可判定全等； D中三个角对应相等不能判定两个三角形全等． 5. 如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， 故选：D． 6. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∵，与地面垂直，处距地面高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：B． 7. 如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点​，因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可． 【详解】如图所示，作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点​， ∴，， ∴根据三角形三边关系可得， ∴． ∴只有符合题意 8. 如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，连接CE,有下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③AB=AC+CD；④D为BC的中点；⑤AD被CE垂直平分.其中正确的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用角平分线的性质求解即可. 【详解】AD是角平分线，所以CD=DE，①正确.△ACD≌△AED，所以DA平分∠CDE，②正确.因为AC=BC，又因为∠B=45°，DE⊥AB，所以CD=DE=BE，所以AB=AC+CD.易知DB>CD，④错误.CE被AD垂直平分，⑤错误.所以，正确的个数有三个. 【点睛】掌握角平分线的性质是解题的关键. 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 9. 用长度为的绳子围成一个等腰三角形，若其中一边为，则该三角形的底边长为______________ 【答案】或 【分析】 分两种情况讨论，即为腰长和为底边长，再结合三角形三边关系逐一验证即可得到结果 【解析】 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若为等腰三角形的腰长， 则底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系的要求； ②若为等腰三角形的底边长， 则腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系的要求； 综上，该三角形的底边长为或． 10. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，，则，，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形性质求出长及度数，用含的代数式表示和，分和两种情况，利用含角的直角三角形性质列方程求解． 【详解】解：，，， ，， 由题意得：，， ， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， 即， 解得； ②当时， ， ， ，即， 解得； 综上所述，当或时，是直角三角形． 12. 如图，在中，若分别以为边作和，且，，，交于点P，连接，则的度数为________．（用含a的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，作于点，于点，则，先证明得到，进而证明得到，则点在的平分线上，即，再证明，进而求出，则． 【详解】解：如图所示，作于点，于点，则， ， ，即 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 点在的平分线上， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）8 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，将关于轴对称得到． （1）请你画出；并写出点的坐标（_____，_____），（____，_____），（_____，_____）； （2）如图直线轴，与轴交于点，点与点关于直线对称，则点的坐标为________（用含，的式子表示）； （3）求的面积． 【答案】（1） ，，； （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据轴对称解题即可； （2）由条件推出点和点到直线的距离相等，进而解题； （3）把三角形的面积转化为一个长方形减去三个直角三角形的面积计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由题意知，点和点到直线的距离相等，且， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：由图可知，． 15. 求证：如果两个三角形有两个角和其中一个角的角平分线分别相等，那么这两个三角形全等．请根据下图，写出“已知”和“求证”，并完成证明，图中，分别为和的平分线． 【答案】已知：在和中，，，、分别是和的平分线，且． 求证：． 证明：、分别是和的平分线， ，． ， ． 在和中， ． ． 在和中， ． 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义，由推出，再结合、的条件，用判定与全等，得到对应边，最后利用、、，用判定与全等． 【详解】略． 16. 是等腰三角形，，和是等边三角形． （1）如图①，若，，交于点，连接并延长，交于点，求证：为中点； （2）如图②，若，延长，交于点，连接交于点，求的度数． 【答案】（1）由、都是等边三角形，得，，． 又，故． 由得． 又，故． 于是，． 故． 点在、上，故，得． 在和中， ，，， 故． 得． 在和中， ，，， 故． 得，即为中点 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得两组六十度角与相等线段，再用等腰三角形的底角相等把与化为相等，从而得，用与两次全等证明中点； （2）由顶角求底角，再用等边三角形的内角求与，由得平分，最后作差求角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由、得． 由、都是等边三角形，得，． 由得． 同理． 点在直线、上，故，． 在中，故． 在和中， ，，， 故． 得． 又，故． 17. 请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中，．将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽．四根棒在处相连并可绕点转动，点，，，固定，点，可以在凹槽处滑动，且，，，． 图5中的“三等分角仪”满足． （1）如图2，已知，，求证：平分； （2）如图4，已知，，，．若，则______； （3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点与点之间的距离等于时，可求得的度数．在图6中，已知，且点与点之间的距离等于，请求出的度数． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， 即平分； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，从而可得平分； （2）利用证明，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可求得； （3）先证明用表示出、、，再利用三角形内角和定理得到关于的方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 如图， 由（2）得， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质，全等的性质和判定，等边对等角，等腰三角形的性质和判定，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 18. 按要求解答下列问题： （1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：，； （2）【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______； （3）【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； （4）【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） （3），证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 同理（1）得，， ； （4）的面积是 【解析】 【分析】（1）利用证明，得，即可； （2）延长交于点，同理（1）得，，再由等腰三角形的性质得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长、交于点，证，得，同理（1）得，，即可得出结论； （4）延长交于，同理（1）得，， 米，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 同理（1）得，， ， ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，延长交于E， 同理（1）得，，米， ∴， ∵， ∴ ∴； 答：的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中初二年级数学学业质量检测 满分100分 限时90分钟 注意事项： 1．考生务必将自己姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，交回答题卡． 3．本卷满分100分． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项正确） 1. 下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 阿基米德曲线 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，11 B. 5，6，11 C. 3，6，10 D. 3，5，7 3. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 4. 下列几组条件中，不足以判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（ ） A. B. C. D. 6. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，连接CE,有下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③AB=AC+CD；④D为BC的中点；⑤AD被CE垂直平分.其中正确的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 9. 用长度为的绳子围成一个等腰三角形，若其中一边为，则该三角形的底边长为______________ 10. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 11. 如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 12. 如图，在中，若分别以为边作和，且，，，交于点P，连接，则的度数为________．（用含a的代数式表示）． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，将关于轴对称得到． （1）请你画出；并写出点的坐标（_____，_____），（____，_____），（_____，_____）； （2）如图直线轴，与轴交于点，点与点关于直线对称，则点的坐标为________（用含，的式子表示）； （3）求的面积． 15. 求证：如果两个三角形有两个角和其中一个角的角平分线分别相等，那么这两个三角形全等．请根据下图，写出“已知”和“求证”，并完成证明，图中，分别为和的平分线． 16. 是等腰三角形，，和是等边三角形． （1）如图①，若，，交于点，连接并延长，交于点，求证：为中点； （2）如图②，若，延长，交于点，连接交于点，求的度数． 17. 请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中，．将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽．四根棒在处相连并可绕点转动，点，，，固定，点，可以在凹槽处滑动，且，，，． 图5中的“三等分角仪”满足． （1）如图2，已知，，求证：平分； （2）如图4，已知，，，．若，则______； （3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点与点之间的距离等于时，可求得的度数．在图6中，已知，且点与点之间的距离等于，请求出的度数． 18. 按要求解答下列问题： （1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：，； （2）【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______； （3）【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； （4）【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $