精品解析：江苏省无锡市锡东高级中学2026～2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年度第一学期高一年级期中测试 数　学 满分150分，时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设. 2. 命题“，使得”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，都有 D. ，都有 【答案】D 【解析】 【详解】特称命题的否定是全称命题，因此命题“，使得”的否定是：，都有． 3. 对于实数，不正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过推导验证、举反例等方法逐一判断各选项的正误. 【详解】在选项A中，已知，则，即， 已知，则，即， 因此成立，A正确， 在选项B中，已知， 则，则， 已知，则，则， 因此成立，B正确， 在选项C中，取，，此时，，满足， 但且，与命题中“”的结论矛盾，故C错误， 在选项D中，已知，， 则 ， 因为，，故，， 因此，即成立，D正确. 4. 已知函数，其中且，则函数过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数过定点的性质来确定函数所过的定点. 【详解】由于指数函数恒过定点， 所以令，即，所以， 所以函数过定点. 5. “或”是“幂函数在上递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与单调性求出对应参数的取值集合，结合充分条件、必要条件的定义判断两者之间的逻辑关系. 【详解】由幂函数的定义可知：， 整理得， 因式分解为，解得或， 即，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因此，幂函数在上递减等价于， 当或，不能推出一定是，充分性不成立， 若，则一定满足或，必要性成立， 综上所述，或是幂函数在上递减的必要不充分条件. 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因是定义在上的奇函数，则，解得， 则时，， 故. 7. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数最值情况分情况讨论当时函数值域的情况即可. 【详解】由已知当时，， 则当时，， 当，即时，， 则此时函数值域为，不满足题意； 当，即时， 若，则当，， 当时，， 此时，此时不满足函数值域为，舍去； 若，则当，， 当时，， 此时，函数值域为，舍去； 当，即时， 则当时，； 当时，， 此时，若满足值域为，则，解得或， 又，则； 综上所述. 8. 过原点的直线与函数的图象交与于，两点，分别过点作轴的平行线，与函数的图象交于，两点，当轴时，则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在函数图象上以及指数运算法则化简可得，再由轴得出纵坐标之间的关系，解方程可得结果. 【详解】由点、在函数的图象上，可得 ，，其中， 过、作轴的平行线，分别交的图象于、，如下图： 平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此，， 由于、在的图象上，故，， 结合指数运算性质，代入得 ， ； 由轴，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，因此； 结合上一步的结论，可得； 由于直线过原点，因此、、三点共线，可得 ， 将、代入上式，得， 由于，等式两边可约去，整理得 ， 即，解得或； 因此点的纵坐标是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，错误的是（ ） A. 幂函数的图像都过， B. 函数是相同函数 C. 函数在定义域内是单调递减函数 D. 若集合中只有一个元素，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义判断B，利用反例判断ACD． 【详解】A，幂函数的图象不过点，A错； B，，两个函数对应法则相同，都是取绝对值，且两个函数的定义域都是实数集，因此它们是相同函数，B正确； C，函数在定义域内，例如，，满足，但，，仍然有，与减函数定义矛盾，C错； D，当时，集合，也只有一个元素，D错． 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：应用基本不等式由得，两边平方整理得， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 选项B： 当且仅当，即时取等号，故B正确； 选项C：易知，所以 ， 当且仅当时，等号成立； 即的最小值为，并非小于等于2，故C错误； 选项D：将左边平方得 ， 由于左边为非负数，因此，当且仅当时取等号，故D正确. 11. 关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 当时，，的值域是，则的取值范围是 D. 不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据不等式与解集异号即可判断；对于B，利用韦达定理得出，将原不等式变形成，再结合，解出的解集；对于C，先求出函数，找到最大值点和函数值为的自变量，再结合的值域是，即可确定的取值范围；对于D，构造二次函数，由得，结合仅有两个整数解，锁定整数解为0，1，得出且求出的取值范围. 【详解】对于A，因为不等式的解集为或， 所以，故A正确； 对于B，由题意可知，方程的两个根是， 由韦达定理可得，， 所以， 代入得， 因为，所以， 解得，故B正确； 对于C，当时，由可得， 所以， 当时，， 令，解得 又的值域是， 所以当时，有最大值为， 当时，有最小值为， 则的取值范围是，故C错误； 对于D，因为，所以， 令， 因为，所以， 又不等式解集中仅有两个整数, ， 若则， 此时解集包含三个整数， 不符合仅有两个整数的要求， 因此仅存在整数解为0和1的情况， 对应解集范围为， 则且， 解得， 即的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算公式直接计算 【详解】 . 13. 若定义在上的奇函数在单调递增，且，则满足的的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质推导函数在对称区间的单调性与对应零点，再将不等式转化为与异号的两类情形，结合函数符号求解的取值范围. 【详解】因为是定义在上的奇函数，满足， 因此，又因为在单调递增， 所以在上也单调递增，等价于和异号， 即两种情况，情况1：，当时，单调递增， 且，因此的解为， 情况2：， 当时，单调递增， 且，因此的解为， 综上所述可得：的取值范围是：. 14. 记函数在上的最大值为，已知，且具有对称轴，则___；若正实数满足，则的范围是____ 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据解析式及对称轴求参数，再分析相关性质画出草图，从而求出，利用图象分析满足对应参数范围，结合分类讨论及图象得到求的范围. 【详解】由有对称轴，即的对称轴为， 所以，因此， 其中，， 令，则大致图象如下： 由图知，在和上单调递减，在和上单调递增， 综上，， 结合图象知，若，则，此时必有，不满足前提， 所以要使，则，此时上的最大值为， 所以，故，则， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式可求得集合，再将代入求得集合，即可求得结果； （2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论可求出的取值范围． 【小问1详解】 解绝对值不等式，等价于，解得， 即， 当时，代入得， 所以，可得. 【小问2详解】 由可得， ① 当时，可得，解得，符合题意。 ② 当时，需满足，即； 同时需满足 ，解得； 综上可知的取值范围为或. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则． 因为，所以，，，， 所以，即，所以在上单调递减． （3） 【解析】 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得． 又因为，所以，解得， 所以函数的解析式为，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，原不等式转化为，即． 因为为奇函数，所以，即有． 又因为在上单调递减，定义域为， 所以，解得， 即不等式的解集为． 17. 已知函数． （1）若，，解关于的不等式； （2）已知为定义在上的奇函数． ①求，的值； ②求在的值域． 【答案】（1） （2）①，；②在上的值域为。 【解析】 【分析】（1）根据指数函数单调性解不等式； （2）根据奇函数的定义可得参数值；再根据复合函数单调性可得值域. 【小问1详解】 由已知，，则， 由得，即， 化简可得，即， 故不等式解集为； 【小问2详解】 ①由已知函数满足， 由函数定义域为，即恒成立，则， 又函数为奇函数，则，即， 则，则， 即对恒成立，即对恒成立， 所以， 综上所述，； ②由①可得， 则函数在上单调递增， 则， 又当时，恒成立，且当时，， 则当时，， 即函数在上的值域为. 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3），不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集； （2）问题化为在上，结合对应函数的区间单调性求最值，即可得； （3）令，问题化为，恒成立，结合一次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由， 不等式化为，且， 当，即时，得， 当，即时，得或， 当，即时，得或， 综上： 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 由题设上恒成立， 所以恒成立， 只需在上，而在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是； 【小问3详解】 由题设，整理得， 令，则，恒成立， 因为是关于的一次（或常数）函数，只需， 所以，可得， 所以实数的取值范围是. 19. 已知集合，，若存在，使得成立，则称函数在区间上具有性质． （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值． 【答案】（1）具有性质，理由： 由定义可知，集合为函数在区间上的值域， 集合为函数在区间上的值域， 因为单调递减，所以， 若，则称函数在区间上具有性质， 当时，单调递增，所以， 当时，对应函数为， 当时，单调递减，所以， 因为，即成立，所以函数在区间上具有性质； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）定义直接代入，验证集合包含关系，即可得结论； （2）利用绝对值函数的特征分类讨论，求参数范围； （3）将“唯一包含”转化为“长度相等”，问题化为求使得在上的最大值与最小值的差（即值域长度）等于，结合二次函数的性质，讨论对称轴在区间的左侧、右侧、内部研究函数值域求参数值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，对应函数为， 当时（显然），单调递减，所以， 函数的图象是形折线，拐点在处，最小值为， ①若，在上单调递减，， 要使，需满足，显然不成立，故无解， ②若，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使，即， 需要满足最大值，必须有，得， 同时需满足的左端点落在内，即， 综上所述，实数的取值范围是； 【小问3详解】 由题设，时单调递减，所以，且， 若存在唯一的实数使，则集合（即在上的值域）的区间长度必须恰好等于， 如果的区间长度大于，则可在内部滑动，会有无数个满足条件； 如果的区间长度小于，则不可能包含， 所以必有， 函数，对称轴为， 需使在上的最大值与最小值之差为， ①当即时，在上单调递减， ，， 区间长度，令，解得，不满足，舍去， ②当即时，在上单调递增， ，， 区间长度，令，解得，不满足，舍去， ③当，即时，最大值在顶点处取得，， 最小值在端点处取得，需比较与的大小，区间长度为， 因为 ，所以最小值必然是或中较小的，要使区间长度恰好为 4，又， 若是最小值，则 （舍去）， 若是最小值，则 （舍去）， 显然，区间为，长度为，符合， 综上所述，的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高一年级期中测试 数　学 满分150分，时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，都有 D. ，都有 3. 对于实数，不正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 4. 已知函数，其中且，则函数过定点（ ） A. B. C. D. 5. “或”是“幂函数在上递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 过原点的直线与函数的图象交与于，两点，分别过点作轴的平行线，与函数的图象交于，两点，当轴时，则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，错误的是（ ） A. 幂函数的图像都过， B. 函数是相同函数 C. 函数在定义域内是单调递减函数 D. 若集合中只有一个元素，则 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 当时，，的值域是，则的取值范围是 D. 不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ____． 13. 若定义在上的奇函数在单调递增，且，则满足的的取值范围是____． 14. 记函数在上的最大值为，已知，且具有对称轴，则___；若正实数满足，则的范围是____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解不等式． 17. 已知函数． （1）若，，解关于的不等式； （2）已知为定义在上的奇函数． ①求，的值； ②求在的值域． 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3），不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知集合，，若存在，使得成立，则称函数在区间上具有性质． （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $