上海市民办新北郊初级中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026学年第一学期九年级数学期中试卷 (满分150分时间100分钟) 考生注意： 1,本试卷共23题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本 试卷上答题一律无效 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤， 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列函数中哪个是二次函数（▲) 3 (A1y=x(2x-1)(B)y= x(c)y=x2 (D)y=(x+)x 2.己知(-3，y)入、(0，y2)和(1，为)都在抛物线y=(x+2)2上，那么片、乃和为的大小 关系为（▲） （A)<y2<为 (B)片<为< (C)为>2>为(D)>为>2 3.已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断△ABC与△ADE 相似的是（▲) (A)AEAD (B)AE、AD (C)AB、BD (D)DE_AD EC DB AC AB AC EC BC AB 4.如图，矩形0ABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位 似中心，将这个矩形按相似比二缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（▲) (A)(9,4) (B)(4,9) 5.已知线段a、b、c,求作线段x使x=a .下列作图方法中(AB∥CD)不合理的是（▲） aA x C x A cC (A) (B2 m 6.如图，已知开口向下的抛物线y=a2+bx+c与x轴交于点(6,0)，对称轴为直线x=2.则下 列结论；①abc<0:②1-b+c>0:③4ac>b2:④抛物线上有两点P(x,)和2(：，2)， 若x<2<x2且x+x2>4,则y>y2,其中正确结论的个数是（▲ (A)1(B)2(C)3(D)4 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7.已知二次函数y=x2对称轴是▲ 8.抛物线y=(x-1)2+3与y轴的交点是▲ 9.己知点P是线段AB的黄金分割点，AB=2厘米，则较长线段AP的长是▲厘米 10.如图，.直线AD∥EB∥FC,如果DE=2EF,AC=9,那么AB长是4， 九年级数学第1页共4页 巴年 1.如图，己知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB,如果二=名，那么4E EC 3 6 0123 第4题图 第6题图 12.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC=2BE,联结AE交BD于点F, 若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为▲ 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AD=2,BD=1,则CD=· B E D BB D E 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，矩形DEFG内接于△ABC,BC=6cm,DE=3cm,EF=2cm,则BC边上的高的长 是▲_cm. 15.如图，已知梯形ABCD中，ADIIBC,AD=1,BC-=2,E、F分别是边AB、CD上的点，且 ERBC,如果四边形ABFD与四边形EBCF相似，那么仁的值是人 EB 16.对于一个二次函数y=a(x-m)2+h（a≠0)图像上存在一点P(x',y),并且满足 x'-m=y-h≠0，则称3引x'-m为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=x2-4x+5的“开 口大小“为▲· 三、解答题：（本大题共7题，17、18每题10分，19、20、21每题12分，22题14分，23题 16分，满分86分) 17.(本题共10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分) 已知a、b满足只= 是23 （1)求a+也的值： a-b (2)若a+b=10,线段a是线段x和线段b的比例中项，求线段x的长度. 18.(本题共10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分) 已知一个二次函数的图像经过点A(1,0)、B(0,3)、C(3,0). (1)求这个二次函数的表达式： (2)直接写出抛物线开口方向、对称轴、项点坐标以及图像的变化规律， 九年级数学第2页共4页 露巴全年 19.(本题共12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+2x+m+1经过点B（-1,0), (1)求m的值以及抛物线上点B关于对称轴的对称点坐标： (2)将该抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求n的值. 20.(本题共12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分) 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. (I)求证：△ABC∽△ADE: (2)判断△ABD与△ACE是否相似？并证明. 21.(本题共12分，第（1)小题6分，第(2)小题6分) 如图，在Rt△ABC中，LABC=9O°，点D在边AC上，过点D作DE垂直AC交AB于点E, 联结EC、BD交于点F. (I)求证：△ABD∽△ACE: (2)如果BC=BE,求证：BE2=BF.BD, D C 第20题图 第21题图 22.(本题共14分，第(1)①小题4分，②小题5分，第（2)小题5分) 在“抛物线和投篮命中率”的综合实践课上，小杨在距篮下4米处跳起投篮，如图1，球 运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离 是3.5米，然后准确经过篮筐中心点，空心入网，己知篮圈中心点到地面的距离为3.05米。 （1)在图1中建立平面直角坐标系，回答下列问题， ①求此抛物线的表达式： ②如果小杨的身高是1.75米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地 面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位同学小李跳起投篮，已知球出手时离地面 20米，与 篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离 是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ y◆ 3.5米 3.05米 4米 13.05米 -2.5米 -4米 4米 1米 第22题图1 第22题图2 九年级数学第3页共4页 藏®全年 23.(本题共16分，第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题6分) 如图，在△ABC中，己知AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点，BD=2,E是BC上一动 点，联结DE,并作∠DEF=∠B,射线EF交线段AC于F. (1)求证：△DBE∽△ECF: (2)当F是线段AC中点时，求线段BE的长： (3)联结DF,如果以D、E、F为顶点的三角形与以D、B、E为顶点的三角形相似，求FC 的长. A 6 D D B E 第23题图 备用图 用生 2026学年第一学期九年级数学期中考试 请在各题的 答题纸 2026.11 18. 解：( 学 校 班 级 贴条形码区 姓 名 准考证号 (2) 正确填涂 1.答题前，请先将自已的姓名、学校、班级填写清楚，并认真 填 注 核准条形码上的信息。 开口方向： ■ 涂 错误填涂 意 2.选择题部分必须使用28铅笔填涂：非选择题部分使用黑色 样 字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 事 顶点坐标： 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域 例 ☑☒▣ 0p旦 项 书写的答案无效：在草稿纸、练习卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。 图像的变 、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1 3NB田网 圆 4 I 田☒画 5四四☒四 6四 ) 19.解： 二、 填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分) 7. 8. 9. 10. 11 12. 13 14 15 16 (2)解 三、解答题：（本大题共7题，17、18每题10分，19、20、21每 题12分，22题14分，23题16分，满分86分) 17.解：（1) (2) 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请有 蘭用m三 期九年级数学期中考试 掳在各恶的答圈区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效 请在各题的咨周区域内作答，超出黑色炬形边框限定区域的咨案无效 答题纸 2026.11 18.解：(1) 20.(1)证明： 贴条母区 (2) 自已的姓名、学校、斑级填写清楚，并认真 开口方向： 对称轴： 第20图图 包. 使用2B铅笔填涂：非选择恶部分使用耳色 笔或签字馆书写，宇体工鉴、笔迹清楚， 顶点坐标： 各愿目的答思区域内作答，超出答愿区域 在草积纸、练习卷上答无效， (2)解： 折叠。不破损， 图像的变化规律： 分，满分24分) 30田网 四 6 w 四 19.解：(1) 4分，满分40分) 9. 21.证明：(1) 12. 15 D (2)解： 题10分，19、20、21每 B 86分) 第21题图 域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答愿区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 甲 请在各题的答题区域内作答，超出思色矩形边棍限定区域的答案无效 22.解：(1)①： y个 3.5米 3.05米 2来 第22题图1 ② 4米 3.05米 0 米 米 第22题图2 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 髑里理全王 请在各题的答题区城内作答，超出煎色矩形边限限定区城的答案无效 23.解：(1) D 入 B 第23画图 (2) D B C- 备用图 (3) A D B 备用图 A D B C 备用图 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 覆巴2026学年第一学期九年级数学期中试卷 (满分150分时间100分钟) 考生注意： 1,本试卷共23题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本 试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤. 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列函数中哪个是二次函数（▲) (A)y=x(2x-1)(B)y= 4x(C)y=x2(D)y=(x+12-x2 3 2.己知(-3，y入、(0，以2)和(1，为)都在抛物线y=(x+2)2上，那么、为2和为的大小 关系为（▲） (A)片<<为(B)片<为< (C)为>2>为(D)片>为>2 3.已知△ABC中，D、E分别限边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断△ABC与△ADE 相似的是（▲） (A)AE AD (B)AE_AD (c)AB BD (B)DE_AD EC DB AC AB AC EC BC AB 4.如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),，A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位 似中心，将这个矩形按相似比。缩小，则顶赏B在第。象限对应点的坐标是（▲) (A)(9,4) (B)(4,9) 5.已知线段a、b、c,求作线段x使x=a .下列作图方法中(AB∥CD)不合理的是（▲) h aA x C x A cC (A 6.如图，已知开口向下的抛物线y=a2+bx+c与x轴交于点(6,0)，对称轴为直线x=2.则下 列结论；①abc<0:②a-b+c>0:②4ac>b2:抛物线上有两点P(x,)和2(：2，y), 若x<2<x2且x+x2>4,则y>y2,其中正确结论的个数是（▲ (A)1(B)2(C)3(D)4 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7.已知二次函数y=x2对称轴是▲ 8.抛物线y=(x-1)2+3与y轴的交点是▲ 9.己知点P是线段AB的黄金分割点，AB=2厘米，则较长线段AP的长是▲厘米， 10.如图，.直线AD∥EB∥FC,如果DE=2EF,AC=9,那么AB长是4· 九年级数学第1页共4页 甲年 9 1.如图，已知AD为△1BC的角平分线，DE∥B,如果5-号那么4 3 EC 3 AB =△专 2号 A 6:1o 61 0123 D 第4题图 第6题图 第蜊輝飚图 12.如图，在平行四边形ABCD中，点E,在边BC上，EC=2BE,联结AE交BD于点F, 若ABFE的面积为2，则△MFD的面积)'▲ 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AD=2,BD=1,则CD= 16 A是2/ 时五 DT B B D 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，矩形DEFG内接于△ABC,BC=6cm,DE=3cm,EF=2cm,则BC边上的高的长 是▲cmi. 15.如图，己知梯形ABCD中，ADIIBC,AD=1,BC=2,E、F分别是边AB、CD上的点，且 EFBC,如果四边形ABFD与四边形EBCP相似，那么二的值是▲ :9,41 EB 16.对于一个二次函数y=a(x-m)2+h(a≠0)图像上存在一点P(x',y),并且满足 (X23123 x-m=y-h≠0，则称3引x-m为该抛物线的开口大小”，那么抛物线y=x2-4x+5的“开y7 口大小"为△· 川±门 (Xy45) 2 X-:×4X4 三、解答题：（本大题共7题，17、18每题10分，19、20、21每题12分，22题14分，23题/x,24× 16分，满分86分) =平6 X.2:12网 17.(本题共10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分) B'}X“6☑ 已知a、b满足0=b X29X141)-子) 23 （1)求a+也的值： X〔T16o a-b b4<是 (J(x-3) (2)若a年b10,线段a是线段x和线段b的比例中项，求线段x的长度， X=22÷3 18.(本题共10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分) 482 已知一个二次函数的图像经过点A(1,0)、B(0,3)、C(3,0)· (1)求这个二次函数的表达式： X之3济-3 (2)直接写出抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标以及图像的变化规律， 九年级数学第2页共4页 腾巴日全年 19.(本题共12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+2x+m+1经过点B(-1,0), (1)求m的值以及抛物线上点B关于对称轴的对称点坐标： (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求n的值. 20.(本题共12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分) 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. (I)求证：△ABC∽△ADE: (2)判断△ABD与△ACE是否相似？并证明. 21.（本题共12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分) 如图，在Rt△ABC中，LABC=9O°，点D在边AC上，过点D作DE垂直AC交AB于点E, O.联结EC、BD交于点F. 22y0 (1)求证：△ABD∽△ACE: (2)如果BC=BE,求证：BE2=BF.BD, BP 所 D 3.5 0.5 E 3.5 0.k o45 D C 第20题图 第21题图 22.(本题共14分，第(1)①小题4分，②小题5分，第(2)小题5分) 在“抛物线和投篮命中率”的综合实践课上，小杨在距篮下4米处跳起投篮，如图1，球 运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离 是3.5米，然后准确经过篮筐中心点，空心入网，己知篮圈中心点到地面的距离为3.05米。 (1)在图1中建立平面直角坐标系，回答下列问题， 6.5 1.J 0. 5以5 ①求此抛物线的表达式： /5。 52公 t.75 ②如果小杨的身高是1.75米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地 面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位同学小李跳起投篮，己知球出手时离地面 20米，与 篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离 是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ y◆ 3.5米 3.05米 4米 13.05米 2.5米 -4米 4米 一1米 第22题图1 第22题图2 九年级数学第3页共4页 馨国生手 13:98· 23.(本题共16分，第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题6分) 如图，在△ABC中，已知AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点，BD=2,E是BC上一动 点，联结DE,并作∠DEF=∠B,射线EF交线段AC于F. (1)求证：△DBE∽△ECF: (2)当F是线段AC中点时，求线段BE的长： (3)联结DF,如果以D、E、F为顶点的三角形与以D、B、E为顶点的三角形相似，求FC 的长. D 2 0E5丁- B 第23题图 备用 千t 2 口B Ec E C 2 I-m -a Di BE cF 云等 2 sa-a' sa. 1o-2a ep De BE Sa、a7 PE 2 10a-2a-与(oa-2a2 "FE ak 用全于 房的 2026学年第一学期九年级数学期中考试 请在各题 计识 答题纸 2026.11 18.解：( 学、校 班 级 14ok73以 贴条形码区 姓 名 1361:1o以 准考证号 (2) 正确填涂 1.答题前，请先将自已的姓名、学校、班级填写清楚，并认真 填 注 核准条形码上的信息。 开口方向： ■ 意 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂：非选择题部分使用黑色 错误填涂 套 字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 事 顶点坐标： 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域 例 ☑☒而 ①吧旦 项 书写的答案无效：在草稿纸、练习卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。 图像的变 减小 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 2☑田网四 3 A] 田网 面 A 田 6四 19.解： 填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7. 8.(0,4) (下-) 10 11 12 13 16 (2)解 三、解答题：（本大题共7题，17、18每题10分，19、20、21每 题12分，22题14分，23题16分，满分86分) 17. 解：1线马=kcko ·.A=k,b=3k :0地.2k+36 ab- ≥k-名k (2) 沒殳=专：k() .a=4b6 0=2地，b3k 线级0邑尘8今线赵b此中边 .atb-lo .a=x.b :2+=0 62x6 %:8x0号 '=0 =2 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请右 霸®m性 期九年级数学期中考试 请在各题的答圈区城内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效 请在各思的咨期区战内作答，超出黑色矩形边框限定区域的咨案无效 答题纸 2026.11 18.解：(1) 设2=a(t-)x-3(ato) 20.（1)证明： ·:∠1=L2 (0.) L儿3=u3 2BAL6D9. .0(-0←3)=3 :方。BcDe中 贴条区 4=/ S2BAC=-D4E y2米- 少之44 l上A6 3y24+3 ·o9gci4b. (2) 自己的姓名、学校、班级填写清苑，并认真 开口方向： 自上 对称轴： 球±不=之 第20▣图 使用28相馆填涂：非选择题部分使用耳色 笔或签字馆书写，字体工整、笔迹清楚， 顶点坐标： 出时(2,1) 各愿目的答愿区域内作答，超出答愿区域 在草稿纸、练习卷上答趣无效， 折叠，不破损， 图像的变化规律： 出22以评在秘达幽埃场 2)解*8 减小.当《>2.火地移减绵尿常大 ·.∵ecop22证) 分，满分24分) 3 团田的道 船差 e m 6▣ 19.解：(1) ,∠1=2 4分，满分40分) B(1.o)代y2+n :ABA7M△CAe 4☆1-2m*H-司 9. 5-1 2-71=0 1-2 21.证明：(1)RBLBC 4DLB此.∠hE:LB%= 12 诗X+十忆 m以的为2 :有P帥E平。奶L d的为五线=-2 52161 B品谢纳为13) bApt=tAt吊 D .:OADEO48C. (2)解： 9712 “毙袋 (497t4)1 ∠1=4 题10分，19、20、21每 △BDuoAC. 86分) 3y(X+以1 第21题图 y:++22 (2) :ABDoAcE .acBFuobB c 心入。. .22=23 器给影 (2-221p ÷3舛一 C2-w1 Bc胱 器爱 ..c:cq Bc-BE 干线愍b比对中站 .il12=3 .cE8c △c就是等源点有指的 等毙 448g204r小Be6f0 线烈5号 右cf-D8c中 (5=5 ∠=L4 域的答案无效 请在各题的答愿区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 霸甲 请在各题的答题区域内作答，超出思色矩形边框限定区域的答案无效 22.解：（1)①： 由☑和，把斗车g(25,3.)边过点4,3.5) 次么=a(久-254.5(ao 入l4.以8a1.5+35s3.5 2.254=3.5-3 3.5米 x.2S0=-0.45 3.05米 0c0.2 .=0.2(X-55产5 第22题图1 ② 省0以少-讨动=啸. 35+B-0215 25-17-o05() 外伦跳想，地6碰8大 （2）y-t达. 由2可知.孩扰4约线h能为49)(0，) A 3:y=a(r-g)+4.(a+o) 入(o) 4米 3.05米 6a+4:号 6:兴 4米 第22题图2 a=96 a有 :.7(t-44 为7时-承4：3 :3.5米>3咪) ·入能 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 髑®理全王 销在各题的答题区城内作答，超出煎色矩形边咫限定区城的答案无效 23. 解： (0):AB=8℃ ..cB=cc .d2B LB∠C Z3th+3=尿，+l9=8,tcz9k:8 L3c.)9 D apBtmaecp 入 第2陋图 (2) 的A(中 Q=2.az=3 .AF-cf-tAc-3 d0)g△BEualcf :gE=2主E2 设B为4.2☒cE-5-4. :oDgt∽uect D 竖导 B 合学 备用图e S-a26 -a45a-6-0 a25a+6-0 (3) 1'ADB△be.月) 电5 A bC②%LB:L1-C,△DBEvotof. apBtwobepwoeo 38B为a.心为. D sa-a .PB =6C 1 BE cF 5a-4 B 4 备用國】 S-G ..Fc=saq 2 2 54-a28 ODBEaEfo -a154-80 62-5at80. .L4∠B4∠ (o/ 6红z9 .:L1=LB-LC=E-)43=13529= ∴.C(=5 府D= 5-=2 2 sa-a=q -a544 各用图C-生2 0上c4f4-0 a=1.ac 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 餐田扫全任 2026 学年第一学期九年级数学期中试卷 参考答案 说明：选择题、填空题只给结果；解答题给出关键步骤与最终结果。 一、选择题（每题 4 分，共 24 分） 1. A　（，是二次函数） 2. A　（，，，故 ） 3. D 4. D　（B(3, 2) → ） 5. C　（图 C 中 PA=c、PB=x、PC=a、PD=b，由相似得 ，不是 ） 6. C　（①②④正确，③错误，共 3 个） 二、填空题（每题 4 分，共 40 分） 7. 直线 （即 y 轴） 8. (0, 4) 9. 10. 6 11. 12. 18 13. 14. 4 15. 16. 3 三、解答题（共 86 分） 17. （1）设 （≠0），则 ，， 。 （2）由 得 ，所以 ，。 因为线段 a 是线段 x 和线段 b 的比例中项，所以 ，即 ，解得 。 18. （1）设 。把 B(0, 3) 代入得 ，所以 ， ，即 。 （2）开口方向：向上；对称轴：直线 ；顶点坐标：(2, −1)； 变化规律：当 时，y 随 x 的增大而减小；当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 取得最小值 −1。 19. （1）把 B(−1, 0) 代入得 ，解得 。 此时 ，对称轴为直线 ， 点 B(−1, 0) 关于对称轴的对称点为 (−3, 0)。 （2）向右平移 n 个单位后，。 因新抛物线经过原点，把 x=0、y=0 代入得 ，解得 或 。 20. （1）证明：因为 ∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，且 ∠BAD=∠CAE， 所以 ∠BAC=∠DAE。又 ∠ABC=∠ADE， 所以 △ABC∽△ADE。 （2）△ABD 与 △ACE 相似。 证明：由 △ABC∽△ADE 得 ，即 。 又 ∠BAD=∠CAE， 所以 △ABD∽△ACE。 21. （1）证明：因为 DE⊥AC，所以 ∠ADE=90°。又 ∠ABC=90°，∠DAE=∠BAC， 所以 △ADE∽△ABC，得 ，即 。 又 ∠BAD=∠CAE（AD 在 AC 上，AE 在 AB 上）， 所以 △ABD∽△ACE。 （2）证明：由（1）得 ∠ABD=∠ACE。 因为 ∠ABC=90°，BE=BC，所以 △EBC 是等腰直角三角形，∠BEC=∠BCE=45°， 故 ∠BEF=∠BEC=45°。 设 ∠BAC=α，则 ∠ACE=∠ACB−∠ECB=(90°−α)−45°=45°−α， 所以 ∠ABD=45°−α，∠ADB=180°−α−(45°−α)=135°， 又 A、D、C 在同一直线上，DE⊥AC，故 ∠BDE=90°−(180°−135°)=45°。 在 △BFE 和 △BED 中，∠EBF=∠DBE，∠BEF=∠BDE=45°， 所以 △BFE∽△BED，，即 。 22. （1）① 以 O 为原点、水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴建系。 抛物线顶点为 (2.5, 3.5)，设 。 把篮筐中心点 (4, 3.05) 代入得 ，， 所以 ，即 。 ② 当 时，，即球出手时离地 2.25 米。 球在头顶上方 0.25 米，头顶离地 2.25−0.25=2（米）， 所以跳离地面的高度为 2−1.75=0.25（米）。 （2）不能投中。 设 ，把出手点 代入得 ，， 所以 。 当 时，（米），而篮筐中心离地 3.05 米， 球比篮筐中心低 0.05 米，故不能投中。 23. （1）证明：因为 AB=AC，所以 ∠B=∠C。 因为 ∠DEB+∠DEF+∠FEC=180°，∠BDE+∠B+∠DEB=180°，且 ∠DEF=∠B， 所以 ∠BDE=∠FEC。又 ∠B=∠C， 所以 △DBE∽△ECF。 （2）因为 F 是 AC 的中点，AC=6，所以 CF=3。 设 BE=x，则 EC=5−x。由 △DBE∽△ECF 得 ， 即 ，整理得 ，解得 或 。 所以 BE 的长为 2 或 3。 （3）由 △DBE∽△ECF 得 ， 即 ，且 。 ① 若 ∠EDF=∠BDE，则 △DEF∽△DBE，，即 ， 所以 ，解得 ，此时 。 ② 若 ∠EDF=∠BED，则 △DEF∽△EBD，，即 ， 所以 ，整理得 ，解得 或 ， 此时 。 综上，FC 的长为 2 或 。 ★ 说明与提示 1. 第 3 题：、 均可推出 ，从而判定相似；仅 不能判定，故选 D。 2. 第 9 题：黄金分割点有两个，因题目指明“较长线段 AP”，故 。 3. 第 16 题：由 且 得 （≠0），a=1 时 t=1，故“开口大小”为 。 4. 第 22 题第（1）② 中抛物线在 处的函数值为球出手时的高度 2.25 米，“跳离地面的高度”=出手高度−身高=0.25 米。 5. 第 23 题第（3）问需按对应角分类讨论，两种情况分别得 与 ，两个结果都要写出。 学科网（北京）股份有限公司 $