精品解析：河南省濮阳市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试试卷 九年级数学 亲爱的同学，祝贺你完成了阶段学习任务，现在是展示你学习成果的时候，希望你沉着、冷静、尽情发挥，祝你成功！ 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上。 一、选择题（每小题3分，共30分） 【下列各题的四个选项中，其中只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1. 2025年，中国的人工智能迅猛发展，下列软件图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行判断即可，中心对称图形的关键是找到对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. （﹣4，﹣5） B. （﹣4，5） C. （4，﹣5） D. （4，5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键． 3. 已知方程□，在□中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设□中的数字为a，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：设□中的数字为a，则方程为，根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴符合题意的有1； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4. 某品牌新能源汽车2023年销量为10万辆，2025年销量达到万辆，设这两年销量的年平均增长率为，则可列的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，可得2024年销量为万辆，2025年销量为万辆，根据2025年销量为万辆，列出方程，即可求解． 【详解】解：设年平均增长率为x， ∵ 2023年销量为10万辆， 经过一年，2024年销量为万辆， 再经过一年，2025年销量为万辆， 又∵ 2025年销量为万辆， ∴． 故选：B 5. 比较与的大小． 先从具体的数讨论： ①当时，；②当时，；③当时，． 由上面讨论，你归纳出的结论是：若取任意实数，_________，横线上填写的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及非负数的性质，解决本题的关键是将两式作差化简． 通过计算 与 差，并利用完全平方公式，根据平方数的非负性得出一般结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，当且仅当 时等号成立， ∴若取任意实数，． 故选：C． 6. 如图, △ABC和△ADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（ ） A. △ABC和△ADE B. △ABC和△ABD C. △ABD和△ACE D. △ACE和△ADE 【答案】C 【解析】 【详解】根据旋转的性质可知，可看作是旋转关系的三角形是△ABD和△ACE，即为△ABD绕点A逆时针旋转60度得到△ACE． 故选C． 7. 已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由二次函数(a、b、c为常数，)的图象开口向下可知，对称轴在y轴的右侧可知，由抛物线交y轴的正坐标可知，据此判断即可． 【详解】解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可知，，， 故选项A符合题意， 故选：A． 8. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 70° D. 90° 【答案】D 【解析】 【详解】已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选D． 9. 若是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．把代入求出对应的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对于：， 对于：， 对于：， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个一次项系数为0的一元二次方程：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的一般形式中一次项系数的要求． 根据一元二次方程的定义，构造一个二次项系数不为、一次项系数为的方程即可，如（答案不唯一）． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（）． 由题意，一次项系数为0，即， 因此方程化为．例如， 满足条件，其中，，． 故答案为（答案不唯一）． 12. 方程的两根之积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握“在一元二次方程中，两根之积为”． 先将方程化为一般形式，再根据根与系数的关系直接求出两根之积． 【详解】解：方程 可化为 ， 其中 ，，． 根据根与系数的关系，两根之积 ． 故答案为： 13. 如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号_________的小正方形涂阴影． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：只有选取④进行阴影标注，使得网格中阴影部分能形成一个中心对称图形， 故答案为：④． 14. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，当出售价格是__________元时，才能使利润最大． 【答案】65 【解析】 【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：设最大利润为w元， 则w=（x-30）（100-x）=-（x-65）2+1225， ∵-1＜0，0＜x＜100， ∴当x=65时，二次函数有最大值1225， ∴定价是65元时，利润最大． 故答案为：65． 【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 15. 如图，在Rt中，，，，将绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），连接，当时，_________ 【答案】 【解析】 【分析】由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，由旋转的性质，可得，分类讨论，过点作的垂线，由矩形的判定和性质，结合勾股定理，即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由旋转可得， 作，交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 作，交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）（用配方法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程方法中的因式分解法及十字相乘法．掌握因式分解法中十字相乘法和配方法的基本步骤是解题的关键． 用十字相乘法对原方程进行因式分解，计算即可得解． 先将二次项系数化为，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方，计算即可得解． 小问1详解】 （1）解 或 ∴， 【小问2详解】 （2）解： ∴ ∴或 ∴， 17. 如图如示，在平面直角坐标系中的． （1）画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； （2）若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 【答案】（1）见解析， （2）与关于轴对称 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，点的坐标，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义与性质． （1）先作出点A，B，C关于原点的对称点，然后再顺次连接即可； （2）先根据题意得出点A，B，C各点坐标，再根据题意求出各点坐标，然后和的坐标比较即可 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． ∴各点分别为，； 【小问2详解】 解：由图可得，， ∵与关于轴对称， ∴各点分别为，， 又∵各点分别为，， 则可得和各点的纵坐标相反， ∴和关于x轴对称 18. 学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． （1）设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是_________； （2）若学校计划安排15场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】（1） （2）学校应安排6个球队参加比赛． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）根据赛制，结合已知，即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意可得， ∴，， 解得， 答：学校应安排6个球队参加比赛． 19. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 20. 如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点. （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 【答案】（1）旋转中心为点A，旋转的度数为； （2），． 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和计算出，然后根据旋转的定义求解； （2）根据旋转的性质得，，，则可利用周角定义可计算出，然后计算出，从而得到的长． 【小问1详解】 解：， 即， 所以旋转中心为点A，旋转的度数为； 【小问2详解】 解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴，，， ∴， ∵点C恰好成为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 21. 要修建一个圆形喷水池（如图1），在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱（如图2）在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意设抛物线水柱的解析式为，将代入进行求解得出解析式，再令即可求解． 【详解】解：由题意得：拋物线顶点坐标为且经过点 设抛物线水柱的解析式为， 将代入得 解得， ∴拋物线解析式为， 令得，， ∴水管的高度应为米． 22. 二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． （3）若这个抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点是对称轴上一点，且在轴下方，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、已知两点坐标求距离和二次函数的图象和性质，作出正确的图象是解决本题的关键． （1）运用待定系数法求解解析式即可； （2）由表格依次描点并连接，即可画出函数图象； （3）由题意可得，点为，点C为，同时设点为，表达出并结合是等腰三角形即可求解． 【小问1详解】 解：由表格可知抛物线经过点， 将分别代入得， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：由表格描点后，依次连接，函数图象如下图所示， 由图可得，当时，； 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴点为，点为， ∵抛物线与轴交于点， ∴点C为， 由图象可得，函数的对称轴为， ∵是对称轴上一点， ∴设点为， ∴； ； ， ∵是等腰三角形， ∴当时， ， 解得（舍去）或； 当时， ， 解得（舍去）或； 当时， ， 解得（舍去）, ∴综上所述，是等腰三角形，点的坐标为或． 23. 课堂上，张老师与同学们探究下列问题． 如图，线段及上一点，已知，分别以线段，为边在线段的同侧作等边与等边． 【问题解决】 （1）如图1，当是的中点时，则的长为（ ） A． B． C． D． 问题探究】 如图2，点为上任意一点，连接． （2）说明，的大小关系？请说明理由． （3）可以看作是经过旋转得到，请说明得到的过程：_________ 【问题拓展】 （4）若，将绕点旋转，当直线时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）绕点逆时针旋转得到；（4）或 【解析】 【分析】(1) 当C为中点时，通过作垂线构造直角三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解的长度，考查了解直角三角形的能力． (2) 通过证明，得出的结论，考查了全等三角形的判定和性质． (3) 根据全等三角形的关系，说明绕点C逆时针旋转得到，考查了旋转的性质． (4) 分两种情况讨论旋转后的情形，利用勾股定理和等边三角形的性质求的长，考查了分类讨论思想和勾股定理的应用． 【详解】解：（1） 过E作于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， 故选：D． （2），理由如下， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） ∵， ∴， ∴和是对应边，即为旋转角， ∵， ∴绕点逆时针旋转得到， 故答案为：绕点逆时针旋转得到； （4）①与直线相交于点P， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ∵是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ②与的延长线相交于点P， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理以及分类讨论思想等几何知识．掌握这些知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试试卷 九年级数学 亲爱的同学，祝贺你完成了阶段学习任务，现在是展示你学习成果的时候，希望你沉着、冷静、尽情发挥，祝你成功！ 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上。 一、选择题（每小题3分，共30分） 【下列各题的四个选项中，其中只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1. 2025年，中国的人工智能迅猛发展，下列软件图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. （﹣4，﹣5） B. （﹣4，5） C. （4，﹣5） D. （4，5） 3. 已知方程□，在□中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 某品牌新能源汽车2023年销量为10万辆，2025年销量达到万辆，设这两年销量的年平均增长率为，则可列的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 比较与的大小． 先从具体的数讨论： ①当时，；②当时，；③当时，． 由上面的讨论，你归纳出的结论是：若取任意实数，_________，横线上填写的是（ ） A B. C. D. 6. 如图, △ABC和△ADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（ ） A △ABC和△ADE B. △ABC和△ABD C. △ABD和△ACE D. △ACE和△ADE 7. 已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 70° D. 90° 9. 若是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个一次项系数为0的一元二次方程：_________． 12. 方程的两根之积是_________． 13. 如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号_________的小正方形涂阴影． 14. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，当出售价格是__________元时，才能使利润最大． 15. 如图，在Rt中，，，，将绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），连接，当时，_________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）（用配方法）． 17. 如图如示，在平面直角坐标系中的． （1）画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； （2）若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 18. 学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． （1）设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是_________； （2）若学校计划安排15场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 19. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若为方程一个根，求的值及方程的另一个根． 20. 如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点. （1）指出旋转中心，并求出旋转度数； （2）求出的度数和的长． 21. 要修建一个圆形喷水池（如图1），在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱（如图2）在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 22. 二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． （3）若这个抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点是对称轴上一点，且在轴下方，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 23. 课堂上，张老师与同学们探究下列问题． 如图，线段及上一点，已知，分别以线段，为边在线段的同侧作等边与等边． 【问题解决】 （1）如图1，当是的中点时，则的长为（ ） A． B． C． D． 【问题探究】 如图2，点为上任意一点，连接． （2）说明，的大小关系？请说明理由． （3）可以看作是经过旋转得到，请说明得到的过程：_________ 【问题拓展】 （4）若，将绕点旋转，当直线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $