精品解析：上海市杨浦区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

杨浦区2025学年第一学期初三年级期中质量调研 数学试卷 （满分100分，完卷时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1. 已知，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点分别在边上，，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中一定相似的图形是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 4. 已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点在边上，，，点在边上，，线段与线段交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：___________． 8. 已知锐角，如果，那么_______． 9. 如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____． 10. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 11. 已知在中，点、分别在边、上，，且经过的重心，那么___________． 12. 如图，已知直线，那么___________． 13. 如图，已知小丽的身高是米，他在路灯下的影长为米，小丽距路灯灯杆的底部米，那么路灯灯泡距地面的高度是___________米． 14. 如图，已知中，，正方形的顶点、分别在边、上，、在边上，如果，那么___________． 15. 如图是一个圆形零件的剖面图，已知零件的外直径为25毫米，为求出它的壁的厚度，需知内孔的直径，但由于不能直接量出，因此用一个交叉卡钳（和的长相等）去量．如果，且量得长为7毫米，那么零件的壁的厚度是___________毫米． 16. 如图，点、分别在的边、上，．如果，，那么的值是___________． 17. 如图，在中，，点在上，，，，那么边___________． 18. 如图，在中，，，，是斜边的中线，绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点在射线上，射线与边交于点，那么的长是___________． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 计算：． 20. 如图，已知中，边、上的中线、相交于点，已知，． （1）试用和表示，即___________ （2）连接，并在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（写出结论，不要求写作法）． 21. 如图，梯形中，，对角线与相交于点，延长至点，满足．求证：． 22. 如图，已知中，，求边的长． 23. 已知：如图，在中，点是边上的一点（不与点重合），，点是边上一点，． （1）求证：； （2）连接，如果平分，求证：． 24. 探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 25. 已知在正方形中，点是边上一点，点关于直线的对称点是点． （1）如图1，如果点在对角线上，求的值； （2）如图2，延长交边于点． ①求证：； ②过点作交边于点，连接、，如果与相似，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区2025学年第一学期初三年级期中质量调研 数学试卷 （满分100分，完卷时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1. 已知，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质．比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答． 【详解】解：∵，∴，则A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意； ∵， ∴设，则， （仅当时成立），则C选项错误，不符合题意； （仅当时成立），则D选项错误，不符合题意； 故选：A． 2. 在中，点分别在边上，，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；根据相似三角形的性质与判定可依次排除选项． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴若添加，无法得到，则无法得到；故A不符合题意； 若添加，无法得到，则无法得到；故B不符合题意； 若添加，则有，所以，所以，所以，所以；故C选项符合题意； 若添加，无法得到，则无法得到；故D不符合题意； 故选C． 3. 下列图形中一定相似的图形是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】A、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意； B、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意； C、两个等腰梯形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 4. 已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选：D． 6. 如图，在中，点在边上，，，点在边上，，线段与线段交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，如图所示： ∵， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∴，，； 综上所述：错误的是C选项； 故选C． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量的线性运算，需要运用分配律和合并同类向量的方法进行简化． 【详解】解： ， ； 故答案为． 8. 已知锐角，如果，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，根据，画图设，则，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为： 9. 如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____． 【答案】1:4 【解析】 【详解】分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据对应角平分线的比等于相似比解答． 详解： ∵两个相似三角形的周长之比1：4， ∴它们的相似比是1：4， ∴它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4． 故答案为1：4． 点睛：考查对相似三角形性质的理解：请理解和熟记以下知识点： （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 10. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 11. 已知在中，点、分别在边、上，，且经过的重心，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及重心的性质是解题的关键；由且经过重心，根据重心性质和平行线分线段成比例定理，可得，从而，由相似三角形性质得． 【详解】解：设中线交于，则在上，如图所示： ∴， ∵，且在上， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 12. 如图，已知直线，那么___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为10． 13. 如图，已知小丽的身高是米，他在路灯下的影长为米，小丽距路灯灯杆的底部米，那么路灯灯泡距地面的高度是___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：结合题意画出图形得：， ， ， ， 小明的身高为米，他在路灯下的影子长为米；小明距路灯杆底部为米， ，，， ， 解得：， 则路灯灯泡距地面的高度是米． 故答案为：． 14. 如图，已知中，，正方形的顶点、分别在边、上，、在边上，如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数．根据已知条件证明，根据对应边成比例列出等式，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图是一个圆形零件的剖面图，已知零件的外直径为25毫米，为求出它的壁的厚度，需知内孔的直径，但由于不能直接量出，因此用一个交叉卡钳（和的长相等）去量．如果，且量得长为7毫米，那么零件的壁的厚度是___________毫米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为25毫米，即可求得x的值． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∵的长为7毫米， ∴的长为21毫米， ∵零件的外径为25毫米， ∴零件的厚度为∶(毫米)， 故答案为：2． 16. 如图，点、分别在的边、上，．如果，，那么的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活利用相似三角形的性质是解题的关键． 先证明可得，设，则，进而得到、，再根据列方程求得k的值，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，，即， ∵，，， ∴，解得：或（不合题意舍弃）， ∴． 故答案为：2． 17. 如图，在中，，点在上，，，，那么边___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．过点，分别作，于点，，证明，求得，设，，则，，根据，求得，得到，在中，由勾股定理列式计算即可解答． 【详解】解：如图，过点，分别作，于点，， ， ， ， 设，，则，， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理得， 解得， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，是斜边的中线，绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点在射线上，射线与边交于点，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、直角三角形斜边中线定理、三角函数及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、直角三角形斜边中线定理、三角函数及勾股定理是解题的关键；根据三角函数可得，，，，由旋转的性质可知：，分别过点F、G作，垂足分别为H、Q，然后可得，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵是斜边的中线， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴，即， 分别过点F、G作，垂足分别为H、Q，如图所示， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解∶ 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和分母有理化，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 20. 如图，已知中，边、上的中线、相交于点，已知，． （1）试用和表示，即___________ （2）连接，并在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（写出结论，不要求写作法）． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义、三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质、向量的运算等知识点，理解向量的运算法则是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义可知，然后再根据向量的和差运算即可解答； （2）由三角形重心的性质可得，如图：过G作，易证可得，则，即，同理可得，进而即可得解． 【小问1详解】 解：∵在中，边、上的中线、相交于点，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵在中，边、上的中线、相交于点， ∴， 如图：过G作， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得：． ∴向量分别在、方向上的分向量分别为，． 21. 如图，梯形中，，对角线与相交于点，延长至点，满足．求证：． 【答案】 证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质得到，结合题意得到，，证明，推出，据此即可得到答案． 【详解】略 22. 如图，已知中，，求边的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示： ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知：如图，在中，点是边上的一点（不与点重合），，点是边上一点，． （1）求证：； （2）连接，如果平分，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） 证明：如图：过点A作交延长线于点G，与相交于H， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再根据三角形外角的性质、角的和差以及等量代换可得，然后根据两组角对应相等的三角形相似即可证明结论； （2）如图：过点A作交延长线于点G，与相交于H，先证明可得，再通过证明并结合可得，进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】问题情境：； 问题探究：所作如图所示： 问题拓展： 所作如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图，熟练掌握平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图是解题的关键； 问题情境：根据“平行线间的距离都相等”可进行求解； 问题探究：先得出四边形的面积，然后根据等积法可进行作图； 问题拓展：根据平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图． 【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底， ∴与面积相等的三角形是； 故答案为； 问题探究：由网格可知：， ∴， 问题拓展：分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 25. 已知在正方形中，点是边上一点，点关于直线的对称点是点． （1）如图1，如果点在对角线上，求的值； （2）如图2，延长交边于点． ①求证：； ②过点作交边于点，连接、，如果与相似，求的值． 【答案】（1） 的值为； （2） 证明：连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点关于直线的对称点是点， ∴垂直平分线段， ∴， ∴，， ∴， 设，， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 的值为或． 【解析】 【分析】（1）连接，由已知可得垂直平分线段，可得，，可证明，由正方形的性质可得，从而可得，由勾股定理可得，可得，从而可得的值； （2）连接，，由已知可得垂直平分线段，由正方形的性质，结合线段垂直平分线的性质，可得，，可得，，设，，由四边形的内角和可得，从而可得，可证明，可得，即可证得结论；由正方形的性质，结合已知可得，如果与相似，那么或，分类讨论：当时，由（1）所得结论，结合线段之间的关系可得的值；当时，由已知可得，，由三角形相似的性质，结合角平分线的性质，可得，由平行线分线段对应成比例，可得，证明，可得，可得，即可得的值． 【小问1详解】 解：连接， ∵点关于直线的对称点是点， ∴垂直平分线段， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【小问2详解】 解：略 如图所示， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 如果与相似，那么或， 当时，，点在对角线上， 由（1）得， 设，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为，则点到的距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，同角的余角相等，勾股定理，平行线分线段对应成比例，四边形的内角和，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $