精品解析：陕西西安第一中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

西安市第一中学2026-2027学年度第一学期期中考试 高一数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中不是函数图像的是（ ） A. B. C. D. 3. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(1，＋∞) B. (－∞，－1)∪(0，1) C. (－∞，－1)∪(1，＋∞) D. (－1，0)∪(0，1) 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”的否定是“” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 对任意，总有 5. 一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（ ）（默认） A. B. C. D. 6. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 7. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 有下列判断： ①表示方程的解集，表示不等式的解集； ②表示反比例函数的自变量的取值组成的集合，表示一次函数的函数值组成的集合； ③二次函数图象上的点组成的集合是； ④方程组的解集是. 其中正确的判断是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “且”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 是“函数有零点”的充要条件 D. “三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方”是“此三角形为直角三角形”的充要条件 11. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ） 0 1 2 3 4 0 2 1 3 0 2 1 A. B. 0 C. 2 D. 4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则__________. 13. 函数在区间上的值域为______. 14. 已知，则不等式的解集是____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，且，求实数a的取值范围． 16. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 17. 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由. （2）当，求函数的值域. （3）当，不等式有解，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数的值： （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值：若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第一中学2026-2027学年度第一学期期中考试 高一数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】由题设意，. 故选：A 2. 下列图形中不是函数图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义判断得到答案. 【详解】A中存在一个横坐标对应两个纵坐标，故A不是函数图像，B，C，D均符合函数定义. 故选 【点睛】本题考查了函数的定义的应用，属于基础题型. 3. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(1，＋∞) B. (－∞，－1)∪(0，1) C. (－∞，－1)∪(1，＋∞) D. (－1，0)∪(0，1) 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性，等价转化目标不等式，再结合已知条件以及函数单调性，即可求得不等式解集. 【详解】∵f(x)为奇函数，故可得， 则＜0等价于. ∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f（1）＝0， ∴当x＞1时，f(x)＜0. ∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0， 即x＜－1时，f(x)＞0. 综上使＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 故选：. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”的否定是“” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 对任意，总有 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，命题“”的否定是“”，故B正确； 对于C，由不能推出，如；由可得，故“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 5. 一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（ ）（默认） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 6. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 7. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】借助作差法及配方法比大小即可得. 【详解】， 由且，故，即. 故选：C. 8. 有下列判断： ①表示方程的解集，表示不等式的解集； ②表示反比例函数的自变量的取值组成的集合，表示一次函数的函数值组成的集合； ③二次函数图象上的点组成的集合是； ④方程组的解集是. 其中正确的判断是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【详解】由集合的定义可知，①②③正确； 方程组的解集是，故④错误. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为在上单调递减，，所以，故A错误； 因为在上单调递增，，所以， 因为，所以，故B错误； 因为在上单调递增，，所以，故C正确； 因为，所以， 因为在上单调递增，，所以， 因为，所以，故D错误. 10. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “且”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 是“函数有零点”的充要条件 D. “三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方”是“此三角形为直角三角形”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【详解】A项：由且，可得；由，不一定能推出且， 例如，满足，但不满足；故“且”是“”的充分不必要条件，A错； B项：，但不一定能推出，故“”是“”的充分不必要条件，B对； C项：，则方程有两个相等的实根，即函数有零点； 但函数有零点，即方程有实根，也有可能大于， 故是“函数有零点”的充分不必要条件，C错； D项：若三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形（充分性）； 直角三角形的三边必满足两边的平方和等于第三边的平方（必要性）； 故“三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方”是“此三角形为直角三角形”的充要条件，D对． 11. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ） 0 1 2 3 4 0 2 1 3 0 2 1 A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数  的图象确定  时  的可能取值，再结合函数  的表格，利用代入法逐一验证选项即可. 【详解】 对于A：当  时，，则 ，由图象可知 ，故A错误； 对于B：当  时，，则 ，由图象可知 ，符合题意，故B正确； 对于C：当  时，，则 ，由图象可知 ，故C错误； 对于D：当  时，，则 ，由图象可知 ，符合题意，故D正确.  三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求参再检验即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意. 经检验可知符合. 故答案为：-1. 13. 函数在区间上的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 14. 已知，则不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数的概念，对进行分类讨论求解. 【详解】∵， ∴ （1）当时，原不等式等价于，解得， ∴此时； （2）当时，原不等式等价于，解得， ∴此时； 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，B，根据交集运算求解即可； （2）根据初步求出的范围，求出，再根据列不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，． 由解得，所以． 所以． 【小问2详解】 因为，所以，得． 由（1）得， 因为，所以或，解得或． 综上，的取值范围是． 16. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1）64 （2）18 【解析】 【分析】（1）由可得，进而利用基本不等式求解； （2）由，可得，进而利用基本不等式“1”的妙用求解. 【小问1详解】 因为，，由可得. 根据基本不等式有：. 因此，令（）， 则不等式变为，即，因式分解得. 因为，所以，即，进而. 当且仅当且时取等号，解得，. 所以的最小值为. 【小问2详解】 由，两边同时除以（，，故），得. 再根据基本不等式有：， 当且仅当且时取等号，解得，. 的最小值为. 17. 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元 【解析】 【分析】（1）先设月产量为台，写出总成本进而得出利润函数的解析式； （2）分两段求出函数的最大值：当时和当时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可. 【小问1详解】 设月产量为台，利润为元，则总成本为元， 因， 则当时，； 当 时，. 故； 【小问2详解】 当时，， 所以当时，取得最大值25000； 当时，是减函数， 所以. 所以当时，的最大值为25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由. （2）当，求函数的值域. （3）当，不等式有解，求的取值范围. 【答案】（1）非奇非偶函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称. ∵ ， ， ∴ 且， ∴ 函数是非奇非偶函数. （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 函数和在上均为单调递增函数， ∴ 在上单调递增， ∴ 当时，单调递增， ∵ ，， ∴ 在上的值域为. 【小问3详解】 由得： ，化简得， ∵ 不等式在时有解， ∴ ， ∵ 函数在上单调递增， ∴ 当时，， ∴ . 19. 已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数的值： （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）0或4 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质列式求解即可； （2）根据二次函数的单调性即可求解； （3）根据根据对称轴与所给区间的关系，分类讨论函数的单调性，即可根据最值求解. 【小问1详解】 函数的图象是抛物线，开口向下，对称轴是， 所以， 即，解得或， 的值为0或4. 【小问2详解】 函数图象是抛物线，开口向下，对称轴是； 要使在上是单调递减的，应满足； 的取值范围是. 【小问3详解】 当，即时，在上是减函数， 若存在实数，使在上的值域是， 则有，即，解得不存在； 当，即时，在上是增函数， 则有，即，解得； 当，即时，在上先增后减， 则在处取最大值，， 解得或6（不满足条件，舍去）； 综上，存在实数，使在上的值域恰好是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $