河南濮阳市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年第一学期期中测评·九年级数学 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 第1题 答案：C 【解析】绕中心旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形，据此逐项判断（选项以卷面棋子图案为准）。 第2题 答案：B 【解析】对照 ax²+bx+c=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为−1，故选B。 第3题 答案：D 【解析】a=2>0，抛物线开口向上，顶点(4,6)为最低点，故有最小值6，选D。 第4题 答案：A 【解析】在每个象限内y随x增大而减小，则比例系数k+1>0，即k>−1，四个选项中只有0满足，选A。 第5题 答案：D 【解析】向上平移2得y=(x−3)²−2；再向右平移1得y=(x−3−1)²−2=(x−4)²−2，选D。 第6题 答案：A 【解析】Δ=(−6)²−4×1×9=36−36=0，方程有两个相等的实数根，选A。 第7题 答案：C 【解析】对应线段AC与DE所成的角等于旋转角50°；又AB⊥DE，故AB与AC的夹角∠A=90°−50°=40°，选C。 第8题 答案：A 【解析】单循环每两个机器人赛一场，共赛(1/2)x(x−1)场=15，列方程为(1/2)x(x−1)=15，选A。 第9题 答案：A 【解析】由菱形对角相等得∠O=∠B=60°，结合边长求出C点坐标，再绕原点顺时针旋转90°（点(x,y)→(y,−x)），得C₁(√3,1)，选A（结论以原图坐标标注为准）。 第10题 答案：B 【解析】顶点(−3,−6)设y=a(x+3)²−6，代入(−1,−4)得a=1/2>0，b=3，c=−1.5。①abc<0，错；②当m=−3时am²+bm+c+6=0，并非恒大于0，错；③−5a+c=−2.5−1.5=−4，对；④y>−4解得x<−5或x>−1，对。正确结论共2个，选B。 二、填空题（每小题3分，共15分） 第11题 答案：y=−x²（答案不唯一） 【解析】开口方向由a决定，a<0则开口向下；图象过原点即常数项c=0。如y=−x²、y=−x²+x、y=−2x²+3x等均满足。 第12题 答案：5 【解析】矩形面积=长×宽=两根之积，由韦达定理x₁x₂=c/a=10/2=5，故面积为5。 第13题 答案：y₁＜y₂＜y₃ 【解析】抛物线开口向下、对称轴x=1，离对称轴越远函数值越小。三点到对称轴距离依次4、3、1，故y₁＜y₂＜y₃。 第14题 答案：−8（或8，以图象所在象限为准） 【解析】设P(x₀,y₀)，PE⊥y轴，则PE=|x₀|，点E、F到PE所在水平线的距离为|y₀|，S=(1/2)|x₀y₀|=(1/2)|k|=4，得|k|=8。图象在二、四象限时k=−8（按原图象限确定）。 第15题 答案：√7（以原图为准） 【解析】设A为原点、AC沿x轴，则C(1,0)、B(1,√3)。E是C绕A旋转所得，AE=AC=1，由∠BCE=90°且CB竖直知CE水平，故E在x轴上、E(−1,0)，于是BE=√(2²+(√3)²)=√7。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 （本题满分10分，每小题5分） （1）x²−4x−12=0。因式分解：(x−6)(x+2)=0，解得 x₁=6，x₂=−2。 （2）x(x−4)=2−8x。整理得 x²−4x+8x−2=0，即 x²+4x−2=0。由求根公式 x=(−4±√24)/2=−2±√6，即 x₁=−2+√6，x₂=−2−√6。 17 （本题满分9分） （1）关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号：A₁(2,−4)，B₁(1,−1)，C₁(4,−3)。 （2）关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号：A₂(−2,4)，B₂(−1,1)，C₂(−4,3)。 （3）因A₂与A₁、B₂与B₁、C₂与C₁分别关于原点对称，所以△A₂B₂C₂可以看作△A₁B₁C₁绕原点O旋转180°（关于原点中心对称）得到。 18 （本题满分9分） 原方程化为 x²+(k+3)x−2=0。 （1）证明：Δ=(k+3)²−4×1×(−2)=(k+3)²+8。因为(k+3)²≥0，所以Δ=(k+3)²+8≥8>0，故无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）把x=1代入方程得 1+(k+3)−2=0，解得 k=−2。由两根之积 x₁x₂=−2，且x₁=1，得另一根 x₂=−2。故方程的另一根为−2，k的值为−2。 19 （本题满分9分） （以下数值依据图2坐标读数确定，请以卷面图象标注为准。）设未加热时水温为20℃，由每分钟上升20℃知加热到100℃需 (100−20)÷20=4 min，即图象在x=4时y=100。 （1）未加热时水温是 20 ℃，加热到100℃所需时间是 4 min。 （2）下降阶段y是x的反比例函数，设y=k/x，把(4,100)代入得k=400，故 y=400/x。 （3）加热阶段y=20x+20≥50解得x≥1.5；下降阶段400/x≥50解得x≤8。故水温不低于50℃的时间为 8−1.5=6.5 min。 20 （本题满分9分） 将函数配方：y=x²−4x+3=(x−2)²−1。 （1）顶点A(2,−1)；令y=0得x²−4x+3=0，x=1或3，因B在C左侧，故B(1,0)，C(3,0)。 （2）以(2,−1)为顶点、过(1,0)、(3,0)、(0,3)描点，开口向上画出抛物线。 （3）AB=√[(2−1)²+(−1−0)²]=√2，AC=√[(2−3)²+(−1)²]=√2，BC=2。AB=AC且AB²+AC²=4=BC²，故△ABC是等腰直角三角形。 21 （本题满分9分） （1）售价42元/件较40元上涨2元，月销售量=450−15×2=420 件；月利润=(42−20)×420=22×420=9240 元。 （2）不同意。设每件上涨x元，则售价(40+x)元、销量(450−15x)件，月利润W=(20+x)(450−15x)=−15x²+150x+9000=−15(x−5)²+9375。开口向下，当x=5（售价45元）时W最大为9375元，超过后再涨价利润反而下降，故并非售价越高利润越高。 （3）令(20+x)(450−15x)=9240，化简得 x²−10x+16=0，解得x=2或x=8，对应售价42元或48元。要使顾客尽可能得到实惠，应取较低售价，即每件定价 42 元。 22 （本题满分10分） （1）最高点为(1,0.8)，设y=a(x−1)²+0.8，代入原点O(0,0)得a=−0.8。令y=0得x=0或2，故落点A(2,0)；运动路线解析式为 y=−0.8(x−1)²+0.8（即 y=−0.8x²+1.6x）。 （2）障碍顶边位于y=0.35，水平范围x∈[1.25,1.8]。当x=1.25时y=−0.8×0.0625+0.8=0.75>0.35；当x=1.8时y=−0.8×0.64+0.8=0.288<0.35。即在障碍物右侧边缘轨迹高度低于障碍高度，机器人会撞上，故无法安全越过。 （3）起跳点前移m米，轨迹形状不变：y=−0.8(x−1−m)²+0.8。安全越过需两端都满足高度≥0.35，由x=1.25得−0.5≤m≤1，由x=1.8得0.05≤m≤1.55，取交集得 0.05≤m≤1（若要求严格越过、不擦边，则 0.05<m<1）。 23 （本题满分10分） 建立坐标系：以C为原点，CA沿x轴、CB沿y轴，则C(0,0)、A(√2,0)、B(0,√2)。设CD方向在直线BC上，D(0,d)。向量DA=(√2,−d)，绕D逆时针旋转90°得向量DE=(d,√2)，故E=(d,√2+d)。 （1）当D与B重合(d=√2)时，E=(√2,2√2)，BE=√[(√2)²+(√2)²]=2，CD=√2，故 BE=√2·CD；直线BE(方向45°)与直线CD(y轴)所成锐角为45°。 （2）成立。一般地 BE=E−B=(d,d)，|BE|=√2|d|=√2·CD，且BE方向恒为45°，与CD所成锐角恒为45°，故结论对任意位置的D均成立。 （3）CE=√[d²+(√2+d)²]=√(2d²+2√2d+2)，当d=−√2/2时根号内取最小值1，故C、E距离最小值为1；此时D(0,−√2/2)，AD=√[(√2)²+(√2/2)²]=√(5/2)=√10/2。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中测评试卷九年级数学 亲爱的同学，祝贺你完成了阶段学习任务，现在是展示你学习成果的时候，希望你沉着、冷静、尽情发挥，祝你成功！ 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 【下列各题的四个选项中，其中只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A．，， B．，， C．，， D．，， 3．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是 A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 4．函数的图象，在每个象限内随的增大而减小，则的值可能为 A． B． C． D． 5．将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是 A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况为 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 7．如图，由绕点逆时针旋转得到的．若，则的度数 A． B． C． D． 8．2026年5月某高校科研团队为了选拔参加世界人形机器人运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环制（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛），若每组个机器人，共需进行15场比赛，则下列方程正确的为 A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，点在轴上，点的横坐标为，，将菱形绕原点顺时针旋转，若点的对应点是点，那么点的坐标是 A． B． C． D． 