精品解析：江苏省镇江中学2026-2027学年高二上学期期中数学试卷

2026－2027镇江中学 高二上期中数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线即，从而其倾斜角为. 2. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 3. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称关系得出直线斜率及直线所过的点即可得解. 【详解】因为，所以， 又的中点在直线l上， 所以直线l的方程为，即， 故选：A 4. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 81 C. 50 D. 61 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：D 5. 直线与圆交于、两点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离及弦长即可求出三角形面积. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 则，所以的面积为. 故选：C 6. 已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ） A. 910 B. 900 C. 890 D. 880 【答案】A 【解析】 【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和. 【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5， 所以是首项为1，公差为的等差数列，则． 故选：A 7. 将自然数按照下图排列，我们将都称为“拐角数”，则第50个“拐角数”为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察图形及给出的数列前几项，归纳出第个“拐角数”的通项公式，利用等差数列求和公式即可求解. 【详解】设第个“拐角数”为， 由题意及图形观察可知： 第1个“拐角数”为； 第2个“拐角数”为； 第3个“拐角数”为； 第4个“拐角数”为； 由此归纳可知，第个“拐角数”为： 即 . 当时， 故第50个“拐角数”为1276， 故选：A. 8. 已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知直线l过定点，且点在圆内，结合垂直于，可得动点的轨迹方程为，由此容易得出的最大值． 【详解】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为， 直线，易知直线恒过定点 又,所以点在圆内，如图所示： 由于垂直于，则点的轨迹为以为直径的圆， 线段的中点坐标为，， 所以动点的轨迹方程为， 又，， 可得， 即的取值范围为， 所以的最大值为. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与，则下列说法正确的有（　　） A. 直线恒过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与之间的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可分析定点；对于B：根据直线垂直可得，运算求解即可；对于CD：根据直线平行可得，运算求解并检验，进而可得与之间的距离. 【详解】对于选项A：直线即为， 令，解得， 所以直线恒过点，故A正确； 对于选项B：若，则，解得，故B错误； 对于选项CD：若，则， 即，解得或， 若，则直线与平行，符合题意； 若，则直线与重合，不符合题意； 综上所述：， 此时直线与之间的距离为，故CD正确. 10. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用递推关系逐一求解即可判断A；求出前四项可判断数列 的周期为3，根据周期性逐一计算即可判断BCD. 【详解】A： 由题意， ， ， 则 ，故A正确； B： ， 结合A的计算，可得数列 的周期为3，即 ， 因为 ，所以 ，故B错误； C： 一个周期的和为 ，而 ，故C正确； D： 由于 ，所以 ， 所以，故D错误. 故选：AC. 11. 曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线的图象有且仅有4条对称轴 B. 曲线所围成的面积为 C. 的最大值为8 D. 记曲线上任意一点，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】分类讨论可得四个象限中曲线的方程，由此可得曲线的图象；根据图象对称性可知AB正误；根据曲线内切于圆可判断C；将转化为曲线上的点到直线的距离的倍，结合图形可求解可判断D. 【详解】对于曲线， 当时，曲线，即； 当时，曲线，即； 当时，曲线，即； 当时，曲线，即； 可作出曲线的图象如下图所示（含坐标原点）， 对于A，由图象可知：曲线关于轴，直线，对称，所以曲线有且仅有4条对称轴，故A正确； 对于B，在第一象限中，曲线围成的图象面积为， 所以曲线所围成的图形面积为，故B正确； 对于C，曲线内切于圆，且切点在和上，如下图所示， 则的最大值即为圆的直径，所以的最大值为，故C错误； 对于D，因为，所以的几何意义为曲线上的点到直线的距离的倍； 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为， 所以的最小值为2，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 12. 过两点，的直线在轴上的截距为____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，直线的斜率， 利用点斜式可得直线的方程为：，即， 令，解得， 所以直线在轴上的截距为. 13. 过圆上一点作圆的切线，则的方程为____． 【答案】. 【解析】 【详解】圆化为标准式即为， 设其圆心为，半径为， 从而的斜率为，故的斜率为， 所以的方程为. 14. 如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，，，，每一个点 均位于函数 的图象上．以点为圆心的都与轴相切，且与外切．若，且 ，，的前项之和为，则____． 【答案】. 【解析】 【分析】根据两圆的几何关系及其圆心在函数的图象上，即可得到递推关系式，通过构造等差数列求得的通项公式，得出，最后利用裂项相消，求出数列前项和即可. 【详解】由与彼此外切， 则， ， ， 又∵， ∴，故为等差数列且，， 则， ， 则. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）计算等差数列和等比数列的基本量即可写出通项公式. （2）根据题意利用分组转化即可进行求和. 【小问1详解】 由已知， 设数列首项为，公差为 ， 解得：， 所以 因为，， 数列是单调递增的等比数列， 设数列首项为，公比为，所以 解得：， ，所以 所以 【小问2详解】 由已知 所以 16. 已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是，且它的对角线的交点是. （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； （3）求平行四边形ABCD的面积. 【答案】（1）， （2）和 （3）24 【解析】 【分析】（1）由，解出即得点坐标，由中点坐标公式即可得的坐标； （2）由与平行，与平行，即，由点斜式即可求直线方程，再化为斜截式方程即可； （3）先求点的坐标，由两点间距离公式求，利用点到直线的距离公式求到的距离，进而得的面积. 【小问1详解】 联立，解得即得， 因点是的中点，则. 【小问2详解】 由直线的斜率，且，则直线的方程为. 由直线的斜率，且，则直线的方程为. 故这个平行四边形另外两条边所在直线的方程是和. 【小问3详解】 由，得 ，即 ，所以. 又到的距离. 所以的面积. 17. 已知圆和定点，为圆外一点，直线与圆相切于点，且． （1）求点的轨迹方程； （2）经过点的直线与点的轨迹相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出坐标为，由等量关系得到方程，化简后得到答案； （2）由圆的半径和弦长得到圆心到直线距离，分直线与轴垂直，与轴不垂直两种情况，进行求解. 【小问1详解】 设点坐标为，由得， 所以， 化简得． 【小问2详解】 由得，故圆心为，半径为5， 由得圆心到直线的距离为3， 当直线与轴垂直时，直线，满足圆心到直线的距离为3； 当直线与轴不垂直时，可设直线的方程为，即． 所以，解得，所以． 所以直线的方程为或． 18. 已知数列的前项和为， ，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数的值． 【答案】（1）因为，所以， 两式作差得，即， 由得，则，故，则， 故数列是等比数列； （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）利用以及等比数列的定义求证； （2）利用错位相减法求出； （3）先求出，再结合数列的增减性求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，则， 则， 则， 作差得， 故； 【小问3详解】 ，则， 故， 则， 因为，所以数列为递增数列， 当时；当时； 使得不等式成立的最大正整数的值为. 19. 现定义：若圆A上一动点，圆A外一点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆A的“白银点”.若点G同时是圆A和圆B的“白银点”，则称G为圆“”的“黄金点”.已知圆. （1）若点为圆A的“白银点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆，且均为圆“”的“黄金点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与圆交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），点的轨迹是以为圆心以为半径的圆 （2）（i）（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）设，结合题意可得，从而得，即可求解； （2）（i）根据题意可得点、是圆和的交点，再结合两圆公共弦所在直线方程求解即得；（ii）记的圆心为，又记的圆心为，可求得直线的方程为，再与联立得的中点坐标为，从而求出圆：，设轴上存在点，设.再利用相关几何关系可得，再联立，结合且，即可求解. 【小问1详解】 设，因为点为圆的“白银点”， 所以，即，得到 所以的轨迹方程为. 点的轨迹是以为圆心以为半径的圆. 【小问2详解】 （i）因为为圆“”的“黄金点”，所以同时为圆与圆的“白银点”， 由，则，即点在圆上， 由为圆的“白银点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 由题直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）记的圆心为， 又记的圆心为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点到直线的距离为，则， 所以圆的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①. 联立，消可得，必有， 且， 代入①并整理得，所以， 故存在点，满足题意恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027镇江中学 高二上期中数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 81 C. 50 D. 61 5. 直线与圆交于、两点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ） A. 910 B. 900 C. 890 D. 880 7. 将自然数按照下图排列，我们将都称为“拐角数”，则第50个“拐角数”为（　　） A. B. C. D. 8. 已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与，则下列说法正确的有（　　） A. 直线恒过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与之间的距离为 10. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线的图象有且仅有4条对称轴 B. 曲线所围成的面积为 C. 的最大值为8 D. 记曲线上任意一点，则的最小值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 12. 过两点，的直线在轴上的截距为____． 13. 过圆上一点作圆的切线，则的方程为____． 14. 如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，，，，每一个点 均位于函数 的图象上．以点为圆心的都与轴相切，且与外切．若，且 ，，的前项之和为，则____． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项的和. 16. 已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是，且它的对角线的交点是. （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； （3）求平行四边形ABCD的面积. 17. 已知圆和定点，为圆外一点，直线与圆相切于点，且． （1）求点的轨迹方程； （2）经过点的直线与点的轨迹相交于两点，且，求直线的方程． 18. 已知数列的前项和为， ，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数的值． 19. 现定义：若圆A上一动点，圆A外一点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆A的“白银点”.若点G同时是圆A和圆B的“白银点”，则称G为圆“”的“黄金点”.已知圆. （1）若点为圆A的“白银点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆，且均为圆“”的“黄金点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与圆交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $