精品解析：上海市杨浦区2026-2027学年九年级数学第一学期期中考试卷

2026学年度第一学期初三期中练习卷 数学学科 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共23题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列函数中二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 在中，，，，下列结论中正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点、分别是边、上的点，那么下列条件中不能推得的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 6. 如图，在中，，于点，点、分别在边、上，满足．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中正确的是（ ） A. ①正确②错误； B. ①错误②正确； C. ①、②皆正确； D. ①、②皆错误． 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 如果，那么_____． 8. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么较长线段的长是_____． 9. 如果二次函数的图像有最高点，那么实数的取值范围是_____． 10. 已知抛物线上有两点、，那么_____．（填“>”、“＝”或“<”） 11. 平行四边形中，点是边的中点，与交于点，那么_______． 12. 如图，竖立在点处的标杆，某观察者站立在点处，从点处看到杆顶、树顶在同一直线上（点、、也在同一直线上）．已知，，人的眼睛离地面的距离，那么树高_______． 13. 已知一个二次函数有最小值，且此二次函数的图像与轴没有交点，那么该二次函数的表达式可以是_______．（写出一个即可） 14. 如图，已知中，，，点、分别在边、上，，，那么_______． 15. 如果在距地面高度处将一个物体以的速度竖直上抛，那么物体距地面高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以用函数表示．现将一个小球从距地面高度处竖直向上抛出，其函数图像如图所示．如果小球在抛出后（），恰好存在两个不同的的值，使这个小球距地面的高度均为（单位：），那么的取值范围是_______． 16. 定义：设抛物线的表达式为，对于该抛物线上除顶点外的任意一点，我们把的值称为点关于抛物线的轴距比．已知抛物线：()的顶点为，点、是该抛物线上异于顶点的两点，分别将点、点关于抛物线的轴距比记作与．如果且线段的长为，那么_______．(用含的式子表示) 三、解答题：（本大题共7题，满分86分） 17. 如图，在中，，，．求边的长及边上的高． 18. 如图，在中，点为边上一点，连接． （1）当满足什么条件时，？并说明理由． （2）在（1）的条件下，如果，，求的长． 19. 下表中列出了二次函数的一些对应值，根据表格回答下列问题． … … … … （1）直接写出表格中： ， ； （2）求这个二次函数的表达式； （3）根据二次函数的表达式及表格数据，估算方程的一个正实数根（结果精确到），并根据估算的正实数根，直接写出该方程的另一个负实数根． 20. 在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1． （1）如图1，在正方形网格图中，以一个小正方形的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，的三个顶点、、都在小正方形的顶点上．按要求完成下列问题： ① ； ②在图1中，请用无刻度直尺画出与关于原点位似的三角形，且它与的位似比是； （2）如图2，在正方形网格图中，一个三角形与位似，且它与的位似比为，已知点的对应点为点，点、、、都在小正方形的顶点上．在图2中，请用无刻度直尺画出这两个位似三角形的位似中心（即坐标原点）．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 21. 我们知道，三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心；三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心；三角形的三条高所在的直线交于一点，该点称为三角形的垂心． 已知：如图，点是锐角的垂心． （1）求证：； （2）分别连接、、，构成．有同学认为点是的内心，你同意这个说法吗？如果同意，只需证明平分即可；如果不同意，请说明理由． 22. 为研究纯电动汽车的能耗规律，某车企在排除温度、风速等环境变量，以及加减速等驾驶行为干扰后，对车辆匀速行驶下的能耗特征开展研究． 假设车辆在平直道路上以恒定车速（单位：）行驶时，其百公里能耗（即每行驶消耗的电能，单位：）由车速决定，二者满足二次函数关系．在理想条件下测得如下数据： 车速（单位：） 百公里能耗（单位：） 已知该款汽车的电池总容量为． （1）求关于的函数表达式； （2）在某次模拟真实场景的分段续航测试中，测试路线分为两段：路段（长度，设定车速在范围内匀速行驶）和路段（长度，设定车速在范围内匀速行驶）．假设车辆在每段路况中均保持设定的车速匀速行驶，求该车跑完这消耗的总电量的最大值和最小值； （3）在另一次模拟测试中，该车满电出发，同样跑上述的路线且各路段车速依然满足（）中范围限制．已知车辆在路段始终以的车速匀速行驶．若要在到达目的地时，车机屏幕显示的余电量不低于，求该车在路段匀速行驶的车速的取值范围？ 23. 如图，已知正方形的边长为，点是边上一点（不与点、重合），点在边上，，垂足为点，，垂足为点． （1）求的值；（用含的代数式表示） （2）连接并延长交射线于点． ①当点为中点时，求的值； ②当时，求的长．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度第一学期初三期中练习卷 数学学科 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共23题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列函数中二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断是否为二次函数即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、为一次函数，故本选项不符合题意； D、是反比例函数，故本选项不符合题意． 2. 将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为，由此可解． 【详解】解：∵将抛物线平移，使顶点移到点的位置， ∴所得新抛物线的表达式是． 3. 在中，，，，下列结论中正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据正弦、余弦的定义，分别计算逐一判断即可． 【详解】解：，，， 由勾股定理： A、，原式错误，故该选项不符合题意； B、，原式错误，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项符合题意； D、，原式错误，故该选项不符合题意． 4. 已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的图像与性质即可判断． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向下， ∴， 二次函数与y轴交于正半轴， ∴， 对称轴， ∴a、b异号， ∴， 故选：C． 5. 在中，点、分别是边、上的点，那么下列条件中不能推得的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】与有公共角，结合相似三角形的判定条件验证各选项即可． 【详解】解：和有公共角， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； 同理，由可得，结合，可推得，故C不符合题意； 由，无法得到夹的两边成比例，也无法推出另一组角相等，不能推得，故D符合题意． 6. 如图，在中，，于点，点、分别在边、上，满足．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中正确的是（ ） A. ①正确②错误； B. ①错误②正确； C. ①、②皆正确； D. ①、②皆错误． 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的余角相等，逐步推导等角，证明三角形相似，推出线段比例验证结论①；再借助相似比例，结合点在线段上的条件，化简分式验证结论②． 【详解】解：，， ， ，，， ， ， ，， ． ，， ， ． 又，， ，得， ，①正确． 由，得， 设，则，． 点在边上， ， ∴， ，②正确． 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分为1与已知比值的差，直接代入已知条件即可快速求解． 【详解】解：∵ 根据同分母分式的减法法则拆分所求分式， ， ∵ 已知， ∴ 代入已知比值计算 ． 8. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么较长线段的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】题干已明确为黄金分割对应的较长线段，无需分类讨论，直接结合黄金分割的定义，利用较长线段与原线段的固定比值代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且为较长线段， ∴． ∵， ∴． 9. 如果二次函数的图像有最高点，那么实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图像存在最高点的核心判定条件为抛物线开口向下，解题需结合二次项系数的符号要求推导的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图像有最高点时，抛物线开口向下，此时二次项系数小于0． ∴． 解得． 10. 已知抛物线上有两点、，那么_____．（填“>”、“＝”或“<”） 【答案】 > 【解析】 【分析】将A、B两点的横坐标代入抛物线解析式，计算对应函数值后比较大小． 【详解】∵ 抛物线的解析式为， ∴ 把代入解析式，得． ∴ 把代入解析式，得． ∵ ， ∴ ． 11. 平行四边形中，点是边的中点，与交于点，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形对边平行且相等的性质，结合E为中点的条件，可证得与相似，再利用相似三角形的面积比性质计算所求比值． 【详解】∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，． ∵ 点是边的中点， ∴ ，即． ∵ ， ∴ ，． ∴ ，相似比为． ∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴ ． 12. 如图，竖立在点处的标杆，某观察者站立在点处，从点处看到杆顶、树顶在同一直线上（点、、也在同一直线上）．已知，，人的眼睛离地面的距离，那么树高_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点  作  于点 ，交  于点 ，利用矩形的性质求出 、、 的长，再根据  列出比例式求出  的长，最后由  求解． 【详解】过点作于点，交于点． ，，， ． ， 四边形和四边形均为矩形 ． ，，． ． ． ， ． ． 即． ． ． 13. 已知一个二次函数有最小值，且此二次函数的图像与轴没有交点，那么该二次函数的表达式可以是_______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一，满足条件即可） 【解析】 【分析】需同时满足两个核心要求：二次函数开口向上（存在最小值），函数图像与轴无交点，据此构造符合条件的表达式即可． 【详解】∵二次函数有最小值， ∴抛物线开口向上，二次项系数． ∵抛物线与轴没有交点， ∴令时，对应的一元二次方程无实数根，即判别式． 取，，，得到函数表达式． 验证：该函数开口向上，最小值为；令，方程无实数根，即图像与轴无交点，符合题干要求． 14. 如图，已知中，，，点、分别在边、上，，，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质得到，结合三角形外角性质和已知条件推导出，进而证得，利用相似三角形对应边成比例求出的长，最后由求解． 【详解】， ， 是的外角， ， 又，，  ， ，  ， ， ，， ， ， ，  ，  ， ． 15. 如果在距地面高度处将一个物体以的速度竖直上抛，那么物体距地面高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以用函数表示．现将一个小球从距地面高度处竖直向上抛出，其函数图像如图所示．如果小球在抛出后（），恰好存在两个不同的的值，使这个小球距地面的高度均为（单位：），那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入函数解析式，利用配方法求出抛物线的顶点坐标及最大值，然后结合图象求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴函数解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为，最大高度为 当时， ∴由图象可得，a的取值范围是． 16. 定义：设抛物线的表达式为，对于该抛物线上除顶点外的任意一点，我们把的值称为点关于抛物线的轴距比．已知抛物线：()的顶点为，点、是该抛物线上异于顶点的两点，分别将点、点关于抛物线的轴距比记作与．如果且线段的长为，那么_______．(用含的式子表示) 【答案】 【解析】 【分析】先把抛物线化为顶点式，按“轴距比”的定义把比值化简成只含横坐标的式子，再由两个轴距比之和为得出两点横坐标的和，结合线段长确定两点坐标，最后用直角三角形的两条直角边求正切值． 【详解】解：把配方，得． 与定义中的比较，得，顶点为． 设抛物线上异于顶点的点，则，且． 由定义得． 把代入，得． 由得，又，故． 此时，即与轴平行． 由得，结合得、，或、，两种情形都有． 取、，过点作的垂线，垂足为(如图)，则． 由得，两条直角边的长都是正数． 在直角三角形中． 把、代入，得． 三、解答题：（本大题共7题，满分86分） 17. 如图，在中，，，．求边的长及边上的高． 【答案】， 【解析】 【分析】如图，过作于，由，设，则，可得，，，，过作于，进一步利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴， 解得：． ∴边上的高为． 18. 如图，在中，点为边上一点，连接． （1）当满足什么条件时，？并说明理由． （2）在（1）的条件下，如果，，求的长． 【答案】（1） ； 证明：∵， ∴； （2）9 【解析】 【分析】（1）添加条件，又因为，则可证明题目； （2）因为，可得，根据，设，列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， 设， 则 解得(负值舍去）， ∴． 19. 下表中列出了二次函数的一些对应值，根据表格回答下列问题． … … … … （1）直接写出表格中： ， ； （2）求这个二次函数的表达式； （3）根据二次函数的表达式及表格数据，估算方程的一个正实数根（结果精确到），并根据估算的正实数根，直接写出该方程的另一个负实数根． 【答案】（1）， （2） （3）正实数根约为，负实数根约为 【解析】 【分析】（1）由表格中函数值相等的两点确定对称轴，再用关于对称轴对称的两点函数值相等求、； （2）把表格中的两组对应值代入一般式，用待定系数法解出系数； （3）用函数值变号的两个相邻自变量值夹出正实数根的近似值，再由根与系数的关系求另一个负实数根． 【小问1详解】 解：∵当与时，的值都是． ∴对称轴为直线． ∵与关于直线对称． ∴． ∵与关于直线对称． ∴． 【小问2详解】 解：设二次函数的表达式为． 把，代入，得． 把，代入，得． 把代入后一式，得． ∴，． ∴二次函数的表达式为． 【小问3详解】 解：方程的根就是时的值． 当时，． 当时，． ∵，且． ∴正实数根约为（精确到）． 设方程的两根为、，由根与系数的关系得． 把代入，得． ∴另一个负实数根约为． 20. 在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1． （1）如图1，在正方形网格图中，以一个小正方形的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，的三个顶点、、都在小正方形的顶点上．按要求完成下列问题： ① ； ②在图1中，请用无刻度直尺画出与关于原点位似的三角形，且它与的位似比是； （2）如图2，在正方形网格图中，一个三角形与位似，且它与的位似比为，已知点的对应点为点，点、、、都在小正方形的顶点上．在图2中，请用无刻度直尺画出这两个位似三角形的位似中心（即坐标原点）．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】（1）①；②如图即为所求： （2）如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理求出，即可求解；②先分别连接、、，再分别延长使得、、，最后依次连接、、，即可求解； （2）分别取格点、，使得，，再连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：①， ； ②略 【小问2详解】 略 21. 我们知道，三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心；三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心；三角形的三条高所在的直线交于一点，该点称为三角形的垂心． 已知：如图，点是锐角的垂心． （1）求证：； （2）分别连接、、，构成．有同学认为点是的内心，你同意这个说法吗？如果同意，只需证明平分即可；如果不同意，请说明理由． 【答案】（1）证明：点是锐角的垂心， ，， ， ， ， ， ； （2）同意， 证明：点是锐角的垂心， ，，， ， 、、、四点共圆，、、、四点共圆， ，， ，， ， ， 平分． 【解析】 【分析】（1）根据点是锐角的垂心可得，证明得到，即可得证； （2）根据三角形垂心的定义可得，，，则，推出、、、四点共圆，、、、四点共圆，根据圆周角定理可得，，根据三角形的内角和定理可得，推出得到平分，即可判定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为研究纯电动汽车的能耗规律，某车企在排除温度、风速等环境变量，以及加减速等驾驶行为干扰后，对车辆匀速行驶下的能耗特征开展研究． 假设车辆在平直道路上以恒定车速（单位：）行驶时，其百公里能耗（即每行驶消耗的电能，单位：）由车速决定，二者满足二次函数关系．在理想条件下测得如下数据： 车速（单位：） 百公里能耗（单位：） 已知该款汽车的电池总容量为． （1）求关于的函数表达式； （2）在某次模拟真实场景的分段续航测试中，测试路线分为两段：路段（长度，设定车速在范围内匀速行驶）和路段（长度，设定车速在范围内匀速行驶）．假设车辆在每段路况中均保持设定的车速匀速行驶，求该车跑完这消耗的总电量的最大值和最小值； （3）在另一次模拟测试中，该车满电出发，同样跑上述的路线且各路段车速依然满足（）中范围限制．已知车辆在路段始终以的车速匀速行驶．若要在到达目的地时，车机屏幕显示的余电量不低于，求该车在路段匀速行驶的车速的取值范围？ 【答案】（1）（或） （2）总耗电量最大值为，最小值为 （3）（单位：） 【解析】 【分析】（1）由表格中对称的两组数据定出顶点，设顶点式后用待定系数法求系数； （2）把两段路程按长度折算成百公里能耗的倍数，分别求两段的最大值与最小值，再合成为总电量的最值； （3）由余电量的下限反推出总耗电量的上限，固定第二段车速后解关于第一段车速的不等式，最后与题给范围取公共部分． 【小问1详解】 解：∵当与时，都是；当与时，都是． ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为． 设． 把，代入，得． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：设、路段的百公里能耗分别为、 第一段长，第二段长，故总耗电量为． 当时，在处取最小值，在处取最大值． 当时，随增大而增大，最小值为，最大值为． ∴的最大值为． ∴的最小值为． ∴总耗电量最大值为，最小值为． 【小问3详解】 解：第二段车速恒为，耗电． ∵余电量不低于， ∴总耗电量． ∴． 即，． ∴． ∵第一段车速满足， ∴． 23. 如图，已知正方形的边长为，点是边上一点（不与点、重合），点在边上，，垂足为点，，垂足为点． （1）求的值；（用含的代数式表示） （2）连接并延长交射线于点． ①当点为中点时，求的值； ②当时，求的长．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）证明，则，可得； （2）①连接，分别证明和，设，则可得，，在中，根据勾股定理列方程，得，则，进而题目可解； ②延长交于，由，得为的黄金分割点，故，证明，，则 ，由，可证，，得，则为的黄金分割点，故，则可证，进而可得，． 【小问1详解】 解：由正方形的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则； 【小问2详解】 解：①连接， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， 在中， ， ， 解得， ∴， ∴； ②延长交于， ∵， ∴为的黄金分割点， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则， 得， 则为的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $