黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B C C A BCD AD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据空间向量数量积的公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 2．D 【详解】原方程配方得：， 即. 因为该方程表示圆，所以，得. 故. 3．B 【详解】由椭圆，得半长轴长． 因为在椭圆上，所以． 又，所以． 4．A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 5．B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 6．C 【分析】根据直线与平面所成角的向量求法，计算直线AB的方向向量与平面α法向量夹角余弦的绝对值即可得到结果. 【详解】由，，得， 线面角的向量计算规则：设直线与平面所成角为，，则， 所以，故， 又，，因此， 代入计算得：，因线面角正弦值非负，排除A、B，最终选C. 7．C 【分析】由平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，得，再利用不等式即可求得结果. 【详解】因为平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，即， 即，所以， 当且仅当时取等号. 故选：C 8．A 【分析】联立两直线方程求出点的坐标，消去参数得到的轨迹圆；再构造点，把转化为，利用三角不等式求最小值． 【详解】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 9．BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 10．AD 【分析】求出椭圆a、b、c的值，再结合椭圆的基本性质即可求解． 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，故A正确； 对于B，的周长为，故B错误； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，故D正确． 故选：AD． 11．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量运算、体积公式、截面性质、外接球半径计算分别判断各选项. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系； 由题知，，，，由，可设点的坐标为，. 选项A：过点作的垂线交于点，由题可得平面，且， 为等腰直角三角形， ， ，三棱锥的体积恒为定值，A正确. 选项B： ，， ， ， ，B正确. 选项C：如图所示； 在上取点，使得，，在中，， ， 且， 又 与平行且相等，四边形为平行四边形， 与平行且相等， 且， 平面， 平面截正方体所得的截面图形恒为梯形，C错误. 选项D：如图所示； 由， ，设球心的坐标为， ， ， ， 球心的坐标为，半径， .D正确. 12． 【分析】利用焦点在轴上的双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】由题意可得为双曲线的标准方程，故， 所以双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 所以. 13．5 【分析】根号内配方，转化为两点距离公式，利用对称求最短距离. 【详解】，， 则 表示为x轴上动点到点，点的距离之和， 不等式对任意实数恒成立，即， 最大值就是这个距离和的最小值， 作关于轴的对称点， ，所以， 根据两点之间线段最短，最小值就是线段的长度， ， 则最小值为，要使不等式恒成立， 则，所以的最大值是. 14． 【分析】设，，利用余弦定理、椭圆定义可求得的值，结合三角形的面积公式以及等面积法可求得，再利用正弦定理可求得的值，即可得解. 【详解】在椭圆中，，，则，故，如下图所示： 设的内心为，设，，则， 由余弦定理可得， 即，故， 所以， 又因为 ，解得， 由正弦定理可得，故，所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系可得斜率，根据点斜式即可求解直线方程， （2）根据两点距离公式列方程求解,即可求解. 【详解】（1）直线l斜率为3，斜率为，且过， 直线的方程为，即； （2）设圆心， 由得，解得， 故圆心的坐标为，半径， 圆的方程为． 16．(1) (2) 【分析】（1）设出点坐标，求出坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系列不等式求解即可. 【详解】（1）设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. （2）由圆，可得为圆，圆心，半径， 又由圆心，半径为3， 圆与动点的轨迹有两个公共点，即两圆相交， 所以， 解得. 17．(1) (2) 如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）略 18．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【详解】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 19．(1)，则为等边三角形， O为棱DE的中点，则有且， 底面BCDE为菱形，，则，，， 由余弦定理，则， 又，则有，得， ，平面，所以平面， 平面，所以； (2) (3) 【分析】（1）结合余弦定理和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用线面垂直的性质定理证得； （2）建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离即可； （3）利用已知二面角的余弦值，求出M点坐标，再利用向量法求直线 EM 与平面 PCD 所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）底面BCDE为菱形，，则为等边三角形， O为棱DE的中点，则有，又平面， 故以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，得， 所以点B到平面PCD的距离为. （3）M为棱PD上的动点，设，可得， ，设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，得， 由平面，则平面的一个法向量为， 平面ECM与平面BCDE夹角的余弦值为， 则有，解得， 则，，又平面的一个法向量， 设直线 EM 与平面 PCD 所成角为， 所以. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中试卷 高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 2．若方程表示圆，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 4．在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 5．已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 6．已知空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 7．已知圆与直线，若平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．18 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 10．已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为10 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 11．已知正方体的棱长为，，，则下列结论正确的是（     ） A．三棱锥的体积恒为定值 B．存在，使得 C．平面截正方体所得的截面图形不恒为梯形 D．当时，三棱锥的外接球的表面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12．已知双曲线的一条渐近线为，则实数的值为________． 13．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 14．设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15．（满分13分）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程． 16．（满分15分）已知点，，是平面内的一个动点，且， (1)求动点的轨迹方程； (2)圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 17．（满分15分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 18．（满分17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 19．（满分17分）如图，在四棱锥中，底面BCDE为菱形，， ， ，O为棱DE的中点.    (1)证明：； (2)求点B到平面PCD的距离； (3)设M为棱PD上的动点，若平面ECM与平面BCDE夹角的余弦值为，求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $