黑龙江省齐齐哈尔市2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026—2027学年上学期期中考试 高二年级数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置，并认真核对条形码上的信息． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某校高二年级共有学生1200人，其中男生650人、女生550人．现按性别进行分层随机抽样，从中抽取容量为120的样本，则样本中应抽取女生的人数为 A．50 B．55 C．60 D．65 2．的展开式中的常数项为 A． B． C．20 D．160 3．已知随机变量，且，则 A． B． C． D． 4．已知一组样本数据，，…，的平均数为3，方差为2，则数据，，…，的平均数和方差分别为 A．5，4 B．5，8 C．6，4 D．6，8 5．甲、乙等5名同学站成一排合影，若要求甲、乙两人不相邻，则不同的排法共有 A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 6．已知事件，满足，，，则 A． B． C． D． 7．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的三位数，在所有这样的三位数中任取一个，则取到的三位数是偶数的概率为 A． B． C． D． 8．某校高二年级有男生600人、女生400人．现按性别进行分层随机抽样，从中抽取容量为50的样本，其中男生30人、女生20人．若男生样本的数学成绩平均数为75，方差为20；女生样本的数学成绩平均数为70，方差为30，则总样本的方差为 A．24 B．25 C．30 D．36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是 A．在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1 B．若，则事件与相互独立． C．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取容量为5的样本，每个个体被抽到的概率为 D．一组数据的标准差越大，表明这组数据的稳定性越好． 10．下列说法正确的是 A．5人排成一排，其中甲不排在两端，则不同的排法有72种 B．从6名学生中选4人参加一项活动，甲、乙两人中至少有1人入选的选法有15种 C．将10个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有1个球，则不同的放法有36种 D．将4本不同的书分给3个同学，每个同学至少分1本，则不同的分法有36种 11．甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有3个红球和2个白球，两箱中的球除颜色外完全相同．现从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．设事件“从甲箱中取出的是红球”，事件“从乙箱中取出的是红球”，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，且，，则 ； ． 13．已知一组数据从大到小排列为22，20，18，16，15，13，12，10，8，7，5，3，则这组数据的第25百分位数为 ． 14．探险道具袋里装有标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片，从中不放回地一次性抽取2张．记事件“两数之和为偶数”，事件“两数之积是3的倍数”，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）某校从高二年级随机抽取100名学生，调查他们每天用于数学自主学习的时间（单位：分钟）．将所得数据分成6组：，，，，，，组距为10，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）（3分）求的值； （2）（5分）估计这100名学生每天数学自主学习时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）（5分）试估算一个时长，使得样本中仅有18%的学生每天数学自主学习的时间不少于． 16．（本小题15分）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等． （1）（3分）求的值； （2）（3分）求展开式二项式系数最大的一项； （3）（4分）求展开式中的系数； （4）（5分）设．求展开式中奇数项的系数之和 17．（本小题15分）某校举办“数学素养大赛”，比赛分初赛与决赛两个阶段，规则如下． 【初赛】选手需从、两类题库中各随机抽取1道试题作答．已知该选手答对类题的概率为，答对类题的概率为，两题的作答结果相互独立．计分规则：两题都答对得2分，恰答对一题得1分，两题都答错得0分并被淘汰（不进入决赛）． 【决赛】初赛得分不为0的选手进入决赛，需再回答1道加试题，答对加2分，答错加0分；该选手答对加试题的概率为，且与初赛各题的作答结果相互独立． 设该选手的最终总得分为． （1）（4分）求该选手在初赛阶段得2分的概率； （2）（6分）求的分布列； （3）（5分）求的数学期望和方差． 18．（本小题17分）某商场店庆推出“幸运折扣”活动，顾客消费满额后可从甲、乙两种方案中任选一种（不可兼得）． 方案甲（现场抽卡）：抽奖箱中有10张卡片，其中6张为折扣卡、4张为空白卡，除标记外完全相同．从中不放回地随机抽取3张，每抽到1张折扣卡可抵扣30元． 方案乙（线上抽奖）：在手机端抽奖3次，每次抽中折扣卡的概率均为，各次互不影响，每抽中1次可抵扣40元． （1）（5分）求选择方案甲时累计抵扣金额（元）的分布列和数学期望； （2）（4分）求选择方案乙时累计抵扣金额（元）的数学期望，从平均抵扣金额的角度说明哪种方案更划算； （3）（8分）商场对参加方案乙的顾客作跟踪统计，发现其累计抵扣金额（单位：元）近似服从正态分布． ①求（）；（3分） ②商场规定：累计抵扣金额不低于90元的顾客可获赠“至尊礼包”．分别求参加方案甲、方案乙的顾客获赠至尊礼包的概率，指出哪种方案获赠概率更大．（5分） 若，；； 19．（本小题17分）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）（4分）估计甲校学生该题选择正确的概率； （2）（6分）从甲、乙两校学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，估计及的数学期望； （3）（7分）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%．设甲、乙两校学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期期中考试 高二年级数学 参考答案与评分细则 （教师阅卷专用） 命题范围 计数原理·概率·统计·随机变量及其分布 阅卷须知 1．阅卷前请阅卷组统一多项选择题的“部分选对”给分规则与第12题双空给分规则； 2．解答题按“踩分点”分步给分，前一问算错不连带扣后续问的方法分； 3．第19（3）问结论为，请勿按“正确率高低”凭直觉判错； 4．第15题所用频率分布直方图见原卷，数值须按图中读数代入． 2026—2027学年上学期期中考试 高二年级数学参考答案与评分细则 命题范围：计数原理（排列组合、二项式定理）、概率（条件概率、全概率公式、独立性、二项分布）、统计（抽样、用样本估计总体、百分位数）、随机变量及其分布（超几何分布、二项分布、正态分布、期望与方差） 满分150分 考试时间120分钟 答案速查表（阅卷复核用） 一、单项选择题（每题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B C C A C 二、多项选择题（每题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 15；（或） 四、解答题 题号 核心答案 15 （1）（2）约32分钟（3）（分钟） 16 （1）；（2）第4项（二项式系数20）； （3）160；（4）365 17 （1）；（2）分布列见详解；（3）， 18 （1）；（2），乙更划算；（3）①0.6827；②甲，乙，甲获赠概率大；按平均抵扣金额乙更划算 19 （1）；（2），；（3），，故（乙校掌握率更高） 第19（3）问重要提醒：经精确计算，，，故，即乙校掌握率更高．此结论与“甲校正确率80%乙校75%”的表面直觉相反，正是本题的考查意图——不能直接用答对率高低推断掌握率高低，因为题设中两校“掌握者答对率”不同（甲100%、乙85%）．讲评时务必强调，阅卷时也请重点核对，防止误判． 四、解答题详细解答与评分标准 第15题（本小题满分13分） （1）（3分）求的值 【参考答案】 【详细解析】 在频率分布直方图中，每个小长方形的面积，而所有组的频率之和为1． 由图1，第4组的高度未给出，记为；其余5组的高度（纵坐标“”）依次为0.005，0.016，0.023，0.020，0.010，组距均为10．由“面积之和等于1”得 即所以． 由此可算出各组的频率与频数（此表是第（2）（3）问的计算基础，学生答卷中可不列出，但建议讲评时展示）： 区间 高度（频率/组距） 频率 频数（人） 0.005 0.05 5 0.016 0.16 16 0.023 0.23 23 0.26 26 0.020 0.20 20 0.010 0.10 10 合计 — 1.00 100 【采分点】 分值 得分点 1分 指出“各组频率之和为1”（或“各小长方形面积之和为1”） 1分 正确列出方程（或） 1分 解得 （2）问（5分）估计平均数 【参考答案】约32分钟 【详细解析】 同一组中的数据用该组区间的中点值代表．六个组的组中值依次为5，15，25，35，45，55 由第（1）问，各组频率依次为0.05，0.16，0.23，0.26，0.20，0.10 平均数等于“”的加权总和： 逐项计算： 所以这100名学生每天数学自主学习时间的平均数约为32分钟． 【采分点】 分值 得分点 1分 正确写出6个组的组中值：5，15，25，35，45，55 2分 正确写出加权平均式，且代入的频率数值正确 2分 计算得32，结论完整（写“约32分钟”亦可） 扣分说明： 组中值取错（如取10，20，30，…），扣2分； 误把“高度”当“频率”直接加权（漏乘组距10，结果会缩小为3.2），扣2分； 有计算过程但无结论句，扣0.5分； 最终结果不写单位“分钟”，不扣分（题干已注明单位）． （3）（5分）求 【参考答案】（分钟） 【详细解析】 “仅有18%的学生每天数学自主学习的时间不少于”，即时间的频率为0.18： 第一步：从右往左累加频率，定位所在的组． 由第（1）问的频率表： 第6组的频率为0.10，因为，所以不在该组内； 继续向左计入第5组． 第二步：在第5组内部用“组内均匀分布”确定． 设落在第5组内．右侧的总频率应为0.18，其中第6组已贡献0.10，故第5组内这一段应贡献的频率为 第5组的频率为0.20，组距为10．在“同一组内数据均匀分布”的假设下，组内部分频率与该段区间长度成正比： 解得 所以（分钟）． 【另一种等价解法（从左往右）】 时间小于的频率应为．前四组频率之和为 故落在第5组内，需要第5组左侧部分再贡献： 两法结果一致． 【采分点】 分值 得分点 1分 正确转化题意：时间不少于的频率为0.18（或时间小于的频率为0.82） 1分 通过累加频率，正确定位在第5组内 2分 利用“组内频率与区间长度成正比”，正确列出（或等价形式） 1分 解得并作答（含单位更佳） 第16题（本小题满分15分） （1）（3分）求的值 【参考答案】 【详细解析】展开式中，第3项的二项式系数为，第5项的二项式系数为． 由题意．由组合数的对称性，且，必有 验证：，，相等，符合题意． 分值 得分点 1分 正确指出第3项、第5项的二项式系数分别为、 1分 由及组合数性质得 1分 得出 （2）（3分）求展开式二项式系数最大的一项 【参考答案】第4项，（其二项式系数为） 【详细解析】由（1）知．二项展开式共有7项． 因为为偶数，二项式系数最大的项是中间的一项，即第项． 该项为 故二项式系数最大的一项是第4项（其系数160，二项式系数20）． 分值 得分点 1分 指出为偶数，最大项在中间，为第4项 1分 写出 1分 算出 （3）（4分）求展开式中的系数 【参考答案】160 【详细解析】的通项为 令x的指数，得故的系数为160． 分值 得分点 1分 正确写出通项 1分 令 1分 写成 1分 算出160 （4）（5分）求（奇数项的系数之和） 【参考答案】365 【详细解析】设 赋值法：令： ① 令： ② 得： 所以 即奇数项（第1、3、5、7项）的系数之和为365． 验证：直接计算各项系数： ，，，，，，． ，且总和 分值 得分点 1分 设出恒等式 1分 令，得 1分 令，得 1分 两式相加，得 1分 算出365 第17题（本小题满分15分） （1）（4分）求初赛阶段得2分的概率 【参考答案】 【详细解析】设“答对类题”，“答对类题”．已知，，且与相互独立．初赛得2分两题都答对，即事件． 由独立性： 故该选手初赛得2分的概率为． 分值 得分点 1分 正确定义事件（或说明“两题都答对”） 1分 指出两题作答结果相互独立 1分 写出 1分 得出 （2）（6分）求的分布列 【参考答案】 0 1 2 3 4 【详细解析】 第一步：分析初赛得分（记为）的分布． 两题都答对（得2分）： 恰答对一题（得1分）： 两题都答错（得0分，被淘汰）： 第二步：结合决赛，求的各个取值． ：初赛得0分被淘汰． ：初赛得1分，决赛加试答错． ：初赛得2分，决赛加试答错． ：初赛得1分，决赛加试答对． ：初赛得2分，决赛加试答对． 第三步：写出分布列． 分值 得分点 2分 正确求出初赛三种得分（2分、1分、0分）的概率分别为、、 1分 正确指出的可能取值为0，1，2，3，4 2分 正确求出各取值的概率 1分 规范写出分布列（表格形式）． （3）（5分）求和 【参考答案】， 【详细解析】 由（2）的分布列： 期望： 方差： 先求： 由方差计算公式： 通分（公分母36）： 故，． 分值 得分点 2分 正确代入期望公式并算出 1分 正确写出 1分 求出 1分 算出 第18题（本小题满分17分） （1）（5分）求方案甲抵扣金额X的分布列和数学期望 【参考答案】 0 30 60 90 （元） 【详细解析】 设抽到的折扣卡张数为，则，k的可能取值为0，1，2，3． 由超几何分布（总量10，其中“折扣卡”6张，抽取3张）：，，，， 其中．： ： ： ： 验算：√ 分布列：（见上表） 数学期望： （元） 分值 得分点 1分 正确指出X的可能取值为0，30，60，90 2分 用超几何分布公式正确求出4个概率值 1分 规范写出分布列（表格形式） 1分 由期望公式算出 （2）（4分）求方案乙的并说明哪种方案更划算 【参考答案】（元）；因为，故从平均抵扣金额角度看，方案乙更划算． 【详细解析】 设3次抽奖中抽中折扣卡的次数为．由题意，每次抽中概率为且各次互不影响（独立）， 故累计抵扣金额． 由二项分布期望公式： 由期望的线性性质：（元） 比较：由（1）知元，而元． 因为，所以从平均抵扣金额的角度看，方案乙更划算． 分值 得分点 1分 正确识别（二项分布） 1分 求出，进而得 1分 与（1）的进行比较 1分 明确结论：方案乙更划算（须有“从平均抵扣金额角度”的表述） （3）（8分）正态分布在实际情况中的应用 ①（3分）求 【参考答案】0.6827 【详细解析】 已知，即，． 注意到：， 故所求概率为随机变量落在内的概率： 分值 得分点 1分 正确读出， 1分 指出， 1分 得出0.6827 ②（5分）求两种方案获赠“至尊礼包”的概率并比较 【参考答案】方案甲：方案乙： 因为，故方案甲获赠概率更大． 【详细解析】 方案甲：“至尊礼包”要求累计抵扣不低于90元．方案甲中单张折扣卡抵30元，最多抽3张，故的最大值为元．因此： 方案乙： ，，，而． 比较与结论： 因为，所以参加方案甲的顾客获赠“至尊礼包”的概率更大． 分值 得分点 1分 求出方案甲获赠概率（须说明最大为90） 2分 指出，并利用对称性得 2分 算出0.0228（或0.02275）并作比较，指出甲获赠概率更大 第19题（本小题满分17分） （1）（4分）估计甲校学生该题选择正确的概率 【参考答案】 【详细解析】由题意，用频率估计概率． 甲校抽查100名学生，其中答对80人，故 分值 得分点 1分 说明“用频率估计概率” 2分 列出 1分 得出0.8 （2）（6分）估计及的数学期望 【参考答案】， 【详细解析】由（1）及题意，用频率估计概率： 甲校学生答对的概率，答错的概率； 乙校学生答对的概率，答错的概率． 为2名学生中答对的人数，可能取值为0，1，2．两校学生的答题结果相互独立． 求：即“恰有1人答对”，含两种互斥情况： 求：方法一（用分布列）： 方法二（用期望的线性性质，更简便）： 设表示甲校学生答对的人数（0或1），表示乙校学生答对的人数（0或1），则． ，，故 分值 得分点 1分 正确得出甲、乙两校答对的概率分别为0.8、0.75 1分 指出两人答题相互独立 2分 正确求出（含两种情况的分类） 2分 正确求出（分布列法或期望线性性质法均可） （3）（7分）判断与的大小 【参考答案】，，因为，故（乙校掌握率更高）． 【详细解析】 甲校：设甲校学生掌握该知识点的概率为，则未掌握的概率为． 由全概率公式，甲校学生答对的概率为： 由（1）知该概率估计值为0.8，故 乙校： 设乙校学生掌握该知识点的概率为．由全概率公式： 比较： ， 因为，所以 即乙校学生掌握该知识点的概率估计值更大． 分值 得分点 2分 对甲校正确列出全概率方程 1分 解出 2分 对乙校正确列出全概率方程 1分 解出 1分 比较大小并得出的正确结论 学科网（北京）股份有限公司 $