精品解析：江苏省常州市花园中学、明德实验中学2026-2027学年 九年级上学期11月数学期中试卷

九年级期中教学情况调研测试数学学科试题2026.11 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，是一元一次方程，不符合题意； C、，是分式方程，不符合题意； D、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上9，然后利用完全平方公式把方程左边写成完全平方式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可得出结论． 【详解】解：∵在方程中，， ∴该方程无解． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记时方程无解是解题的关键． 4. 反比例函数的图象位于（ ）． A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数中的符号，即可判断图象所在象限，当时，图象位于第一、三象限，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限． 5. 点、在同一反比例函数图像上，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同一反比例函数图像上点的横纵坐标乘积为定值的性质，列等式求解m. 【详解】解：∵点，在同一反比例函数图像上， ∴， 解得. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 相等的圆心角所对弧一定相等 C. 三点确定一个圆 D. 同一条弦所对的圆周角都相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A. 直径是圆中最长的弦，该说法正确，符合题意； B. 只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，该说法错误，不符合题意； C. 不在同一直线上的三点确定一个圆，该说法错误，不符合题意； D. 在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，该说法错误，不符合题意． 7. 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为( ) A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，根据切线的性质得出∠OCD=90°，由∠BCD=50°，得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍即可得∠AOC的度数． 【详解】解：∵CD为切线， ∴∠OCD=90°， 又∠BCD=50°， ∴∠OCB=40°， ∵OC=OB， ∴∠B=∠BCO=40°， ∴∠AOC=2∠B=80°， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确求出∠B的度数是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的弦AB与小圆相切，且，双曲线与大圆恰有两个公共点M、N，则k的值为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过O作于D，连接，得，根据勾股定理求出，由对称性得到M的坐标，即可求出k值． 【详解】解：过O作于D，连接， ∵是大圆的弦， ∴， ∴， 由反比例函数与圆的对称性可知， ∴M、N在直线上， ∵， ∴ ∵双曲线与大圆恰有两个公共点、， ∴. 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 一元二次方程化为一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程右侧的项全部移到左侧，通过移项变号使方程右侧为0，整理为一元二次方程的一般形式． 【详解】解：原式变形为． 10. 一元二次方程的两根之积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过根的判别式判断方程是否存在实数根，再利用根与系数的关系计算两根之积． 【详解】解：∵给定一元二次方程为， ∴计算根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根， 对于一元二次方程，两根之积为， 本题中，， ∴ 两根之积为． 11. 反比例函数的图象上有两点、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知的反比例函数图象上两点的横坐标均为正数，位于同一象限分支，可结合反比例函数的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点、的横坐标均为正数， ∴两点均在第一象限的函数图象上， ∵， ∴． 12. 的半径为6，P为平面上一点，，则P在______．（内、上或外） 【答案】内 【解析】 【分析】比较点P到圆心O的距离与的半径大小，依据点与圆的位置关系判定规则即可确定点P的位置． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离． ∴ 点在内． 13. 已知压强公式，当压力F不变时，压强与受力面积成反比例．已知压力F为600N，若受力面积，则压强____． 【答案】2400 【解析】 【分析】把已知定值压力F的数值与给定的受力面积S直接代入公式计算即可得到压强P的结果． 【详解】解：∵，， ∴． 14. 鲜艳的五星红旗上的五角星是连接正五边形的对角线画出来的，正五边形又可以利用圆来画出．已知正五边形内接于，则它的一条边所对的圆心角度数为______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】正五边形内接于圆时各边相等，对应相等的圆心角，结合整圆的周角度数即可计算单条边对应的圆心角． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴正五边形的五条边是中长度相等的弦， ∴五条边各自所对的圆心角大小相等， ∵圆周对应的总圆心角为， ∴一条边所对的圆心角度数为． 15. 如图，已知是反比例函数图象上的一点，由点分别向轴、轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为，则这个反比例函数的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数中，过图象上一点向两坐标轴作垂线，围成矩形面积等于，再根据图象所在象限判断的正负，求出，即可写出解析式． 【详解】解：设点坐标为， 由题意，点向轴、轴引垂线得到矩形，矩形面积． 在反比例函数上， ， 即，得． 观察图象，图象在第二、四象限， ， ． 反比例函数解析式为． 16. 如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥母线长，利用扇形面积公式  即可求解. 【详解】解：由题意， ， 故该圆锥的侧面积为. 17. 圆内接四边形中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的与的比例关系，建立方程求解的度数． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴设，，代入得， 解得， ∴． 18. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、A两点，的圆心坐标为，且与x轴相切于点C，现将从如图所示的位置开始沿x轴向右滚动，当与直线相切时，圆心P运动的距离为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据直线解析式求出直线与轴交点坐标，结合三角函数求出直线与轴夹角；根据圆与轴相切且半径为，确定圆心纵坐标为；分圆心在直线左下方和右上方两种情况，利用角平分线性质或三角函数求出圆心横坐标，进而计算运动距离. 【详解】解：令，则，解得，令，则， ∴，； ∴， ∴， 的圆心坐标为，且与轴相切， 的半径，圆心在直线 上运动， 设运动后圆心为，坐标为， 当与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径， 分两种情况讨论： ①圆心在直线的左下方（即内部区域）， 此时点在的角平分线上， ∵， ∴， 过作轴于，则， 在中，， 点横坐标为，点在点的左侧， ； 圆心运动的距离为； ②圆心在直线的右上方时，如图 此时点在的外角的角平分线上， ∴， 在 中，， 点在点右侧， ， 圆心运动的距离为； 综上所述，圆心运动的距离为或. 三、解方程（每小题4分，共16分） 19. 解方程 （1）； （2） （3）； （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解： ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， 或， 解得，. 四、解答题（第20、21、24题各6分，第22、26题各8分，第23、25题各7分，共48分） 20. 已知一元二次方程． （1）说明方程总有两个实数根； （2）若一个根为2，求m及另一根． 【答案】（1） 证明：对于一元二次方程， ，，， . ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 该方程总有两个实数根； （2） ，方程的另一根为. 【解析】 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结果； （2）把代入方程，求出的值，再根据根与系数的关系求出另一个根即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入原方程，得， 解得； 设方程的另一根为， 根据根与系数的关系，两根之积为， 即， 解得； 综上所述，的值为，方程的另一根为. 21. 国庆期间，万象城某文具店热销一款学生双肩包，这款双肩包进价为40元．当售价定为60元时，每天可以卖出100个．市场调研发现：如果售价每提高1元，每天就会少卖出2个双肩包．若想要这款双肩包每天的总利润达到2400元，售价应提高多少元？ 【答案】 售价应提高10元或20元. 【解析】 【分析】根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设售价应提高元，则单个利润为元，日销售量为个， 由题意得， 解得，； 经检验，两个解均符合实际意义； 答：售价应提高10元或20元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______． （2）这个圆的半径为______． （3）的长度为______． （4）在网格中过点B作的切线，写出切线经过的图中所有格点的坐标______． 【答案】（1） （2） （3） （4）切线经过的图中所有格点的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）取格点，，根据垂直平分线的性质得到直线与交点即为经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心，再求出直线解析式为，即可求出圆心M的坐标． （2）结合图形利用勾股定理计算即可； （3）先证明得到，再利用弧长公式计算即可； （4）取格点，，证明，得到，即直线即为的切线，再求出图形中上的格点坐标即可． 【小问1详解】 解：取格点，，则结合网格得到四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵直线垂直平分， 所以直线与交点即为经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为． 【小问2详解】 解：∵，圆心M的坐标为， ∴圆的半径； 【小问3详解】 解：∵，圆心M的坐标为，， ∴半径，即，， ∴， ∴， ∴的长度为． 【小问4详解】 解：取格点，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴直线即为的切线， 由和可得直线解析式为， ∵格点的横纵坐标都是整数， ∴切线经过的图中所有格点的横坐标都是奇数， 由图可得， ∴切线经过的图中所有格点的坐标为，，，． 23. 如图，双曲线与直线交于点、点． （1）求m、n的值以及反比例函数的关系式； （2）求面积； （3）根据图象写出的解集． 【答案】（1），，反比例函数的关系式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点、代入，即可求出m、n的值，再将求得的点坐标代入求出，得出结果； （2）设直线与轴交于点，根据计算即可得出结果； （3）根据函数图象可得出结果． 【小问1详解】 解：∵点、在一次函数的图象上， ∴，， 解得， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 令中的，则， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， 观察图象，，即反比例函数的图象应在一次函数图象上方， ∴或． 24. 已知：如图，是的直径，半径． （1）与的大小有什么关系？并说明理由． （2）已知，，求的半径． 【答案】（1），理由如下： ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵为半径， ∴； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，可得，从而得到，再结合垂径定理，解答即可； （2）设的半径为r，则，，在中，利用勾股定理．即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， ∵， ∴， 由（1）得∶， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为5． 25. 如图，在中，，，O是上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，恰好经过点A，并与交于点D． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）直线与相切，理由如下： 连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，即可得到，得到直线与相切； （2）先得到，再根据解得，最后根据图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∵， ∴图中阴影部分的面积． 26. 【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上，如图，他画出了所有符合要求的，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______°；所在的圆的半径长为______． （2）面积的最大值是______． 【类比】请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： （3）若纸片上有一点，且．连接，则线段的最小值为______；（可利用图，画图回答本题） （4）过点作，垂足为．若的面积的最小值为，则长的范围是______． 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）第一空，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，可得；第二空，先证明为等腰直角三角形，再根据得到所在的圆的半径长； （2）以为底边，当点在的垂直平分线上时，的高最大，此时面积最大，根据面积公式即可求得面积的最大值； （3）分别以、为圆心，长为半径作弧，交于点；再以点为圆心，长为半径作圆，分别交、于、，则上任意点即为点，连接、、，过作于，过作于，分别求得、的长，在中，由三边关系可得，当、、三点共线时，取得最小值； （4）过作于，由的面积的最小值为，可证，在中，直角边斜边，得到，即，由勾股定理可得的取值范围，同时得到的取值范围，最终通过讨论在左侧及右侧两种情况，最终求得的取值范围． 【小问1详解】 解：，、分别为弧的圆心角和圆周角， ． 且， 为等腰直角三角形． ， 所在的圆的半径长． 【小问2详解】 解：如下图，以为底边，当点在的垂直平分线上时，的高最大，此时面积最大， 延长交于，则，，， ， 面积的最大值为： ． 【小问3详解】 解：如下图，分别以、为圆心，长为半径作弧，交于点；再以点为圆心，长为半径作圆，分别交、于、，则上任意点即为点，连接、、，过作于，过作于； ∴， ∴为等边三角形，四边形为矩形， 则由小问同理可证，， ． 矩形中，， ， ． 在中，由三边关系可得，即，当、、三点共线时，取得最小值为． 【小问4详解】 解：如下图，过作于， ，，， ， 四边形为矩形． ，． 的面积的最小值为，此时有： ，化简得高线． ， ． 在中，直角边斜边，即， ， 由勾股定理可得，当取最小值时，最大值为： ， 当取最大值时，此时、、三点共线，最小值为， ，即． 当在右侧时，此时，故， 当在左侧时，此时，故， 综上，． 【点睛】本题综合考查矩形的性质、圆周角定理、特殊三角形的性质，由三角形的三边关系获得不等式是解决这道题求最值和求范围的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中教学情况调研测试数学学科试题2026.11 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 反比例函数的图象位于（ ）． A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 5. 点、在同一反比例函数图像上，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 相等的圆心角所对弧一定相等 C. 三点确定一个圆 D. 同一条弦所对的圆周角都相等 7. 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为( ) A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 8. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的弦AB与小圆相切，且，双曲线与大圆恰有两个公共点M、N，则k的值为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 一元二次方程化为一般形式为______． 10. 一元二次方程的两根之积为______． 11. 反比例函数的图象上有两点、，则______． 12. 的半径为6，P为平面上一点，，则P在______．（内、上或外） 13. 已知压强公式，当压力F不变时，压强与受力面积成反比例．已知压力F为600N，若受力面积，则压强____． 14. 鲜艳的五星红旗上的五角星是连接正五边形的对角线画出来的，正五边形又可以利用圆来画出．已知正五边形内接于，则它的一条边所对的圆心角度数为______． 15. 如图，已知是反比例函数图象上的一点，由点分别向轴、轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为，则这个反比例函数的解析式是___________． 16. 如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则该圆锥的侧面积为______． 17. 圆内接四边形中，，则______． 18. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、A两点，的圆心坐标为，且与x轴相切于点C，现将从如图所示的位置开始沿x轴向右滚动，当与直线相切时，圆心P运动的距离为______． 三、解方程（每小题4分，共16分） 19. 解方程 （1）； （2） （3）； （4） 四、解答题（第20、21、24题各6分，第22、26题各8分，第23、25题各7分，共48分） 20. 已知一元二次方程． （1）说明方程总有两个实数根； （2）若一个根为2，求m及另一根． 21. 国庆期间，万象城某文具店热销一款学生双肩包，这款双肩包进价为40元．当售价定为60元时，每天可以卖出100个．市场调研发现：如果售价每提高1元，每天就会少卖出2个双肩包．若想要这款双肩包每天的总利润达到2400元，售价应提高多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______． （2）这个圆的半径为______． （3）的长度为______． （4）在网格中过点B作的切线，写出切线经过的图中所有格点的坐标______． 23. 如图，双曲线与直线交于点、点． （1）求m、n的值以及反比例函数的关系式； （2）求面积； （3）根据图象写出的解集． 24. 已知：如图，是的直径，半径． （1）与的大小有什么关系？并说明理由． （2）已知，，求的半径． 25. 如图，在中，，，O是上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，恰好经过点A，并与交于点D． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 26. 【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上，如图，他画出了所有符合要求的，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______°；所在的圆的半径长为______． （2）面积的最大值是______． 【类比】请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： （3）若纸片上有一点，且．连接，则线段的最小值为______；（可利用图，画图回答本题） （4）过点作，垂足为．若的面积的最小值为，则长的范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $