精品解析：广东省惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2025-2026学年第二学期中段考试高一数学试卷

大亚湾一中 2025—2026 学年度第二学期中段考试 高一数学试卷 2026 年 04 月 本试卷共 4 页，19 题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标化的减法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 2. 圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆柱的轴截面是以底面直径和圆柱的高为邻边的长方形，故圆柱的底面直径和高均为2，由此可求得底面圆的周长，乘以高即为此圆柱的侧面积. 【详解】由题意可知圆柱的底面直径和高均为2，所以圆柱的底面周长为， 故圆柱的侧面积为. 故选：D. 3. 已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量夹角公式计算求解. 【详解】设与的夹角为，所以， 所以. 故选：B. 4. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定A，B，C，根据异面直线判定D. 【详解】 在A中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形，所以， 所以，∴四点共面． 在B中，取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，可得交于直线延长线上一点， ∴P，N，R，S四点共面，设为，因为，∴P，Q，N，S四点共面，设为. ∵都经过不共线的P，N，S三点，∴与重合，∴P，Q，R，S四点共面． 在C中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，所以，所以，∴P，Q，R，S四点共面． 在D中，连接，如图②，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面． 故选：D. 5. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案. 【详解】解： . 故选：C. 6. 已知，内角的对边分别是，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据正弦定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由正弦定理得： ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大边对大角等隐含条件，注意多解情况的处理，属于基础题． 7. 已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积. 【详解】 如图，设在底面的射影为，则平面， 且为的交点. 因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且， 故，故. 由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为， 则，故，故， 故正四棱锥的外接球的表面积为， 故选：B. 8. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值，再由正弦定理可得，，结合三角函数关系式的恒等变换把变形成正弦型函数，进一步利用性质和角的范围即可求出结果. 【详解】锐角中，内角，，的对边分别为，，， 由正弦定理可得，所以，整理得， 所以，由于，所以， 又，利用正弦定理：得：，， 又为锐角三角形，故， 所以 ， 由于，故， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD. 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 故选：ABC 10. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则，， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算和模的坐标公式，利用投影向量公式求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 13. 已知一个正方体的顶点都在同一个球面上，且这个正方体的表面积为12，则这个球的体积为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】正方体内接在求体内，正方体的体对角线是球体的直径，根据正方体的表面积求解出棱长，进而求解出正方体的体对角线长，根据球体体积公式求解出球体体积. 【详解】设正方体的棱长为a， ∵正方体的表面积为12， ∴， 则，即， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径， 即， 即， 则球的体积； 故答案为：. 【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键，属于中档题. 14. 某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高__________m. 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可. 【详解】因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）求向量的夹角的余弦值； （3）若与平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，用坐标法求模可得结果； （2）求出及的模，用坐标法求向量夹角可得结果； （3）根据向量平行，用坐标法求实数可得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 【小问2详解】 因为，，所以， ，， 所以 【小问3详解】 依题意，， 因为与平行，所以，解得． 16. 如图，在边长为的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在边长为的正方体中，设，交于点，连结， 是中点，而为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用锥体的体积公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在边长为的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为． 17. 已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数． （1）求实数及； （2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数及复数乘法求解，再利用纯虚数的定义列式，并求出模. （2）由（1）利用复数的除法，结合复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 由，得， ， 又为纯虚数，则，解得，， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 又复数所对应的点在第一象限，，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若的面积，求的周长． 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 在中，由，得， 由正弦定理得，即， 又，即，于是， 由，得，因此，又， 所以． 【小问2详解】 由的面积，得，得， 又，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的周长为． 19. 已知内角的对边为，点是的内心，若． （1）求角； （2）延长交于点，若，求的周长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，求出角的值. （2）利用三角形面积相等得到，然后利用余弦定理，通过化简可求得的值，从而得到三角形的周长. （3）首先根据三角形面积相等求出内切圆半径的表达式，然后利用余弦定理求出的关系，进而可得到与的表达式，最后利用基本不等式的性质求出范围进而求出的范围. 【小问1详解】 因为，所以根据正弦定理得， 化简得. 因为，所以. 所以，因为，所以. 【小问2详解】 如图，， 所以， 化简得：①. 根据余弦定理得②， ①②联立方程组解得：. 解得，又，所以. 所以的周长为. 【小问3详解】 令三角形内切圆半径为. 因为. . 所以，解得. 因为，所以. 根据余弦定理得：， 即，故‘ 又，解得， 故， 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大亚湾一中 2025—2026 学年度第二学期中段考试 高一数学试卷 2026 年 04 月 本试卷共 4 页，19 题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 3. 已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，内角的对边分别是，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的表面积之比为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 已知一个正方体的顶点都在同一个球面上，且这个正方体的表面积为12，则这个球的体积为_______. 14. 某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高__________m. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）求向量的夹角的余弦值； （3）若与平行，求实数的值． 16. 如图，在边长为的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数． （1）求实数及； （2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若的面积，求的周长． 19. 已知内角的对边为，点是的内心，若． （1）求角； （2）延长交于点，若，求的周长； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $