精品解析：福建宁德市第三教联体2026-2027学年度高二上学期阶段性训练数学试题

2026-2027学年第一学期阶段性训练 高二数学 （训练时间：120分钟，训练总分：150分） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，合计40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为θ． 由直线化为 ∴tanθ=， ∵. 2. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 5 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】构造数列，令，求解，得到为等比数列，再求解，将代入即可求解. 【详解】因为，，所以令，所以， 即，解得，所以，即， 所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即，当时，. 3. 从编号为1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地依次抽出2张，每次抽取1张，设第一次抽到卡片的号码为，第二次抽到卡片的号码为，则""的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】从5张卡片中不放回地依次抽出2张，共种方法， 记为事件，其中满足的情况有1和3,2和4,3和5，因为绝对值之差为2，可以交换的取值，所以一共有6种方法， 由古典概型，事件发生的概率为. 4. 直线和直线之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为即为， 可知直线与直线两直线平行， 所以两平行线间距离是. 5. 已知互斥，与是对立事件，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【详解】互斥，， 又与是对立事件，. 6. 已知等比数列中，分别是的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得，，再由等比中项求解. 【详解】已知分别是的两根， 则，，故，所以， 又因为为等比数列，则，，所以. 7. 近年来，我国大力推进绿色能源转型，分布式光伏电站建设成为实现"双碳"目标的重要举措．为优化能源结构、提升清洁能源供给能力，某地区计划在2026年集中新安装3万块分布式光伏板，后续依托政策扶持与市场需求，每年新安装的光伏板数量比上一年增加20%．按照这一稳定发展趋势，若从2026年起累计计算，到第年（）时，该地区新安装的光伏板总数量超过45万块，则的最小值为（ ）（参考数据：） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】从2026年起，每年新安装的光伏板数量构成数列（单位：万）， 则数列是首项为3，公比为1.2的等比数列， 设数列的前项和为，则， 令，即,故, , 故的最小值为8． 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件="次中既有正面朝上又有反面朝上"，="次中至多有一次反面朝上"，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，事件和事件独立 C. 当时，事件和事件互斥 D. 当时，事件和事件独立 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当时，，而，故A错误； 对于B，当时，，因，两者不独立，故B错误； 对于C，当时，因为，所以事件与事件不互斥，故C错误． 对于D，当时，， 而，即事件与事件相互独立，故D正确； 二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，合计18分，每小题有多个选项符合题意．错选不得分，部分选对得部分分．） 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线的方向向量为 B. 直线的倾斜角为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方向向量的概念判断A，由直线方程求得倾斜角判断B，由两直线垂直的充要条件求参数判断C，由两直线平行的条件求参数判断D． 【详解】A，直线的法向量是，而，所以是它的方向向量，A正确； B，直线的斜率是，倾斜角应为，B错； C，若，则，解得，C正确； D，若，则，解得，此时直线方程为与平行，D正确． 10. 下列说法正确的有（ ） A. “与对立”是“与互斥”的充分不必要条件 B. “”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 C. “”是“与相互独立”的充分必要条件 D. “”是“、、三个事件两两独立”的充分必要条件 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，若与互为对立事件，则与一定互斥， 若与互斥，则与不一定互为对立事件， 故“与对立”是“与互斥”的充分不必要条件，A选项正确， 选项B，抛掷一枚骰子，记事件出现的点数小于等于，事件出现的点数为奇数， 则，故，满足， 但与不是对立事件，B选项错误， 选项C，根据独立事件的概率，等价于与相互独立， 故“”是“与相互独立”的充分必要条件，C选项正确， 选项D，抛掷一枚骰子，记出现的点数为中的一个，出现的点数为中的一个，出现的点数为中的一个， 则，则，，满足， ，故事件与不相互独立，D选项错误. 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，前项积为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使得成立的最大自然数 D. 使得成立的最小自然数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，，可得，，再结合等差数列的性质即可求解. 【详解】，， ，，，故选项A错误； ，，，故选项B正确； ，，即，， ，即，， 使得成立的最大自然数，故选项C正确； ，，， 可得：数列的前10项为正，从第11项开始为负 ， 使得成立的最小自然数，故选项D正确 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，合计15分．） 12. 若是等差数列的前项和，且，则______． 【答案】5 【解析】 【详解】设，因为， 所以，解得. 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则______． 【答案】120 【解析】 【详解】因为数列为等比数列，且，， 所以，. 所以. 14. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】明确投篮结束时乙只投了2个球的两种互斥情形，结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式计算概率. 【详解】设分别表示甲、乙在第次投篮时投中，， 由题意得，且各次投篮结果相互独立． 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件， 事件包含两类互斥情形：第一次甲投篮均未命中，第二次投篮甲未中，乙命中获胜， 对应事件为； 前两次甲、乙投篮均未命中，甲第三次投篮命中获胜，对应事件为． 根据独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式可得： . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．） 15. 已知的三个顶点坐标分别是． （1）设边的中点为点，试求边上的中线所在的直线方程； （2）试判断的形状，求的面积． 【答案】（1） （2）直角三角形，5 【解析】 【分析】（1）先求中点，利用截距式方程写出直线的方程，再化简即可. （2）法一：利用边长结合勾股定理判断三角形的形状，再求其面积；法二：利用边所在直线的斜率判断三角形的形状，再求其面积. 【小问1详解】 ，，的中点． ，所在的直线方程为：，即． 【小问2详解】 如图所示，为直角三角形，下面进行验证． 法一：， ． ，即是以为直角顶点的直角三角形． 于是．又 ． 法二：． 是以为直角顶点的直角三角形． 于是． 又因为，所以． 16. 校乒乓球队有3名男队员，分别记为、、，3名女队员，分别记为、、，现从中抽取2名运动员参加测试． （1）写出该试验的样本空间，并求事件="抽取到的2人全是女队员"的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球测试，甲发球成功的概率为0.6，乙发球成功的概率为0.7，两人发球互不影响．求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率． 【答案】（1）样本空间；； （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出样本空间，然后找出事件的数量，计算， （2）第一问根据独立事件的乘法公式计算即可，第二问先求出甲、乙至少有一人发球成功的对立事件概率，然后根据对立事件概率和为1求解. 【小问1详解】 样本空间 ，共15个样本点， 其中事件， 故抽取到的2人全是女队员的概率为：． 【小问2详解】 设“甲发球成功”为事件，“乙发球成功”为事件， 由题意知与相互独立，且 ①甲、乙两人全部发球成功的事件同时发生，由独立事件乘法公式得： ②甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球失败”， 两人都失败的概率：， 故至少一人发球成功的概率为：． 17. 已知数列的前项和为，且满足，，等差数列满足，. （1）求数列、的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，探索数列的特点，求数列的通项公式；利用等差数列的通项公式求数列的首项和公差，可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可求数列的前2026项的和. 【小问1详解】 当时，． 当时， 可得：． 又，数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． 是等差数列，可得．解得：． ． 【小问2详解】 由（1）得． ． ． ． 18. 已知直线 （1）证明：直线过定点； （2）已知点，若直线与线段有交点，求直线斜率的取值范围； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，其中为坐标原点，求的最小值，并求此时直线的一般方程． 【答案】（1）证明： ． 由，解得：． 直线过定点． （2） （3），此时直线的方程为． 【解析】 【分析】（1）将直线的方程整理变形成，然后令求解即可. （2）由（1）可得直线过定点，然后分别计算，然后确定的取值范围， （3）根据题意，求出坐标，然后写出，然后表示出，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由①可得：直线过定点，记为点 ，． 直线与线段有交点 可得：或． 故的取值范围： 【小问3详解】 由题可知：直线的斜率存在 故得：． 依题意，得． 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，且， 此时直线的方程为． 19. 在《四元玉鉴》中数学家们曾研究过高阶等差数列的问题，我们把公差不为0的等差数列称为"一阶等差数列"，记，若为等差数列，则称是"二阶等差数列"． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列为递增数列且满足 （i）求数列的通项公式； （ii）若，记数列的前项和为，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是，理由如下： ． ， ， 是以7为首项，4为公差的等差数列， 故为二阶等差数列． （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）根据二阶等差数列的定义判断即可， （2）（i）先根据题意求出二阶等差数列的通项公式，然后利用累加法求得的通项公式， （ii）先求出的通项公式，然后求出，再求出的最大值，然后解关于的不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由，可得：或， 数列为递增数列，， ， 公差． ． 当时，． …… 将上式相加得：， ，， 当时，亦满足， ； （ii）因为，所以． ， ． ， ． 故可得：，解得：或 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期阶段性训练 高二数学 （训练时间：120分钟，训练总分：150分） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，合计40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 5 C. 11 D. 13 3. 从编号为1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地依次抽出2张，每次抽取1张，设第一次抽到卡片的号码为，第二次抽到卡片的号码为，则""的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 直线和直线之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知互斥，与是对立事件，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 6. 已知等比数列中，分别是的两根，则（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，我国大力推进绿色能源转型，分布式光伏电站建设成为实现"双碳"目标的重要举措．为优化能源结构、提升清洁能源供给能力，某地区计划在2026年集中新安装3万块分布式光伏板，后续依托政策扶持与市场需求，每年新安装的光伏板数量比上一年增加20%．按照这一稳定发展趋势，若从2026年起累计计算，到第年（）时，该地区新安装的光伏板总数量超过45万块，则的最小值为（ ）（参考数据：） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件="次中既有正面朝上又有反面朝上"，="次中至多有一次反面朝上"，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，事件和事件独立 C. 当时，事件和事件互斥 D. 当时，事件和事件独立 二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，合计18分，每小题有多个选项符合题意．错选不得分，部分选对得部分分．） 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线的方向向量为 B. 直线的倾斜角为 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. “与对立”是“与互斥”的充分不必要条件 B. “”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 C. “”是“与相互独立”的充分必要条件 D. “”是“、、三个事件两两独立”的充分必要条件 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，前项积为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使得成立的最大自然数 D. 使得成立的最小自然数 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，合计15分．） 12. 若是等差数列的前项和，且，则______． 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则______． 14. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．） 15. 已知的三个顶点坐标分别是． （1）设边的中点为点，试求边上的中线所在的直线方程； （2）试判断的形状，求的面积． 16. 校乒乓球队有3名男队员，分别记为、、，3名女队员，分别记为、、，现从中抽取2名运动员参加测试． （1）写出该试验的样本空间，并求事件="抽取到的2人全是女队员"的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球测试，甲发球成功的概率为0.6，乙发球成功的概率为0.7，两人发球互不影响．求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率． 17. 已知数列的前项和为，且满足，，等差数列满足，. （1）求数列、的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求． 18. 已知直线 （1）证明：直线过定点； （2）已知点，若直线与线段有交点，求直线斜率的取值范围； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，其中为坐标原点，求的最小值，并求此时直线的一般方程． 19. 在《四元玉鉴》中数学家们曾研究过高阶等差数列的问题，我们把公差不为0的等差数列称为"一阶等差数列"，记，若为等差数列，则称是"二阶等差数列"． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列为递增数列且满足 （i）求数列的通项公式； （ii）若，记数列的前项和为，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $