精品解析：广东省惠州市惠阳区第一中学高中部2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

惠阳区第一中学高中部2023-2024学年第二学期 高一年级期中质量检测数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的几何意义求得复数，然后由共轭复数相关概念求解即可． 【详解】由题可知，所以． 故选：D 2. 已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】可设与共线且反向的单位向量，由，即可求解. 【详解】因为，所以可设与共线且反向的单位向量， 又 解得，或（舍去）， 故. 故选：B 3. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答. 【详解】根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图， 其中 ，， 所以这个平面图形的面积为. 故选：D 4. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面投影向量的求法计算，即可求解. 【详解】由，得， 所以在上的投影向量为． 故选：C． 5. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 由题可知，四边形为等腰梯形，设，因为， 所以， 设棱台的高为，体积为，棱台的高为，体积为， 则， ，所以，又， 所以.所以该“方斗”可盛米的总质量为112kg. 故选：D. 6. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（ ） A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】画出示意图，在直角中，求得，进而求得这艘船的速度. 【详解】如图所示，由题意知，所以, 可得， 在直角中，， 所以这艘船的速度为（海里/小时）. 故选：C. 7. 已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取三角形，四边形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根据球的表面积公式求表面积即可. 【详解】 设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，， 因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积. 故选：C. 8. 设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定截面的形状，再通过几何计算，确定面积的最大值. 【详解】连结，因为平面，平面，所以 且，平面，所以平面，平面， 所以，同理，且，平面， 所以平面； 所以平面为平面或与其平行的平面，只能为三角形或六边形. 当为三角形时，其面积的最大值为； 当为六边形时，此时的情况如图所示， 设，则， 依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可由两个等腰梯形构成， 其中，两个等腰梯形的高分别为，， 则， 当且仅当时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是理解题意，并能利用转化与化归思想，直观象限和数学计算相结合，2是确定平面，从而将抽象的问题转化为具体计算. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求根公式得到，，韦达定理得到，分别计算，，即可选出答案. 【详解】，所以方程的根为，不妨设，， 可知，故A正确； 由韦达定理知，所以，故C正确； 所以，因为，所以，故B错误； 时，，， 计算可得，， ，， 所以，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 点与点到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】确定直线与直线所成的角判断A；连接，由线面平行的判定判断B；由平面是否过的中点判断C；作出截面，再计算面积判断D作答. 【详解】对于A，在正方体中，，则为直线与直线所成的角或其补角， 连接AC，由平面ABCD，得，即在中，， 则不可能是直角，直线与直线不垂直，A错误； 对于B，连接，由，分别为，的中点，得， 又，则四边形是平行四边形，于是， 而四边形是正方体对角面，点为中点，有， 即平面，平面，平面，所以平面，B正确； 对于C，连接交于，显然不是的中点，则平面不过的中点， 即点C与点G到平面距离不相等，C错误； 对于D，由选项B知，，，即等腰梯形为平面截正方体所得的截面， ，等腰梯形的高， 所以等腰梯形面积为，D正确. 故选：BD 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确. 【详解】对于中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，A正确； 对于B，若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，B正确； 对于，在锐角中，，即. 故，C错误； 对于，在锐角中，由， ， 令，则， 易知函数单调递增，所以可得，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知中，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由数量积的定义有，然后代入数据即可求出，最后通过得到. 【详解】由数量积定义知： ， 所以. 故答案为：． 13. 如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________. 【答案】2 【解析】 【分析】取的中点，连接.根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理得到平面，由此证得.利用勾股定理求得的长. 【详解】取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查分析问题与解决问题的能力，属于基础题. 14. 如图，点A是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边，则四边形的面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，表示出的面积及的面积，进而表示出四边形的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解． 【详解】四边形的面积的面积的面积，设， 则的面积 的面积， 四边形的面积 ， 故当，即时，四边形的面积最大值为， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 四、解答题：共77分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 设复数在复平面内所对应的点为. （1）若点在直线上，求实数的值； （2）若点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】先由复数确定点的坐标，再根据条件求解.第(1)问解方程；第(2)问解一元二次不等式. 【详解】由题知，点. (1) 若点在直线上，则，. (2) 若点在第二象限，则 整理得，解得. 故实数的取值范围是. 16. 已知，. （1）若，求； （2）若与的夹角为，求； （3）若与垂直，求与的夹角． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由可得出的夹角为0或，再根据,即可求出； （2）先求出,再利用模长公式求解； （3）根据与垂直，即可得出，从而可求出，进而得出与的夹角． 【小问1详解】 ∵，∴与的夹角为或， ∴=; 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ，∴ ， 设与的夹角为， 则， ，∴ 17. 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． （1）求证：BE∥平面ADP； （2）求异面直线PA与CB所成的角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）60° 【解析】 【分析】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF，利用平行四边形证明BE∥AF即可； （2）取CD的中点G，连接AG，PG，可得∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，由等边三角形求解即可. 【小问1详解】 取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF， 则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD， 由已知AB∥CD且AB＝CD， 所以AB∥EF且AB＝EF， 所以四边形ABEF为平行四边形， 所以BE∥AF，而AF⊂平面ADP，BE⊄平面ADP， 所以BE∥平面ADP． 【小问2详解】 取CD中点G，连接AG，PG， 所以AB∥GC且AB＝GC， 所以四边形ABCG为平行四边形， 所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角， 由题意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°， 所以异面直线PA与CB所成的角的大小为60°． 18. 已知的内角的对边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角的范围分析运算； （2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理可得， 则， 可得， 整理得， 注意到，且，则，且， 可得或， 解得或（舍去）， 故. 【小问2详解】 若的平分线交于点，则， ∵，则， 即，整理得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的取值范围为. 19. 已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. （1）求证：； （2）过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的判定性质推理即得. （2）证明平面，再利用等体积法求出点到平面的距离即可. 【小问1详解】 连接，由，， 得， 在中，由余弦定理得， 则，于是，而平面， 因此平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 在中，由，，得，而平面， 平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 又，设点到平面的距离为，则， ，， ，， 由，得，即，解得， 所以点N到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠阳区第一中学高中部2023-2024学年第二学期 高一年级期中质量检测数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ） A. B. C. D. 6. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（ ） A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 7. 已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 点与点到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得的截面面积为 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知中，，，，则__________． 13. 如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________. 14. 如图，点A是半径为1半圆O的直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边，则四边形的面积的最大值为___________. 四、解答题：共77分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 设复数在复平面内所对应的点为. （1）若点在直线上，求实数值； （2）若点在第二象限，求实数取值范围. 16. 已知，. （1）若，求； （2）若与的夹角为，求； （3）若与垂直，求与的夹角． 17. 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． （1）求证：BE∥平面ADP； （2）求异面直线PA与CB所成的角的大小． 18. 已知的内角的对边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的取值范围． 19. 已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前，过M作的垂线，垂足为H，. （1）求证：； （2）过H作垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$