10．如图，已知顶点坐标为的抛物线过点，有下列结论：①；②对于任意实数，均有③；④若，则或．其中结论正确的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．请写出一个开口向下且经过原点的二次函数解析式__________． 12．若矩形的长和宽分别是方程的两个根，则矩形的面积为__________． 13．若点，，在的图象上，则，，的大小关系是__________（用“<”连接）． 14．已知函数（）的部分图象如图所示，点是图象上一点，过点作轴，垂足为点，点是轴上任意一点．若的面积是4，则的值是__________． 15．在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，当时，的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（每小题5分，共10分）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17．（9分）如图，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是点，，）； （2）请画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是点，，）； （3）请你写出可以看作经过怎样的一次变换得到． 18．（9分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程有一个根是1，求出方程的另一个根及的值． 19．（9分）图1是某款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热；水温开始下降，水温（）是通电时间（）的反比例函数．若用这款茶吧机给壶中的水进行加热，水温（）与通电时间（）之间的函数关系如图2所示． （1）未加热时壶中水的温度是_____，将壶中水加热到所需的时间是_____； （2）求水温下降的过程中，水温（）关于通电时间（）的函数解析式（不写自变量的取值范围）； （3）从开始加热到水温下降到的一个加热周期内，水温不低于的时间是_____． 20．（9分）已知二次函数． （1）求出抛物线顶点的坐标，抛物线与轴的交点和的坐标（点在点的左侧）； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）图中的形状是_______________． 21．（9分）泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术．已知某经销商购进泥塑的成本为20元/件，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为450件．销售一段时间后发现，若在此基础上每件售价每上涨1元，月销售量减少15件． （1）当泥塑售价为42元/件时，月销售量为__________件，月利润是________元； （2）小明说：“泥塑的售价越高，月利润就越高．”你同意他的说法吗？请你通过计算说明理由． （3）若使月销售利润达到9240元，且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 22．（10分）科技方便生活，如图1，某科创小组的同学们制作了一个可作腾空运动越过障碍物的机器人，腾空运动的路线可近似看作抛物线． 如图2，以机器人的双脚与地面的接触点为原点，水平地面为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系（忽略机器人双脚间的距离）．该机器人从原点向正前方作腾空运动，当机器人水平移动了米时，达到最高点，此时机器人距离地面米，最终落在地面上的点处． （1）直接写出点的坐标，求出该机器人运动路线的解析式（不写自变量的取值范围）； （2）如图2，在机器人的正前方有个长方体的障碍物，障碍物的纵切面为矩形，其中米，米，且点的坐标为，请通过计算判断该机器人为什么无法安全越过这个障碍物； （3）为通过（2）中障碍物，同学们将机器人的起跳点从点沿轴正方向往前平移米，但其运动路线的形状保持不变，若调整后机器人能安全越过障碍物．直接写出的取值范围． 23．（10分） 数学兴趣小组的同学学习了图形的旋转后，对下面的问题进行探究． 如图1，在中，，，点是直线上的动点（点不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．同学们探究和之间的数量关系以及这两条线段所在直线相交所成的锐角的度数． 【特例感知】 （1）当点与点重合时，如图2，和之间的数量关系是_______________，直线和直线相交所成的锐角的度数是_____________． 【一般探究】 （2）当点在线段上（不与两端点重合）时，如图3，（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在点运动的过程中，直接写出点和点距离的最小值及此时的长． 学科网（北京）股份有限公司 $