精品解析：江苏省天一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

江苏省天一中学2025-2026学年第一学期期中考试高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义即可得解. 【详解】设集合，则，则. 故选：B. 2. 已知命题p：，则命题p的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】已知命题p：，则命题p的否定为. 故选：C. 3. 下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数． 故选：A 4. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 5. 函数为幂函数，则的值为（　　） A. 2 B. 1 C. 2或 D. 2或1 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义解题即可. 【详解】根据幂函数的定义，可得，解得或. 故选：C 6. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得在上为减函数，利用奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由题可得在上为减函数， ，即， 所以，即，即， 解得. 故选：. 7. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义结合分段函数的图象与性质计算即可. 【详解】不妨设，由任意实数，都有，可知， 即在上单调递减， 根据一次函数与二次函数的性质，要满足题意需， 所以. 故选：B 8. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，得到函数定义域，进而的两根为，由韦达定理得到方程，结合，联立求出，得到函数解析式，代入求值即可. 【详解】由图象可知，的定义域为， 故的两根为， 由韦达定理得， 又，联立上式，解得， 则， 故. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案. 【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确； B项, 若,可得：，故，故B正确； C项，若可得，由可得：，故C正确； C项，举反例，虽然，但是，故D不正确； 故选：BC. 【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型. 10. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. B. 的定义域是 C. 是奇函数 D. 的图象关于对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求解函数的解析式及定义域，根据函数的性质判断各项正误． 【详解】令，因为，所以， 由，得， 所以，，故A正确； 的定义域是，故B正确； 的定义域关于原点对称，， 则，所以是偶函数，不是奇函数， C错误； 是偶函数，其图像关于对称， 将的图象向右平移1个单位可得的图象， 所以的图象关于对称，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，进而赋值得到；B选项，令得，，B正确；C选项，令，，由定义法得到在上单调递增，C错误；D选项，变形得到，在BC基础上，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，中，令得， 解得， 令得，解得，A正确； B选项，中，令得， ，故的图象关于轴对称，B正确； C选项，中，令，其中， 则， 因为当时，，且，所以， 所以，， 所以在上单调递增，C错误； D选项，因为，所以， 故， 即， 由BC选项知，在上单调递增，又为偶函数， ，且， 两边平方得， 解得，且， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：ABD 【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数的运算法则计算即可. 【详解】由 . 故答案为： 13. 已知，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以由基本不等式可得： ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）分参数和两种情况，当时结合二次函数的性质判断即可； （2）采用主元变换法，将其看成的一次函数求解可得. 【详解】当时，不等式为恒成立； 当时，结合二次函数的性质可得，解得； 的取值范围是. 设， 因为，所以一次函数为递增函数， 则当时，， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据一次不等式和绝对值不等式求解集合，然后根据交集、并集和补集的定义即可得解； （2）由已知可得，分和两种情况讨论，从而可得出答案. 【小问1详解】 由，得，则. 因为，所以由，得，则. 故，，. 【小问2详解】 因为，所以. 若，则，即，符合； 若，则，即，则， 由，可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 16. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 【答案】（1） （2） 设， ， ，，，， 在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. 【小问1详解】 为奇函数， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， ，； 又为定义在上的奇函数，， . 17. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）， （2）所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 18. 设函数与的定义域为且是偶函数，是奇函数，且． （1）求和的解析式； （2）求的值； （3）设函数，若，有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性解方程组可得； （2）化简可得，再计算即可； （3）先由复合函数的单调性的性质结合已知将问题转化为，，再结合二次函数的性质分和两种情况讨论可得. 【小问1详解】 因为，①，则， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 所以，②， 可得， 可得. 【小问2详解】 ， 所以， . 【小问3详解】 由复合函数的单调性可得在上单调递减， 所以， 因为，有成立，所以， ，对称轴为，开口向上， 当即时，在上的最大值为， 则，所以无实数解； 当即时，在上的最大值为， 则，所以； 综上，的取值范围为. 19. 已知关于的函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是闭函数, 是 “闭函数”，当时， . 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集为，可知是方程的两个根，然后根据韦达定理即可求出； （2）先求出的对称轴，然后根据对称轴和给定区间的位置关系，分情况讨论函数在该区间上的单调性，进而求出最小值； （3）先判断的单调性，再根据“闭函数”的定义，分情况讨论是否存在区间使得函数在该区间上的值域为. 【小问1详解】 的解集为，是方程的两个根， 根据韦达定理可得，解得， 故实数的值分别为. 【小问2详解】 函数的图像开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 综上，. 【小问3详解】 易知在上为减函数， ①若，递减，若为“闭函数”， 则， 两式相减得，这与矛盾． ②时，若为“闭函数”，则 此时满足条件的存在， ∴时，使得为“闭函数”存在， ③时，若为“闭函数”，则， 消去得，即 解得此时，，且， ∴时，使得为“闭函数”存在， 综上所述，当满足时，为“闭函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2025-2026学年第一学期期中考试高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，则命题p的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数为幂函数，则的值为（　　） A. 2 B. 1 C. 2或 D. 2或1 6. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. B. 的定义域是 C. 是奇函数 D. 的图象关于对称 11. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 13. 已知，且，则的最小值为________． 14. 对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求的取值范围. 16. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 17. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 18. 设函数与的定义域为且是偶函数，是奇函数，且． （1）求和的解析式； （2）求的值； （3）设函数，若，有成立，求的取值范围． 19. 已知关于的函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $