陕西西安市莲湖区部分学校2026-2027学年高一上学期期中联考数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．若集合，且，则 A．或 B．或 C． D． 3．已知函数则 A． B． C． D． 4．“，”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 6．已知，，，则 A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，若在上单调递减，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是幂函数，又是增函数的是 A． B． C． D． 10．已知，，，则 A． B． C． D． 11．若函数则 A． B．当时， C．当在上单调时， D．当的值域为时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数，则 ▲ ． 13．函数的单调递减区间是 ▲ ． 14．定义有限数集的元素个数为．定义，其中，为非空集合，，．已知集合，，满足，，，，，，，则 ▲ ， ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）求值：． （2）化简：（，）． 16．（15分）已知幂函数的图象经过坐标原点． （1）求的值； （2）求函数的值域． 17．（15分）如图，在一块等腰梯形空地内欲铺设一块矩形草地，其中，均在边上，在边上（不含端点），在边上，且米，米，米． （1）若是边的中点，求矩形的面积； （2）设米，求矩形的面积（单位：平方米）关于的函数解析式，并求出定义域； （3）若铺设草地的造价为30元每平方米，求铺设草地总价的最大值． 18．（17分）已知正数，满足． （1）证明：为定值． （2）求的最小值． （3）若不等式恒成立，求关于的不等式的解集． 19．（17分）已知定义在上的函数满足，，，且当时，． （1）证明：函数是奇函数． （2）判断的单调性并证明． （3）若，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学参考答案 1.C全称量词命题的否定为存在量词命题 2.D若a2十a=0,则a=0或-1.当a=0时，A={0,1},符合题意.当a=-1时，a十1=0，不 满足集合中元素的互异性.故a=0. 3.Bf(3)=-32+3=-6,则f(f(3)=f(-6)=-6+3=-3. 4.A由1<a<2,-2<b<3,得-1<a+b<5,则“1<a<2,-2<b<3”是“-2<a十b<6”的 充分不必要条件 5.B因为f(x)的定义域为[-3,7]，所以在g(x)中，有-3≤2x-1≤7，解得-1≤x≤4，则 g(x)的定义域为[一1,4幻. 6.A(号)-（号）寸-()宁，因为函数y=是R上的增函数，且时<号<分，所以6c <a. 7.C当x+1>0,即x>-1时，f(x)>0,得x>2.当x+1<0,即x<-1时，f(x)<0,得 -2<x<-1.故不等式的解集为（一2，-1）U(2,十∞). 8.D若a<0,则原不等式的解集中有无数个整数，故a=0,则原不等式无解，故a>0.令 f(x)=2ax2-5ax+2,则f(x)图象的对称轴为直线x=5,由不等式的解集中恰有2个整 25a2-16a>0, 数，得f(2)=2-2a<0,解得a>1. f(0)=2≥0， 9.ADy=x3既是幂函数，又是增函数；y=x十1不是幂函数；y=x2在（一∞，0）上单调递 增，在(0，十∞)上单调递减；y=x既是幂函数，又是增函数.故选AD. 10.ABDM-N=2>0,则M>N,A正确.M-3P=a2-4a十9=(a-2)2十5>0，则M> 3P,B正确.N-P=a2-2a+1=(a-1)2≥0，则N≥P,C错误.N-3P=a2-4a+7= (a-2)2+3>0,则N>3P,D正确. 11.BCDf(0)=2,f(f(0)=f(2)=4a,A错误 f2-,当a1,同a≤时，fa)-4a十2-12，得a-子>合去：当a>1, 即a>4时，f(4a)=-(4a)2+2a·4a十4=-12，得a=√2（负根舍去）.所以a=2,B正确. a≤1， 易得f(x)在R上单调递减，则{ 1+2a+4长-1+2，得a≤-一1，C正确， 当a≤1时，f(x)在(1，+oo)上单调递减，当f(x)的值域为R时，一1十2a十4≥-1十2，得 -1≤a≤1；当a>1时，f(x)mx=f(a)=a2+4≥1，则f(x)的值域为R.综上，当f(x)的 【高一数学·参考答案△第1页（共5页）】 ·A1· 值域为R时，a≥一1，D正确 12.2x-11因为f(x+3)=2x-5=2(x+3)-11,所以f(x)=2x-11. 13.(-∞，-1]（或(-o∞，-1）)由x2-2x-3≥0，得x≤-1或x≥3，所以f(x)的定义域为 (-∞，一1]U[3,十∞).令u(x)=x2-2x一3=(x-1)2-4,可得u(x)的单调递减区间为 (一∞，1].因为y=√u的单调递增区间为[0，十∞)，所以f(x)的单调递减区间为（一∞， -1](或(-∞，-1)). 14.11;8由题意得|A*B|=|CAUB(A∩B)1=A|+|B|-2A∩B=13,得A∩B|=11. 同理可得B∩C=11,A∩C1=13.因为AUBUC|=|A|+|B|+|C1-|A∩B| IB∩C1-|A∩C+|A∩B∩C,所以A∩B∩C1=8. 15.解：1)原式=2+1 22+√2 -√64 3分 =2,2-2 22 -8… 5分 =-7. 6分 (2)原式= (x3y) …8分 (x2)(y2) 10分 ￥-() -x 是- 2 12分 =xy. 13分 16.解：(1)因为f(x)是幂函数，所以m2一3=1，…2分 解得=士2.… …4分 当m=2时，f(x)=x3的图象经过坐标原点，符合题意；…5分 当m=一2时，f(x)=的图象不经过原点，不符合题意.… 6分 故m=2. …7分 (2)由(1)可得，g()=x-x+2x+3z 2x2 x2+3 x2+3 8分 6 =-2十 x2+31 10分 6 因为x十3≥3，所以072+3≤2，………12分 6 则-2<-2+x十3≤0， 14分 【高一数学·参考答案△第2页（共5页）】 ·A1 故g(x)的值域为（一2,0]. …15分 17.解：(1)过点C作CP⊥AB,垂足为P(图略).由AB=100米，CD=40米，BC=AD= 50米，可得BP=30米，…1分 则CP=√BC2一BP2=40米.… …2分 因为G是BC边的中点，所以GF-CP-20米，BF-号BP=15米， …3分 则EF=100一30=70米，… …4分 则矩形EFGH的面积为20×70=1400平方米， …5分 （②市超可知8$邵 6分 因为GF=x米，BP-30米，CP=40米，所以BF-3米， …7分 则EF=10-2×3=(100-3)米，… 8分 则s=x(100-)=-22+100x 9分 由题可知0<GF<CP,故定义域为(0,40). …10分 (3)由(2)可知S=- 2+10=-8(-19) 100￥ ,50005000 3 3 …12分 当且仅当x-19∈(0,40)时，等号成立， …13分 故草地面积的最大值为5000、 3平方米， …14分 则铺设草地，总价的最大值为5000×30=50000元. 3 …15分 18.(1)证明：将a十4幼=9ab等式两边同时除以ab,得+ 一9 …2分 放。+6为定值 … 3分 (2)解：由题意得9ab一3b=a+4b-3b=a十b. 5分 (1)得号（任+君）=1，所以a+b=日(a+b)(4+名)=日(”+台+5)≥ 2号+)-1 8分 当且仅当碧-台，即a=号b-寸时，等号成立。 9分 故9ab-3b的最小值为1. 10分 (3)解：由(2)得9ab-3b-t≥1-t≥0，得t≤1. 12分 【高一数学·参考答案△第3页（共5页）】 ·A1· 当t=0时，0≥0，原不等式的解集为R;…13分 当0<t<1时，原不等式可化为(x一1)(x一t)≥0，解得x≤t或x≥1；…14分 当t=1时，原不等式可化为(x一1)2≥0，原不等式的解集为R;…15分 当t<0时，原不等式可化为(x一1)(x一t)≤0，解得t≤x≤1.…16分 综上，当t=0或1时，原不等式的解集为R; 当0<t<1时，原不等式的解集为(-∞，t]U[1,十∞)； 当t<0时，原不等式的解集为[t,1].… 17分 19.(1)证明：由题可知g(x)的定义域为R,关于原点对称.…1分 令x=y=0,得f(0)=1,…2分 令y=-x,得f(0)=f(x)十f(-x)-1=1,…3分 则f(x)-1=-[f(-x)-1],即g(x)=一g(-x),… 4分 故g(x)=f(x)一1是奇函数.… 5分 (2)解：f(x)在R上单调递增.… 6分 证明如下：由f(x十y)=f(x)+f(y)-1,得f(x十y)-f(x)=f(x+y-x)-1.… 7分 任取x1,x2∈R,令x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.…8分 因为x1<x2,所以x2一x1>0,则f(x2一x1)>1,… 9分 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故f(x)在R上单调递增.… 10分 (3)解：（方法一）因为f(x十y)=f(x)十f(y)一1， 所以由Hx∈[1,2]，f(a.x+1)+f(1-x2)>2x2-2ax-2, 得/x∈[1,2]，f(-x2十a.x+2)+1>2x2-2a.x-2.…11分 令t=-x2+a.x十2，则f(t)+1>-2t+2,即f(t)+2t>1.…12分 令h(x)=f(x)十2x,则h(0)=1,则原不等式等价于h(t)>h(0).…13分 由(2)知f(x)在R上单调递增.因为函数y=2x在R上单调递增，所以h(x)在R上单调 递增， 所以>0，即-x2+ax+2>0在[1,2上恒成立，则e>x-名在[1,2习上恒成立.“14分 又函数y=x和y=二均在1,2]上单调递增，所以两数y=2在1,2]上单润递增， …15分 所以z一二≤1在1,2上恒成立，…- 16分 则a>1,即a的取值范围为(1，十∞).… …17分 (方法二)由(1)可得f(x)=2-f(-x), 【高一数学·参考答案△第4页（共5页）】 ·A1 则Hx∈[1,2]，f(ax+1)+f(1-x2)>2x2-2ax-2等价于Hx∈[1,2]，f(a.x+1)> -f(1-x2)+2x2-2a.x-2=f(x2-1)十2x2-2a.x-4,…11分 则Vx∈[1,2]，f(a.x+1)+2(a.x+1)-1>f(x2-1)+2(x2-1)-1.…12分 令h(x)=g(x)十2x,则上式等价于h(a.x十1)>h(x2一1).…13分 由(2)可知f(x)在R上单调递增，则g(x)在R上单调递增.又y=2x在R上单调递增， 所以h(x)在R上单调递增，…14分 从而x∈[1,2]，ax+1>x2-1,则Vx∈[1,2]，a>x-2 …15分 易知函数)=x与y=二均在1,2上单调选增，所以函数y=:二在[1,2上单调遂增， …16分 从而a>2-号1，即a的取值范围为(，十oo). …17分 【高一数学·参考答案△第5页（共5页）】 ·A1·